Страница 138 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

2. По вариационному ряду относительных частот найдите среднее значение:

X 2 3 4 5 6

$\frac{n_i}{n}$ 0,3 0,3 0,1 0,2 0,1

A) 5,2;

B) 4,95;

C) 5,1;

D) 5,3;

E) 5,15.

2. Для нахождения среднего значения по вариационному ряду относительных частот используется формула для среднего взвешенного. Среднее значение $\bar{X}$ вычисляется как сумма произведений каждого значения $x_i$ на его относительную частоту $f_i$. В таблице относительная частота обозначена как $\frac{n_i}{n}$.

Формула для расчета среднего значения:

$\bar{X} = \sum_{i=1}^{k} x_i \cdot f_i$

По данным из таблицы имеем:

Значения (варианты) $x_i$: 2, 3, 4, 5, 6.

Соответствующие им относительные частоты $f_i$: 0,3; 0,3; 0,1; 0,2; 0,1.

Перед расчетом убедимся, что сумма всех относительных частот равна 1, так как это является свойством полного распределения вероятностей (или частот):

$0,3 + 0,3 + 0,1 + 0,2 + 0,1 = 1,0$

Сумма верна, что подтверждает корректность данных в ряду распределения.

Теперь подставим значения в формулу для расчета среднего:

$\bar{X} = (2 \cdot 0,3) + (3 \cdot 0,3) + (4 \cdot 0,1) + (5 \cdot 0,2) + (6 \cdot 0,1)$

Выполним вычисления для каждого слагаемого:

$\bar{X} = 0,6 + 0,9 + 0,4 + 1,0 + 0,6$

Сложим полученные значения:

$\bar{X} = 3,5$

Среднее значение для данного вариационного ряда равно 3,5. Следует отметить, что этот результат не совпадает ни с одним из предложенных вариантов ответа (A) 5,2; B) 4,95; C) 5,1; D) 5,3; E) 5,15. Это указывает на возможную ошибку в условии самой задачи или в вариантах ответов.

Ответ: 3,5.

3. По вариационному ряду относительных частот найдите дисперсию:

X: 2, 4, 6, 8

$\frac{n_i}{n}$: 0,2, 0,2, 0,4, 0,2

A) 15,84;

B) 14,9;

C) 15,16;

D) 14,6;

E) 14,8.

Для нахождения дисперсии $D(X)$ дискретной случайной величины, заданной вариационным рядом, воспользуемся формулой: $D(X) = M(X^2) - [M(X)]^2$, где $M(X)$ – математическое ожидание (среднее значение) случайной величины, а $M(X^2)$ – математическое ожидание квадрата случайной величины.

1. Сначала найдем математическое ожидание $M(X)$. Оно вычисляется как сумма произведений значений случайной величины $x_i$ на соответствующие им относительные частоты $w_i = \frac{n_i}{n}$.

Дан вариационный ряд:

$x_1 = 2$ с частотой $w_1 = 0,2$

$x_2 = 4$ с частотой $w_2 = 0,2$

$x_3 = 6$ с частотой $w_3 = 0,4$

$x_4 = 8$ с частотой $w_4 = 0,2$

Математическое ожидание $M(X)$ равно:

$M(X) = \sum_{i=1}^{4} x_i w_i = x_1 w_1 + x_2 w_2 + x_3 w_3 + x_4 w_4 = (2 \cdot 0,2) + (4 \cdot 0,2) + (6 \cdot 0,4) + (8 \cdot 0,2) = 0,4 + 0,8 + 2,4 + 1,6 = 5,2$.

2. Теперь найдем математическое ожидание квадрата случайной величины $M(X^2)$. Оно вычисляется как сумма произведений квадратов значений случайной величины $x_i^2$ на соответствующие им относительные частоты $w_i$.

Квадраты значений $x_i$:

$x_1^2 = 2^2 = 4$

$x_2^2 = 4^2 = 16$

$x_3^2 = 6^2 = 36$

$x_4^2 = 8^2 = 64$

Математическое ожидание $M(X^2)$ равно:

$M(X^2) = \sum_{i=1}^{4} x_i^2 w_i = (4 \cdot 0,2) + (16 \cdot 0,2) + (36 \cdot 0,4) + (64 \cdot 0,2) = 0,8 + 3,2 + 14,4 + 12,8 = 31,2$.

3. Наконец, вычислим дисперсию $D(X)$ по формуле:

$D(X) = M(X^2) - [M(X)]^2 = 31,2 - (5,2)^2 = 31,2 - 27,04 = 4,16$.

Вычисленное значение дисперсии равно $4,16$. Ни один из предложенных вариантов ответа (A) 15,84; B) 14,9; C) 15,16; D) 14,6; E) 14,8 не соответствует полученному результату. Скорее всего, в условии задачи или в вариантах ответов содержится ошибка.

Ответ: 4,16.