Номер 39, страница 145 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

39. 1) $(\log_{\frac{1}{2}} x)^2 + 2\log_{\frac{1}{2}} x - 3 = 0;

2) $2\log_3(x - 1) = \log_3(1,5x + 1);

3) $\log_2(x^2 + 4x + 1) = \log_2(6x + 2) - 1;

4) $\log_3(3 - x) - 2\log_3 2 = 1 - \log_3(4 - x).$

1) Исходное уравнение: $log_{\frac{1}{2}}^2 x + 2log_{\frac{1}{2}} x - 3 = 0$.

Это логарифмическое уравнение является квадратным относительно $log_{\frac{1}{2}} x$.

Область допустимых значений (ОДЗ): аргумент логарифма должен быть строго положительным, то есть $x > 0$.

Сделаем замену переменной. Пусть $t = log_{\frac{1}{2}} x$. Тогда уравнение примет вид:

$t^2 + 2t - 3 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Можно использовать теорему Виета: произведение корней равно -3, а сумма корней равна -2. Корни: $t_1 = 1$ и $t_2 = -3$.

Теперь выполним обратную замену:

1. $log_{\frac{1}{2}} x = 1$

По определению логарифма: $x = (\frac{1}{2})^1 = \frac{1}{2}$.

2. $log_{\frac{1}{2}} x = -3$

По определению логарифма: $x = (\frac{1}{2})^{-3} = 2^3 = 8$.

Оба корня, $x = \frac{1}{2}$ и $x = 8$, удовлетворяют ОДЗ ($x > 0$).

Ответ: $x_1 = \frac{1}{2}, x_2 = 8$.

2) Исходное уравнение: $2log_3(x - 1) = log_3(1,5x + 1)$.

Найдем ОДЗ. Аргументы логарифмов должны быть больше нуля:

$\begin{cases} x - 1 > 0 \\ 1,5x + 1 > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x > 1 \\ 1,5x > -1 \end{cases} \implies \begin{cases} x > 1 \\ x > -\frac{1}{1,5} \end{cases} \implies \begin{cases} x > 1 \\ x > -\frac{2}{3} \end{cases}$

Общей областью допустимых значений является $x > 1$.

Преобразуем левую часть уравнения, используя свойство логарифма $n \cdot log_a b = log_a b^n$:

$log_3(x - 1)^2 = log_3(1,5x + 1)$

Так как основания логарифмов равны, мы можем приравнять их аргументы:

$(x - 1)^2 = 1,5x + 1$

$x^2 - 2x + 1 = 1,5x + 1$

$x^2 - 2x - 1,5x + 1 - 1 = 0$

$x^2 - 3,5x = 0$

$x(x - 3,5) = 0$

Отсюда получаем два возможных корня: $x_1 = 0$ и $x_2 = 3,5$.

Проверим корни на соответствие ОДЗ ($x > 1$):

$x_1 = 0$ не удовлетворяет условию $x > 1$, следовательно, это посторонний корень.

$x_2 = 3,5$ удовлетворяет условию $x > 1$.

Ответ: $x = 3,5$.

3) Исходное уравнение: $log_2(x^2 + 4x + 1) = log_2(6x + 2) - 1$.

Найдем ОДЗ:

$\begin{cases} x^2 + 4x + 1 > 0 \\ 6x + 2 > 0 \end{cases}$

Из второго неравенства: $6x > -2 \implies x > -\frac{1}{3}$.

Для первого неравенства найдем корни уравнения $x^2 + 4x + 1 = 0$. Дискриминант $D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 12$. Корни $x_{1,2} = \frac{-4 \pm \sqrt{12}}{2} = -2 \pm \sqrt{3}$. Парабола ветвями вверх, значит $x^2 + 4x + 1 > 0$ при $x \in (-\infty; -2-\sqrt{3}) \cup (-2+\sqrt{3}; +\infty)$.

Учитывая, что $-2+\sqrt{3} \approx -2+1,73 = -0,27$, а $-\frac{1}{3} \approx -0,33$, пересечением двух условий будет $x > -2+\sqrt{3}$.

Представим 1 в виде логарифма с основанием 2: $1 = log_2 2$.

$log_2(x^2 + 4x + 1) = log_2(6x + 2) - log_2 2$

Используем свойство разности логарифмов $log_a b - log_a c = log_a(\frac{b}{c})$:

$log_2(x^2 + 4x + 1) = log_2(\frac{6x + 2}{2})$

$log_2(x^2 + 4x + 1) = log_2(3x + 1)$

Приравниваем аргументы:

$x^2 + 4x + 1 = 3x + 1$

$x^2 + x = 0$

$x(x + 1) = 0$

Получаем корни $x_1 = 0$ и $x_2 = -1$.

Проверим корни по ОДЗ ($x > -2+\sqrt{3} \approx -0,27$):

$x_1 = 0$ удовлетворяет условию ($0 > -0,27$).

$x_2 = -1$ не удовлетворяет условию ($-1 < -0,27$).

Ответ: $x = 0$.

4) Исходное уравнение: $log_3(3 - x) - 2log_3 2 = 1 - log_3(4 - x)$.

Найдем ОДЗ:

$\begin{cases} 3 - x > 0 \\ 4 - x > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x < 3 \\ x < 4 \end{cases}$

Общая область допустимых значений: $x < 3$.

Перенесем все логарифмы в одну часть уравнения, а числовые значения в другую:

$log_3(3 - x) + log_3(4 - x) = 1 + 2log_3 2$

Применим свойства логарифмов:

$log_3((3 - x)(4 - x)) = log_3 3 + log_3 2^2$

$log_3((3 - x)(4 - x)) = log_3 3 + log_3 4$

$log_3((3 - x)(4 - x)) = log_3 (3 \cdot 4)$

$log_3(12 - 7x + x^2) = log_3 12$

Приравниваем аргументы:

$x^2 - 7x + 12 = 12$

$x^2 - 7x = 0$

$x(x - 7) = 0$

Получаем корни: $x_1 = 0$ и $x_2 = 7$.

Проверим корни по ОДЗ ($x < 3$):

$x_1 = 0$ удовлетворяет условию ($0 < 3$).

$x_2 = 7$ не удовлетворяет условию ($7 \not< 3$).

Ответ: $x = 0$.