Номер 40, страница 145 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

40. 1) $\frac{\log_{\frac{1}{2}}(x^2 - 5x + 2)}{\log_{\frac{1}{2}}(6 - 5x)} = 1$;

2) $\frac{\log_{\frac{1}{3}}(3x + 2x^2)}{\log_{\frac{1}{3}}(6x + 2)} = 1$.

1)

Исходное уравнение:

$$ \frac{\log_{\frac{1}{2}}(x^2 - 5x + 2)}{\log_{\frac{1}{2}}(6 - 5x)} = 1 $$

Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргументы логарифмов должны быть строго больше нуля, а знаменатель дроби не должен быть равен нулю.

1. $x^2 - 5x + 2 > 0$

Найдем корни уравнения $x^2 - 5x + 2 = 0$. По формуле корней квадратного уравнения:

$D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 25 - 8 = 17$

$x_{1,2} = \frac{5 \pm \sqrt{17}}{2}$

Так как ветви параболы направлены вверх, неравенство выполняется при $x \in (-\infty; \frac{5 - \sqrt{17}}{2}) \cup (\frac{5 + \sqrt{17}}{2}; +\infty)$.

2. $6 - 5x > 0$

$6 > 5x$

$x < \frac{6}{5}$ или $x < 1.2$

3. $\log_{\frac{1}{2}}(6 - 5x) \neq 0$

$6 - 5x \neq (\frac{1}{2})^0$

$6 - 5x \neq 1$

$5 \neq 5x$

$x \neq 1$

Объединим все условия ОДЗ. Нам нужно пересечение множеств $(-\infty; \frac{5 - \sqrt{17}}{2}) \cup (\frac{5 + \sqrt{17}}{2}; +\infty)$ и $(-\infty; 1.2)$, при этом $x \neq 1$.

Оценим значения корней: $\sqrt{16} < \sqrt{17} < \sqrt{25}$, т.е. $4 < \sqrt{17} < 5$.

$\frac{5 - \sqrt{17}}{2} \approx \frac{5 - 4.12}{2} = 0.44$

$\frac{5 + \sqrt{17}}{2} \approx \frac{5 + 4.12}{2} = 4.56$

Пересечение интервала $(-\infty; 1.2)$ с $(-\infty; 0.44) \cup (4.56; +\infty)$ дает нам интервал $(-\infty; \frac{5 - \sqrt{17}}{2})$. Точка $x=1$ не входит в этот интервал, поэтому дополнительно ее исключать не нужно.

Итак, ОДЗ: $x \in (-\infty; \frac{5 - \sqrt{17}}{2})$.

Теперь решим само уравнение. Умножим обе части на знаменатель (на ОДЗ он не равен нулю):

$\log_{\frac{1}{2}}(x^2 - 5x + 2) = \log_{\frac{1}{2}}(6 - 5x)$

Так как основания логарифмов одинаковы, приравниваем их аргументы:

$x^2 - 5x + 2 = 6 - 5x$

$x^2 + 2 - 6 = 0$

$x^2 - 4 = 0$

$(x-2)(x+2) = 0$

Получаем два корня: $x_1 = 2$ и $x_2 = -2$.

Проверим, принадлежат ли корни ОДЗ: $x \in (-\infty; \frac{5 - \sqrt{17}}{2})$.

Так как $\frac{5 - \sqrt{17}}{2} \approx 0.44$, то:

- $x_1 = 2$ не принадлежит ОДЗ, так как $2 > 0.44$. Это посторонний корень.

- $x_2 = -2$ принадлежит ОДЗ, так как $-2 < 0.44$.

Единственным решением является $x = -2$.

Ответ: $-2$

2)

Исходное уравнение:

$$ \frac{\log_{\frac{1}{3}}(3x + 2x^2)}{\log_{\frac{1}{3}}(6x + 2)} = 1 $$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ):

1. $3x + 2x^2 > 0$

$x(3 + 2x) > 0$

Корни уравнения $x(3+2x) = 0$: $x_1 = 0$ и $x_2 = -\frac{3}{2}$.

Ветви параболы $y = 2x^2 + 3x$ направлены вверх, значит, неравенство выполняется при $x \in (-\infty; -\frac{3}{2}) \cup (0; +\infty)$.

2. $6x + 2 > 0$

$6x > -2$

$x > -\frac{2}{6}$ или $x > -\frac{1}{3}$

3. $\log_{\frac{1}{3}}(6x + 2) \neq 0$

$6x + 2 \neq (\frac{1}{3})^0$

$6x + 2 \neq 1$

$6x \neq -1$

$x \neq -\frac{1}{6}$

Найдем пересечение всех условий: $(-\infty; -1.5) \cup (0; +\infty)$ и $(-1/3; +\infty)$.

Пересечение дает интервал $(0; +\infty)$. Условие $x \neq -1/6$ выполняется, так как эта точка не входит в полученный интервал.

Итак, ОДЗ: $x \in (0; +\infty)$.

Теперь решим уравнение. Умножим обе части на знаменатель:

$\log_{\frac{1}{3}}(3x + 2x^2) = \log_{\frac{1}{3}}(6x + 2)$

Приравниваем аргументы логарифмов:

$3x + 2x^2 = 6x + 2$

$2x^2 - 3x - 2 = 0$

Решим квадратное уравнение. Дискриминант:

$D = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 9 + 16 = 25$

$x_{1,2} = \frac{3 \pm \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{3 \pm 5}{4}$

Получаем два корня:

$x_1 = \frac{3 + 5}{4} = \frac{8}{4} = 2$

$x_2 = \frac{3 - 5}{4} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}$

Проверим, принадлежат ли корни ОДЗ: $x \in (0; +\infty)$.

- $x_1 = 2$ принадлежит ОДЗ, так как $2 > 0$.

- $x_2 = -1/2$ не принадлежит ОДЗ, так как $-1/2 < 0$. Это посторонний корень.

Единственным решением является $x = 2$.

Ответ: $2$