Номер 25, страница 144 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

Решите иррациональные уравнения (25—29):

25. 1) $\sqrt{2x-7}=3$;

2) $\sqrt[3]{x^2+7x+8}=2$;

3) $\sqrt{11+3x}=4$;

4) $\sqrt[3]{27+2x-x^2}=3$.

1) Дано иррациональное уравнение $\sqrt{2x - 7} = 3$.

Поскольку в уравнении присутствует арифметический квадратный корень, выражение под корнем должно быть неотрицательным. Это задает область допустимых значений (ОДЗ):

$2x - 7 \ge 0$

$2x \ge 7$

$x \ge 3.5$

Для того чтобы избавиться от знака корня, возведем обе части уравнения в квадрат:

$(\sqrt{2x - 7})^2 = 3^2$

$2x - 7 = 9$

Перенесем -7 в правую часть:

$2x = 9 + 7$

$2x = 16$

$x = 8$

Проверим, принадлежит ли найденный корень $x = 8$ области допустимых значений. Так как $8 \ge 3.5$, корень является решением уравнения.

Дополнительно выполним проверку подстановкой в исходное уравнение:

$\sqrt{2 \cdot 8 - 7} = \sqrt{16 - 7} = \sqrt{9} = 3$.

$3 = 3$. Равенство верное.

Ответ: $8$.

2) Дано иррациональное уравнение $\sqrt[3]{x^2 + 7x + 8} = 2$.

Так как корень в уравнении нечетной степени (кубический), он определен для любых действительных значений подкоренного выражения. Поэтому область допустимых значений — все действительные числа ($x \in \mathbb{R}$).

Для решения возведем обе части уравнения в третью степень:

$(\sqrt[3]{x^2 + 7x + 8})^3 = 2^3$

$x^2 + 7x + 8 = 8$

Перенесем все слагаемые в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение:

$x^2 + 7x + 8 - 8 = 0$

$x^2 + 7x = 0$

Вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(x + 7) = 0$

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю. Отсюда получаем два корня:

$x_1 = 0$ или $x + 7 = 0 \implies x_2 = -7$.

Так как ограничений на ОДЗ не было, оба корня являются решениями.

Проверка:

Для $x_1 = 0$: $\sqrt[3]{0^2 + 7(0) + 8} = \sqrt[3]{8} = 2$. $2=2$. Верно.

Для $x_2 = -7$: $\sqrt[3]{(-7)^2 + 7(-7) + 8} = \sqrt[3]{49 - 49 + 8} = \sqrt[3]{8} = 2$. $2=2$. Верно.

Ответ: $-7; 0$.

3) Дано иррациональное уравнение $\sqrt{11 + 3x} = 4$.

Найдем область допустимых значений (ОДЗ), потребовав неотрицательности подкоренного выражения:

$11 + 3x \ge 0$

$3x \ge -11$

$x \ge -\frac{11}{3}$

Теперь возведем обе части исходного уравнения в квадрат:

$(\sqrt{11 + 3x})^2 = 4^2$

$11 + 3x = 16$

$3x = 16 - 11$

$3x = 5$

$x = \frac{5}{3}$

Проверим, удовлетворяет ли корень ОДЗ. $-11/3 \approx -3.67$. Так как $5/3 \approx 1.67$, и $1.67 \ge -3.67$, корень входит в ОДЗ.

Проверка подстановкой:

$\sqrt{11 + 3 \cdot \frac{5}{3}} = \sqrt{11 + 5} = \sqrt{16} = 4$.

$4=4$. Равенство верное.

Ответ: $\frac{5}{3}$.

4) Дано иррациональное уравнение $\sqrt[3]{27 + 2x - x^2} = 3$.

Корень нечетной степени определен для любых действительных чисел, поэтому ОДЗ — все действительные числа ($x \in \mathbb{R}$).

Возведем обе части уравнения в третью степень:

$(\sqrt[3]{27 + 2x - x^2})^3 = 3^3$

$27 + 2x - x^2 = 27$

Вычтем 27 из обеих частей уравнения:

$2x - x^2 = 0$

Вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(2 - x) = 0$

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю:

$x_1 = 0$ или $2 - x = 0 \implies x_2 = 2$.

Проверка:

Для $x_1 = 0$: $\sqrt[3]{27 + 2(0) - 0^2} = \sqrt[3]{27} = 3$. $3=3$. Верно.

Для $x_2 = 2$: $\sqrt[3]{27 + 2(2) - 2^2} = \sqrt[3]{27 + 4 - 4} = \sqrt[3]{27} = 3$. $3=3$. Верно.

Оба корня являются решениями.

Ответ: $0; 2$.