Номер 37, страница 145 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

37. 1) $log_5(2x + 3) + log_5(4 - x) = 1;$

2) $log_7(3x - 17) - log_7(x + 1) = 0;$

3) $log_2(2x - 1) + log_2(x + 3) = 2;$

4) $log_{\frac{1}{4}}(4x + 5) = log_{\frac{1}{4}}(5x + 2).$

1) Решим уравнение $\log_5(2x + 3) + \log_5(4 - x) = 1$.

Сначала найдем Область Допустимых Значений (ОДЗ). Аргументы логарифмов должны быть строго положительными:

$\begin{cases} 2x + 3 > 0 \\ 4 - x > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} 2x > -3 \\ x < 4 \end{cases} \implies \begin{cases} x > -1.5 \\ x < 4 \end{cases}$

Таким образом, ОДЗ: $x \in (-1.5; 4)$.

Теперь решим само уравнение. Используем свойство суммы логарифмов $\log_a(b) + \log_a(c) = \log_a(bc)$:

$\log_5((2x + 3)(4 - x)) = 1$

По определению логарифма ($b = a^c$ для $\log_a(b) = c$):

$(2x + 3)(4 - x) = 5^1$

$8x - 2x^2 + 12 - 3x = 5$

Приведем подобные слагаемые и получим квадратное уравнение:

$-2x^2 + 5x + 12 - 5 = 0$

$-2x^2 + 5x + 7 = 0$

Умножим обе части на -1 для удобства:

$2x^2 - 5x - 7 = 0$

Найдем корни через дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-7) = 25 + 56 = 81 = 9^2$

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 + 9}{2 \cdot 2} = \frac{14}{4} = 3.5$

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 - 9}{2 \cdot 2} = \frac{-4}{4} = -1$

Проверим, принадлежат ли найденные корни ОДЗ $x \in (-1.5; 4)$.

Корень $x_1 = 3.5$ удовлетворяет условию, так как $-1.5 < 3.5 < 4$.

Корень $x_2 = -1$ также удовлетворяет условию, так как $-1.5 < -1 < 4$.

Ответ: -1; 3.5

2) Решим уравнение $\log_7(3x - 17) - \log_7(x + 1) = 0$.

Найдем ОДЗ:

$\begin{cases} 3x - 17 > 0 \\ x + 1 > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} 3x > 17 \\ x > -1 \end{cases} \implies \begin{cases} x > 17/3 \\ x > -1 \end{cases}$

Так как $17/3 \approx 5.67$, более строгим является первое неравенство. ОДЗ: $x > 17/3$.

Перенесем второй логарифм в правую часть:

$\log_7(3x - 17) = \log_7(x + 1)$

Так как основания логарифмов равны, мы можем приравнять их аргументы:

$3x - 17 = x + 1$

$3x - x = 1 + 17$

$2x = 18$

$x = 9$

Проверим корень по ОДЗ. $9 > 17/3$ (т.к. $9 > 5.67$), значит, корень подходит.

Ответ: 9

3) Решим уравнение $\log_2(2x - 1) + \log_2(x + 3) = 2$.

Найдем ОДЗ:

$\begin{cases} 2x - 1 > 0 \\ x + 3 > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} 2x > 1 \\ x > -3 \end{cases} \implies \begin{cases} x > 0.5 \\ x > -3 \end{cases}$

Объединяя условия, получаем ОДЗ: $x > 0.5$.

Используем свойство суммы логарифмов:

$\log_2((2x - 1)(x + 3)) = 2$

По определению логарифма:

$(2x - 1)(x + 3) = 2^2$

$2x^2 + 6x - x - 3 = 4$

$2x^2 + 5x - 7 = 0$

Найдем корни через дискриминант:

$D = 5^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-7) = 25 + 56 = 81 = 9^2$

$x_1 = \frac{-5 + 9}{2 \cdot 2} = \frac{4}{4} = 1$

$x_2 = \frac{-5 - 9}{2 \cdot 2} = \frac{-14}{4} = -3.5$

Проверим корни по ОДЗ ($x > 0.5$).

Корень $x_1 = 1$ удовлетворяет условию, так как $1 > 0.5$.

Корень $x_2 = -3.5$ не удовлетворяет условию, так как $-3.5 < 0.5$. Это посторонний корень.

Ответ: 1

4) Решим уравнение $\log_{1/4}(4x + 5) = \log_{1/4}(5x + 2)$.

Найдем ОДЗ:

$\begin{cases} 4x + 5 > 0 \\ 5x + 2 > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} 4x > -5 \\ 5x > -2 \end{cases} \implies \begin{cases} x > -5/4 \\ x > -2/5 \end{cases} \implies \begin{cases} x > -1.25 \\ x > -0.4 \end{cases}$

Более строгим является второе неравенство, поэтому ОДЗ: $x > -0.4$.

Так как основания логарифмов одинаковы, приравниваем их аргументы:

$4x + 5 = 5x + 2$

$5 - 2 = 5x - 4x$

$x = 3$

Проверим корень по ОДЗ. $3 > -0.4$, значит, корень подходит.

Ответ: 3