Номер 33, страница 145 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

33. 1) $7^{x+1} - 2 \cdot 7^{x-2} = 341;$

2) $3 \cdot 11^{x+1} - 2 \cdot 11^{x-1} = 361;$

3) $2^{x-1} + 3 \cdot 2^{x-2} + 5 \cdot 2^{x-3} = 15;$

4) $7 \cdot 3^{x-2} - 3^{x-1} + 5 \cdot 3^x = 49.$

1) $7^{x+1} - 2 \cdot 7^{x-2} = 341$

Используем свойства степеней $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$ и $a^{m-n} = a^m / a^n$, чтобы привести все члены уравнения к одному основанию $7^x$.

$7^{x+1} = 7^x \cdot 7^1 = 7 \cdot 7^x$

$7^{x-2} = 7^x \cdot 7^{-2} = \frac{7^x}{7^2} = \frac{7^x}{49}$

Подставим эти выражения в исходное уравнение:

$7 \cdot 7^x - 2 \cdot \frac{7^x}{49} = 341$

Вынесем общий множитель $7^x$ за скобки:

$7^x \left(7 - \frac{2}{49}\right) = 341$

Упростим выражение в скобках:

$7 - \frac{2}{49} = \frac{7 \cdot 49}{49} - \frac{2}{49} = \frac{343 - 2}{49} = \frac{341}{49}$

Получаем уравнение:

$7^x \cdot \frac{341}{49} = 341$

Разделим обе части на 341:

$\frac{7^x}{49} = 1$

$7^x = 49$

Представим 49 как степень 7:

$7^x = 7^2$

Отсюда $x = 2$.

Ответ: $x=2$

2) $3 \cdot 11^{x+1} - 2 \cdot 11^{x-1} = 361$

Приведем все члены уравнения к одному основанию $11^x$:

$11^{x+1} = 11^x \cdot 11^1 = 11 \cdot 11^x$

$11^{x-1} = 11^x \cdot 11^{-1} = \frac{11^x}{11}$

Подставим в уравнение:

$3 \cdot (11 \cdot 11^x) - 2 \cdot \frac{11^x}{11} = 361$

$33 \cdot 11^x - \frac{2}{11} \cdot 11^x = 361$

Вынесем $11^x$ за скобки:

$11^x \left(33 - \frac{2}{11}\right) = 361$

Упростим выражение в скобках:

$33 - \frac{2}{11} = \frac{33 \cdot 11}{11} - \frac{2}{11} = \frac{363 - 2}{11} = \frac{361}{11}$

Получаем уравнение:

$11^x \cdot \frac{361}{11} = 361$

Разделим обе части на 361:

$\frac{11^x}{11} = 1$

$11^x = 11$

$11^x = 11^1$

Отсюда $x = 1$.

Ответ: $x=1$

3) $2^{x-1} + 3 \cdot 2^{x-2} + 5 \cdot 2^{x-3} = 15$

Приведем все члены уравнения к одному основанию $2^x$:

$2^{x-1} = 2^x \cdot 2^{-1} = \frac{2^x}{2}$

$2^{x-2} = 2^x \cdot 2^{-2} = \frac{2^x}{4}$

$2^{x-3} = 2^x \cdot 2^{-3} = \frac{2^x}{8}$

Подставим в уравнение:

$\frac{2^x}{2} + 3 \cdot \frac{2^x}{4} + 5 \cdot \frac{2^x}{8} = 15$

Вынесем $2^x$ за скобки:

$2^x \left(\frac{1}{2} + \frac{3}{4} + \frac{5}{8}\right) = 15$

Приведем дроби в скобках к общему знаменателю 8:

$\frac{1 \cdot 4}{8} + \frac{3 \cdot 2}{8} + \frac{5}{8} = \frac{4+6+5}{8} = \frac{15}{8}$

Получаем уравнение:

$2^x \cdot \frac{15}{8} = 15$

Разделим обе части на 15:

$\frac{2^x}{8} = 1$

$2^x = 8$

Представим 8 как степень 2:

$2^x = 2^3$

Отсюда $x = 3$.

Ответ: $x=3$

4) $7 \cdot 3^{x-2} - 3^{x-1} + 5 \cdot 3^x = 49$

Приведем все члены уравнения к одному основанию $3^x$:

$3^{x-2} = 3^x \cdot 3^{-2} = \frac{3^x}{9}$

$3^{x-1} = 3^x \cdot 3^{-1} = \frac{3^x}{3}$

Подставим в уравнение:

$7 \cdot \frac{3^x}{9} - \frac{3^x}{3} + 5 \cdot 3^x = 49$

Вынесем $3^x$ за скобки:

$3^x \left(\frac{7}{9} - \frac{1}{3} + 5\right) = 49$

Приведем дроби в скобках к общему знаменателю 9:

$\frac{7}{9} - \frac{1 \cdot 3}{9} + \frac{5 \cdot 9}{9} = \frac{7-3+45}{9} = \frac{49}{9}$

Получаем уравнение:

$3^x \cdot \frac{49}{9} = 49$

Разделим обе части на 49:

$\frac{3^x}{9} = 1$

$3^x = 9$

Представим 9 как степень 3:

$3^x = 3^2$

Отсюда $x = 2$.

Ответ: $x=2$