Номер 23, страница 144 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

23. 1) $\frac{\log_5 3 + \log_5 9}{3\log_5 2 - \log_5 24} = -3;$

2) $\frac{\log_6 75 - \log_6 3}{2\log_6 \frac{1}{3} + \log_6 45} = 2;$

3) $\frac{2\log_{11} 5 + 2\log_{11} 2}{2\log_{11} 4 + \log_{11} 5 - 3\log_{11} 2} = 2;$

4) $\frac{3\lg 4 + \lg 0,5}{\lg 30 - \lg 15} = 5.$

1) Для доказательства равенства преобразуем числитель и знаменатель дроби, используя свойства логарифмов: $n\log_a b = \log_a b^n$, $\log_a b + \log_a c = \log_a(bc)$ и $\log_a b - \log_a c = \log_a(b/c)$.

Преобразуем числитель:$ \log_5 3 + \log_5 9 = \log_5(3 \cdot 9) = \log_5 27 $.Также можно представить $ \log_5 27 = \log_5 3^3 = 3\log_5 3 $.

Преобразуем знаменатель:$ 3\log_5 2 - \log_5 24 = \log_5 2^3 - \log_5 24 = \log_5 8 - \log_5 24 = \log_5(8/24) = \log_5(1/3) $.

Используя свойство $ \log_a(1/b) = -\log_a b $, получаем: $ \log_5(1/3) = -\log_5 3 $.

Теперь подставим преобразованные выражения обратно в дробь:

$ \frac{3\log_5 3}{-\log_5 3} = -3 $.

Равенство доказано.

Ответ: -3.

2) Преобразуем числитель и знаменатель, используя свойства логарифмов.

Числитель:

$ \log_6 75 - \log_6 3 = \log_6(75/3) = \log_6 25 $. Так как $ 25=5^2 $, то $ \log_6 25 = 2\log_6 5 $.

Знаменатель:

$ 2\log_6 \frac{1}{3} + \log_6 45 = \log_6 ((\frac{1}{3})^2) + \log_6 45 = \log_6 \frac{1}{9} + \log_6 45 = \log_6(\frac{1}{9} \cdot 45) = \log_6 5 $.

Подставим полученные выражения в исходную дробь:

$ \frac{2\log_6 5}{\log_6 5} = 2 $.

Равенство доказано.

Ответ: 2.

3) Преобразуем числитель и знаменатель дроби.

Числитель:

$ 2\log_{11} 5 + 2\log_{11} 2 = 2(\log_{11} 5 + \log_{11} 2) = 2\log_{11}(5 \cdot 2) = 2\log_{11} 10 $.

Знаменатель:

$ 2\log_{11} 4 + \log_{11} 5 - 3\log_{11} 2 = \log_{11} 4^2 + \log_{11} 5 - \log_{11} 2^3 = \log_{11} 16 + \log_{11} 5 - \log_{11} 8 $.

Объединяем логарифмы: $ \log_{11}(\frac{16 \cdot 5}{8}) = \log_{11}(\frac{80}{8}) = \log_{11} 10 $.

Подставляем числитель и знаменатель в дробь:

$ \frac{2\log_{11} 10}{\log_{11} 10} = 2 $.

Равенство доказано.

Ответ: 2.

4) Преобразуем числитель и знаменатель дроби. Напомним, что $ \lg x $ это десятичный логарифм $ \log_{10} x $.

Числитель:

$ 3\lg 4 + \lg 0,5 = \lg 4^3 + \lg 0,5 = \lg 64 + \lg 0,5 = \lg(64 \cdot 0,5) = \lg 32 $.

Знаменатель:

$ \lg 30 - \lg 15 = \lg(30/15) = \lg 2 $.

Подставляем полученные выражения в дробь и используем формулу перехода к новому основанию $ \frac{\log_a c}{\log_a b} = \log_b c $:

$ \frac{\lg 32}{\lg 2} = \log_2 32 $.

Так как $ 32 = 2^5 $, то $ \log_2 32 = 5 $.

Равенство доказано.

Ответ: 5.