Номер 42, страница 146 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

Решите системы уравнений (42–44):

42. 1)

$\begin{cases} x^2 + y^2 = 5, \\ \log_2 x + \log_2 y = 1; \end{cases}$

2)

$\begin{cases} x^2 - y^2 = 12, \\ \log_2 x - \log_2 y = 1. \end{cases}$

42. 1)

Дана система уравнений:

$\begin{cases}x^2 + y^2 = 5 \\\log_2 x + \log_2 y = 1\end{cases}$

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Аргументы логарифмов должны быть строго положительными, поэтому $x > 0$ и $y > 0$.

Упростим второе уравнение системы, используя свойство суммы логарифмов $\log_a b + \log_a c = \log_a(bc)$:

$\log_2(xy) = 1$

Из определения логарифма следует, что $xy = 2^1$, то есть $xy = 2$.

Теперь система принимает вид:

$\begin{cases}x^2 + y^2 = 5 \\xy = 2\end{cases}$

Это симметричная система. Мы можем выразить $y$ из второго уравнения: $y = \frac{2}{x}$. Поскольку по ОДЗ $x>0$, то и $y$ будет больше нуля, что соответствует ОДЗ.

Подставим $y = \frac{2}{x}$ в первое уравнение:

$x^2 + \left(\frac{2}{x}\right)^2 = 5$

$x^2 + \frac{4}{x^2} = 5$

Введем замену переменной $t = x^2$. Так как $x > 0$, то $t > 0$. Уравнение примет вид:

$t + \frac{4}{t} = 5$

Умножим обе части на $t$ (где $t \neq 0$):

$t^2 + 4 = 5t$

$t^2 - 5t + 4 = 0$

Это квадратное уравнение. Его корни можно найти по теореме Виета или через дискриминант. Корни: $t_1 = 1$ и $t_2 = 4$. Оба корня положительны и удовлетворяют условию $t>0$.

Вернемся к переменной $x$:

1. Если $t=1$, то $x^2 = 1$. Учитывая, что $x>0$, получаем $x=1$. Тогда $y = \frac{2}{1} = 2$. Получаем пару $(1, 2)$.

2. Если $t=4$, то $x^2 = 4$. Учитывая, что $x>0$, получаем $x=2$. Тогда $y = \frac{2}{2} = 1$. Получаем пару $(2, 1)$.

Обе пары решений удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $(1, 2)$, $(2, 1)$.

2)

Дана система уравнений:

$\begin{cases}x^2 - y^2 = 12 \\\log_2 x - \log_2 y = 1\end{cases}$

Область допустимых значений (ОДЗ): $x > 0$ и $y > 0$.

Упростим второе уравнение, используя свойство разности логарифмов $\log_a b - \log_a c = \log_a\left(\frac{b}{c}\right)$:

$\log_2\left(\frac{x}{y}\right) = 1$

Из определения логарифма следует, что $\frac{x}{y} = 2^1$, то есть $\frac{x}{y} = 2$.

Отсюда $x = 2y$.

Подставим это выражение в первое уравнение системы:

$(2y)^2 - y^2 = 12$

$4y^2 - y^2 = 12$

$3y^2 = 12$

$y^2 = 4$

Возможные значения для $y$: $y=2$ и $y=-2$.

Согласно ОДЗ ($y>0$), мы выбираем только $y=2$.

Найдем соответствующее значение $x$:

$x = 2y = 2 \cdot 2 = 4$.

Проверим найденное решение $(4, 2)$ на соответствие исходной системе и ОДЗ.

ОДЗ: $x=4 > 0$ и $y=2 > 0$ - выполняется.

Первое уравнение: $4^2 - 2^2 = 16 - 4 = 12$ - верно.

Второе уравнение: $\log_2 4 - \log_2 2 = 2 - 1 = 1$ - верно.

Следовательно, решение единственное.

Ответ: $(4, 2)$.