Страница 143 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

14. 1) $F(x) = x + \frac{1}{x}$,

2) $F(x) = \cos x^4$,

3) $F(x) = -1.5\sin^2 \left(x + \frac{\pi}{8}\right)$,

4) $F(x) = -\text{ctg } 5x + 5x$;

$f(x) = \frac{x^2 - 1}{x^2}, x \in (0, +\infty)$;

$f(x) = -4x^3 \sin x^4, x \in \mathbb{R}$;

$f(x) = -\frac{3}{2}\sin\left(2x + \frac{\pi}{4}\right), x \in \mathbb{R}$;

$f(x) = 5\left(\frac{1}{\sin^2 5x} + 1\right), x \in \left(0, \frac{\pi}{5}\right)$.

1) Чтобы проверить, является ли функция $F(x) = x + \frac{1}{x}$ первообразной для функции $f(x) = \frac{x^2 - 1}{x^2}$ на промежутке $(0; +\infty)$, необходимо найти производную функции $F(x)$ и сравнить ее с $f(x)$.

Находим производную $F'(x)$:

$F'(x) = (x + \frac{1}{x})' = (x + x^{-1})' = (x)' + (x^{-1})' = 1 - 1 \cdot x^{-2} = 1 - \frac{1}{x^2}$.

Приведем полученное выражение к общему знаменателю:

$1 - \frac{1}{x^2} = \frac{x^2}{x^2} - \frac{1}{x^2} = \frac{x^2 - 1}{x^2}$.

Таким образом, $F'(x) = \frac{x^2 - 1}{x^2}$, что совпадает с функцией $f(x)$ на заданном промежутке. Следовательно, $F(x)$ является первообразной для $f(x)$.

Ответ: Да, является.

2) Проверим, является ли $F(x) = \cos(x^4)$ первообразной для $f(x) = -4x^3 \sin(x^4)$ на множестве $x \in R$. Для этого найдем производную $F'(x)$, используя правило дифференцирования сложной функции (цепное правило).

Производная внешней функции $(\cos u)' = -\sin u$ и производная внутренней функции $(x^4)' = 4x^3$.

$F'(x) = (\cos(x^4))' = -\sin(x^4) \cdot (x^4)' = -\sin(x^4) \cdot 4x^3 = -4x^3 \sin(x^4)$.

Полученная производная $F'(x)$ совпадает с функцией $f(x)$. Следовательно, $F(x)$ является первообразной для $f(x)$.

Ответ: Да, является.

3) Проверим, является ли $F(x) = -1,5\sin^2(x + \frac{\pi}{8})$ первообразной для $f(x) = -\frac{3}{2}\sin(2x + \frac{\pi}{4})$ на множестве $x \in R$.

Запишем $F(x)$ как $F(x) = -\frac{3}{2}\sin^2(x + \frac{\pi}{8})$. Найдем производную $F'(x)$ по правилу дифференцирования сложной функции.

$F'(x) = (-\frac{3}{2}\sin^2(x + \frac{\pi}{8}))' = -\frac{3}{2} \cdot 2\sin(x + \frac{\pi}{8}) \cdot (\sin(x + \frac{\pi}{8}))'$.

$F'(x) = -3\sin(x + \frac{\pi}{8}) \cdot \cos(x + \frac{\pi}{8}) \cdot (x + \frac{\pi}{8})'$.

$F'(x) = -3\sin(x + \frac{\pi}{8})\cos(x + \frac{\pi}{8}) \cdot 1$.

Используем формулу синуса двойного угла $2\sin\alpha\cos\alpha = \sin(2\alpha)$, из которой следует, что $\sin\alpha\cos\alpha = \frac{1}{2}\sin(2\alpha)$. В данном случае $\alpha = x + \frac{\pi}{8}$.

$F'(x) = -3 \cdot \frac{1}{2}\sin(2(x + \frac{\pi}{8})) = -\frac{3}{2}\sin(2x + 2\cdot\frac{\pi}{8}) = -\frac{3}{2}\sin(2x + \frac{\pi}{4})$.

Производная $F'(x)$ совпадает с функцией $f(x)$. Следовательно, $F(x)$ является первообразной для $f(x)$.

Ответ: Да, является.

4) Проверим, является ли $F(x) = -\cot(5x) + 5x$ первообразной для $f(x) = 5(\frac{1}{\sin^2(5x)} + 1)$ на промежутке $x \in (0; \frac{\pi}{5})$.

Найдем производную функции $F(x)$.

$F'(x) = (-\cot(5x) + 5x)' = (-\cot(5x))' + (5x)'$.

Используем правило дифференцирования сложной функции для первого слагаемого. Производная котангенса $(\cot u)' = -\frac{1}{\sin^2 u}$.

$(-\cot(5x))' = -(-\frac{1}{\sin^2(5x)}) \cdot (5x)' = \frac{1}{\sin^2(5x)} \cdot 5 = \frac{5}{\sin^2(5x)}$.

Производная второго слагаемого: $(5x)' = 5$.

Складываем полученные производные:

$F'(x) = \frac{5}{\sin^2(5x)} + 5$.

Вынесем общий множитель 5 за скобки:

$F'(x) = 5(\frac{1}{\sin^2(5x)} + 1)$.

Полученное выражение совпадает с функцией $f(x)$ на заданном промежутке. Следовательно, $F(x)$ является первообразной для $f(x)$.

Ответ: Да, является.

$(\sin 5x)' )$

15. 1) $F(x) = \frac{3^x}{\ln 3} + 3x,$ $f(x) = 3^x + 3, x \in R;$

2) $F(x) = \ln x - (0,5)^x,$ $f(x) = \frac{1}{x} - 0,5^x \ln \frac{1}{2}, x \in R;$

3) $F(x) = x - \ln x^3,$ $f(x) = \frac{x - 3}{x}, x \in (0; +\infty);$

4) $F(x) = \ln x^2,$ $f(x) = \frac{2}{x}, x \in (0; +\infty).$

1) Чтобы определить, является ли функция $f(x)$ производной для функции $F(x)$, необходимо найти производную $F'(x)$ и сравнить ее с $f(x)$.

Дана функция $F(x) = \frac{3^x}{\ln{3}} + 3x$.

Найдем ее производную, используя правило дифференцирования суммы $(u+v)' = u' + v'$ и формулу производной показательной функции $(a^x)' = a^x \ln a$:

$F'(x) = \left(\frac{3^x}{\ln{3}} + 3x\right)' = \left(\frac{3^x}{\ln{3}}\right)' + (3x)' = \frac{1}{\ln{3}} \cdot (3^x)' + 3 = \frac{1}{\ln{3}} \cdot (3^x \ln{3}) + 3 = 3^x + 3$.

Полученная производная $F'(x) = 3^x + 3$ полностью совпадает с данной функцией $f(x) = 3^x + 3$. Области определения обеих функций ($x \in R$) также совпадают. Следовательно, $f(x)$ является производной для $F(x)$.

Ответ: Да, является.

2) Дана функция $F(x) = \ln x - (0,5)^x$.

Область определения этой функции $x > 0$, так как аргумент натурального логарифма должен быть строго положительным.

Найдем производную $F'(x)$, используя правило дифференцирования разности $(u-v)' = u' - v'$ и формулы производных для логарифмической и показательной функций:

$F'(x) = (\ln x - (0,5)^x)' = (\ln x)' - ((0,5)^x)' = \frac{1}{x} - 0,5^x \ln{0,5}$.

Сравним результат с предложенной функцией $f(x) = \frac{1}{x} - 0,5^x \ln\frac{1}{2}$.

Поскольку $0,5 = \frac{1}{2}$, то их натуральные логарифмы равны: $\ln{0,5} = \ln\frac{1}{2}$.

Таким образом, $F'(x) = f(x)$ на общей области определения $x \in (0, +\infty)$.

Ответ: Да, является.

3) Дана функция $F(x) = x - \ln{x^3}$.

Область определения функции $F(x)$ задается условием $x^3 > 0$, что эквивалентно $x > 0$. Это совпадает с областью определения $x \in (0, +\infty)$ для функции $f(x)$.

Перед нахождением производной можно упростить $F(x)$, используя свойство логарифма $\ln a^b = b \ln a$:

$F(x) = x - 3\ln x$.

Теперь найдем производную:

$F'(x) = (x - 3\ln x)' = (x)' - (3\ln x)' = 1 - 3 \cdot \frac{1}{x} = 1 - \frac{3}{x}$.

Приведем полученное выражение к общему знаменателю, чтобы сравнить с $f(x) = \frac{x-3}{x}$:

$F'(x) = \frac{x}{x} - \frac{3}{x} = \frac{x-3}{x}$.

Результат совпадает с функцией $f(x)$.

Ответ: Да, является.

4) Дана функция $F(x) = \ln{x^2}$ и функция $f(x) = \frac{2}{x}$ на промежутке $x \in (0, +\infty)$.

На указанном промежутке $x > 0$, поэтому можно упростить выражение для $F(x)$, используя свойство логарифма $\ln a^b = b \ln a$:

$F(x) = \ln{x^2} = 2\ln x$.

Найдем производную этой функции:

$F'(x) = (2\ln x)' = 2 \cdot (\ln x)' = 2 \cdot \frac{1}{x} = \frac{2}{x}$.

Полученная производная $F'(x)$ совпадает с функцией $f(x)$ на заданном промежутке $x \in (0, +\infty)$.

Ответ: Да, является.

Упростите выражения (16–19);

16. 1) $(\sqrt{a}-\sqrt{a-b})(\sqrt{a}+\sqrt{a-b})$;

2) $\sqrt{(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2 - 4\sqrt{ab}};

3) $\frac{a^{\frac{4}{3}} - 4a^{\frac{1}{3}}}{a^{\frac{5}{6}} - 2a^{\frac{1}{6}}};

4) $\frac{a^{\frac{23}{3}} - 25a^{\frac{1}{2}}}{a^{\frac{13}{6}} - 5a^{\frac{1}{2}}}.

1) Для упрощения выражения $(\sqrt{a} - \sqrt{a-b})(\sqrt{a} + \sqrt{a-b})$ воспользуемся формулой разности квадратов $(x-y)(x+y) = x^2 - y^2$.

В данном случае $x = \sqrt{a}$ и $y = \sqrt{a-b}$.

Применяя формулу, получаем: $(\sqrt{a})^2 - (\sqrt{a-b})^2 = a - (a-b) = a - a + b = b$.

Ответ: $b$

2) Рассмотрим выражение под корнем $\sqrt{(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2 - 4\sqrt{ab}}$.

Сначала раскроем скобки в выражении $(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2$, используя формулу квадрата суммы: $(\sqrt{a})^2 + 2\sqrt{a}\sqrt{b} + (\sqrt{b})^2 = a + 2\sqrt{ab} + b$.

Теперь подставим это в подкоренное выражение: $a + 2\sqrt{ab} + b - 4\sqrt{ab} = a - 2\sqrt{ab} + b$.

Полученное выражение является полным квадратом разности: $( \sqrt{a} - \sqrt{b} )^2$.

Таким образом, исходное выражение можно переписать в виде $\sqrt{(\sqrt{a} - \sqrt{b})^2}$.

Используя свойство $\sqrt{x^2} = |x|$, получаем окончательный результат: $|\sqrt{a} - \sqrt{b}|$.

Ответ: $|\sqrt{a}-\sqrt{b}|$

3) Упростим дробь $\frac{a^{\frac{4}{3}} - 4a^{\frac{1}{3}}}{a^{\frac{5}{6}} - 2a^{\frac{1}{3}}}$.

В числителе вынесем за скобки общий множитель $a^{\frac{1}{3}}$: $a^{\frac{4}{3}} - 4a^{\frac{1}{3}} = a^{\frac{1}{3}}(a^{\frac{4}{3}-\frac{1}{3}} - 4) = a^{\frac{1}{3}}(a - 4)$.

В знаменателе вынесем за скобки общий множитель $a^{\frac{1}{3}}$ (наименьшая степень): $a^{\frac{5}{6}} - 2a^{\frac{1}{3}} = a^{\frac{1}{3}}(a^{\frac{5}{6}-\frac{1}{3}} - 2) = a^{\frac{1}{3}}(a^{\frac{5-2}{6}} - 2) = a^{\frac{1}{3}}(a^{\frac{3}{6}} - 2) = a^{\frac{1}{3}}(a^{\frac{1}{2}} - 2)$.

Теперь дробь имеет вид: $\frac{a^{\frac{1}{3}}(a - 4)}{a^{\frac{1}{3}}(a^{\frac{1}{2}} - 2)}$.

Сократим на $a^{\frac{1}{3}}$ (при $a \neq 0$): $\frac{a - 4}{a^{\frac{1}{2}} - 2}$.

Числитель $a-4$ можно разложить как разность квадратов, представив $a$ как $(a^{\frac{1}{2}})^2$: $a - 4 = (a^{\frac{1}{2}})^2 - 2^2 = (a^{\frac{1}{2}} - 2)(a^{\frac{1}{2}} + 2)$.

Подставим разложенный числитель обратно в дробь: $\frac{(a^{\frac{1}{2}} - 2)(a^{\frac{1}{2}} + 2)}{a^{\frac{1}{2}} - 2}$.

Сократив общий множитель $(a^{\frac{1}{2}} - 2)$, получаем $a^{\frac{1}{2}} + 2$.

Ответ: $a^{\frac{1}{2}} + 2$

4) Рассмотрим выражение $\frac{a^{\frac{23}{3}} - 25a^{\frac{1}{2}}}{a^{\frac{13}{6}} - 5a^{\frac{1}{2}}}$. В показателе степени $a^{\frac{23}{3}}$ в числителе, вероятно, допущена опечатка. Чтобы выражение можно было упростить по аналогии с предыдущими заданиями (где присутствуют квадраты чисел 2 и 5), логично предположить, что показатель должен быть $\frac{23}{6}$, а не $\frac{23}{3}$.

Будем решать задачу с исправленным показателем: $\frac{a^{\frac{23}{6}} - 25a^{\frac{1}{2}}}{a^{\frac{13}{6}} - 5a^{\frac{1}{2}}}$.

Вынесем общий множитель $a^{\frac{1}{2}}$ в числителе: $a^{\frac{23}{6}} - 25a^{\frac{1}{2}} = a^{\frac{1}{2}}(a^{\frac{23}{6}-\frac{1}{2}} - 25) = a^{\frac{1}{2}}(a^{\frac{23-3}{6}} - 25) = a^{\frac{1}{2}}(a^{\frac{20}{6}} - 25) = a^{\frac{1}{2}}(a^{\frac{10}{3}} - 25)$.

Вынесем общий множитель $a^{\frac{1}{2}}$ в знаменателе: $a^{\frac{13}{6}} - 5a^{\frac{1}{2}} = a^{\frac{1}{2}}(a^{\frac{13}{6}-\frac{1}{2}} - 5) = a^{\frac{1}{2}}(a^{\frac{13-3}{6}} - 5) = a^{\frac{1}{2}}(a^{\frac{10}{6}} - 5) = a^{\frac{1}{2}}(a^{\frac{5}{3}} - 5)$.

Дробь принимает вид: $\frac{a^{\frac{1}{2}}(a^{\frac{10}{3}} - 25)}{a^{\frac{1}{2}}(a^{\frac{5}{3}} - 5)} = \frac{a^{\frac{10}{3}} - 25}{a^{\frac{5}{3}} - 5}$.

Числитель $a^{\frac{10}{3}} - 25$ является разностью квадратов, так как $a^{\frac{10}{3}} = (a^{\frac{5}{3}})^2$: $(a^{\frac{5}{3}})^2 - 5^2 = (a^{\frac{5}{3}} - 5)(a^{\frac{5}{3}} + 5)$.

Подставляем в дробь: $\frac{(a^{\frac{5}{3}} - 5)(a^{\frac{5}{3}} + 5)}{a^{\frac{5}{3}} - 5}$.

Сократив общий множитель $(a^{\frac{5}{3}} - 5)$, получаем $a^{\frac{5}{3}} + 5$.

Ответ: $a^{\frac{5}{3}} + 5$

17. 1)

$\left( \frac{x^{\frac{1}{2}} + 4}{x^{1.5} - 4x} - \frac{x^{\frac{1}{2}} - 4}{x^{1.5} + 4x} \right) : \frac{x - 16}{x^{\frac{1}{2}}}$

2)

$\left( \frac{5}{y - 5y^{\frac{1}{2}}} - \frac{y^{1.5}}{y^2 - 25} \right) : \frac{5y^{\frac{1}{2}} + 25 - y}{y^{\frac{1}{2}} + 5}$

1) Сначала упростим выражение в скобках. Для этого приведем дроби к общему знаменателю.

Вынесем общие множители в знаменателях:

$x^{1.5} - 4x = x \cdot x^{0.5} - 4x = x(x^{0.5} - 4)$

$x^{1.5} + 4x = x \cdot x^{0.5} + 4x = x(x^{0.5} + 4)$

Теперь выражение в скобках имеет вид:

$ \frac{x^{\frac{1}{2}} + 4}{x(x^{\frac{1}{2}} - 4)} - \frac{x^{\frac{1}{2}} - 4}{x(x^{\frac{1}{2}} + 4)} $

Общий знаменатель: $x(x^{\frac{1}{2}} - 4)(x^{\frac{1}{2}} + 4)$. Приводим дроби к нему:

$ \frac{(x^{\frac{1}{2}} + 4)(x^{\frac{1}{2}} + 4) - (x^{\frac{1}{2}} - 4)(x^{\frac{1}{2}} - 4)}{x(x^{\frac{1}{2}} - 4)(x^{\frac{1}{2}} + 4)} = \frac{(x^{\frac{1}{2}} + 4)^2 - (x^{\frac{1}{2}} - 4)^2}{x((x^{\frac{1}{2}})^2 - 4^2)} $

В числителе применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:

$ (x^{\frac{1}{2}} + 4)^2 - (x^{\frac{1}{2}} - 4)^2 = ((x^{\frac{1}{2}} + 4) - (x^{\frac{1}{2}} - 4))((x^{\frac{1}{2}} + 4) + (x^{\frac{1}{2}} - 4)) = (8)(2x^{\frac{1}{2}}) = 16x^{\frac{1}{2}} $

В знаменателе также применим формулу разности квадратов: $x(x^{\frac{1}{2}} - 4)(x^{\frac{1}{2}} + 4) = x(x-16)$.

Результат первого действия:

$ \frac{16x^{\frac{1}{2}}}{x(x - 16)} $

Теперь выполним деление:

$ \frac{16x^{\frac{1}{2}}}{x(x - 16)} : \frac{x - 16}{x^{\frac{1}{2}}} $

Заменим деление на умножение на обратную дробь:

$ \frac{16x^{\frac{1}{2}}}{x(x - 16)} \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}}}{x - 16} = \frac{16 \cdot x^{\frac{1}{2}} \cdot x^{\frac{1}{2}}}{x(x-16)^2} = \frac{16x}{x(x - 16)^2} $

Сократим $x$:

$ \frac{16}{(x-16)^2} $

Ответ: $ \frac{16}{(x - 16)^2} $

2) Упростим выражение в скобках. Сначала разложим знаменатели на множители.

$y - 5y^{\frac{1}{2}} = y^{\frac{1}{2}}(y^{\frac{1}{2}} - 5)$

$y^2 - 25y = y(y - 25) = y((y^{\frac{1}{2}})^2 - 5^2) = y(y^{\frac{1}{2}} - 5)(y^{\frac{1}{2}} + 5)$

Упростим вторую дробь в скобках, учитывая, что $y^{1.5} = y \cdot y^{\frac{1}{2}}$:

$ \frac{y^{1.5}}{y^2 - 25y} = \frac{y \cdot y^{\frac{1}{2}}}{y(y^{\frac{1}{2}} - 5)(y^{\frac{1}{2}} + 5)} = \frac{y^{\frac{1}{2}}}{(y^{\frac{1}{2}} - 5)(y^{\frac{1}{2}} + 5)} $

Теперь выполним вычитание в скобках:

$ \frac{5}{y^{\frac{1}{2}}(y^{\frac{1}{2}} - 5)} - \frac{y^{\frac{1}{2}}}{(y^{\frac{1}{2}} - 5)(y^{\frac{1}{2}} + 5)} $

Общий знаменатель: $y^{\frac{1}{2}}(y^{\frac{1}{2}} - 5)(y^{\frac{1}{2}} + 5)$.

$ \frac{5(y^{\frac{1}{2}} + 5) - y^{\frac{1}{2}} \cdot y^{\frac{1}{2}}}{y^{\frac{1}{2}}(y^{\frac{1}{2}} - 5)(y^{\frac{1}{2}} + 5)} = \frac{5y^{\frac{1}{2}} + 25 - y}{y^{\frac{1}{2}}(y - 25)} $

Теперь выполним деление:

$ \frac{5y^{\frac{1}{2}} + 25 - y}{y^{\frac{1}{2}}(y - 25)} : \frac{5y^{\frac{1}{2}} + 25 - y}{y^{\frac{1}{2}} + 5} $

Заменим деление на умножение на обратную дробь и представим $y-25$ как $(y^{\frac{1}{2}} - 5)(y^{\frac{1}{2}} + 5)$:

$ \frac{5y^{\frac{1}{2}} + 25 - y}{y^{\frac{1}{2}}(y^{\frac{1}{2}} - 5)(y^{\frac{1}{2}} + 5)} \cdot \frac{y^{\frac{1}{2}} + 5}{5y^{\frac{1}{2}} + 25 - y} $

Сократим одинаковые множители $(5y^{\frac{1}{2}} + 25 - y)$ и $(y^{\frac{1}{2}} + 5)$:

$ \frac{1}{y^{\frac{1}{2}}(y^{\frac{1}{2}} - 5)} $

Результат можно оставить в таком виде или раскрыть скобки в знаменателе:

$ \frac{1}{y - 5y^{\frac{1}{2}}} $

Ответ: $ \frac{1}{y^{\frac{1}{2}}(y^{\frac{1}{2}} - 5)} $

18. 1)
$ \left( \frac{b^{\frac{1}{2}} + 6}{b^{\frac{3}{2}} - 6b} - \frac{b^{0.5} - 6}{b^{1.5} + 6b} \right) : \frac{2b^{0.5}}{b - 36}; $

2) $ \left( \frac{7}{b - 7b^{0.5}} - \frac{b^{\frac{3}{2}}}{b^2 - 49b} \right) \cdot \frac{b^{0.5} + 7}{49 + 7b^{\frac{1}{2}} - b}. $

1) Упростим выражение $(\frac{b^{\frac{1}{2}} + 6}{b^{\frac{3}{2}} - 6b} - \frac{b^{0.5} - 6}{b^{1.5} + 6b}) : \frac{2b^{0.5}}{b - 36}$.

Сначала преобразуем выражение в скобках. Для удобства будем использовать запись $b^{0.5} = \sqrt{b}$ и $b^{1.5} = b\sqrt{b}$.

$(\frac{\sqrt{b} + 6}{b\sqrt{b} - 6b} - \frac{\sqrt{b} - 6}{b\sqrt{b} + 6b})$

Вынесем общие множители в знаменателях:

$\frac{\sqrt{b} + 6}{b(\sqrt{b} - 6)} - \frac{\sqrt{b} - 6}{b(\sqrt{b} + 6)}$

Приведем дроби к общему знаменателю $b(\sqrt{b} - 6)(\sqrt{b} + 6)$, который равен $b(b-36)$ по формуле разности квадратов:

$\frac{(\sqrt{b} + 6)(\sqrt{b} + 6) - (\sqrt{b} - 6)(\sqrt{b} - 6)}{b(\sqrt{b} - 6)(\sqrt{b} + 6)} = \frac{(\sqrt{b} + 6)^2 - (\sqrt{b} - 6)^2}{b(b - 36)}$

Упростим числитель, используя формулу разности квадратов $a^2 - c^2 = (a-c)(a+c)$, где $a = \sqrt{b}+6$ и $c=\sqrt{b}-6$:

$((\sqrt{b} + 6) - (\sqrt{b} - 6))((\sqrt{b} + 6) + (\sqrt{b} - 6)) = (\sqrt{b} + 6 - \sqrt{b} + 6)(\sqrt{b} + 6 + \sqrt{b} - 6) = (12)(2\sqrt{b}) = 24\sqrt{b}$

Таким образом, выражение в скобках равно $\frac{24\sqrt{b}}{b(b - 36)}$.

Теперь выполним деление:

$\frac{24\sqrt{b}}{b(b - 36)} : \frac{2b^{0.5}}{b - 36} = \frac{24\sqrt{b}}{b(b - 36)} \cdot \frac{b - 36}{2\sqrt{b}}$

Сокращаем общие множители $(b-36)$ и $\sqrt{b}$ (или $b^{0.5}$):

$\frac{24}{b \cdot 2} = \frac{12}{b}$

Ответ: $\frac{12}{b}$

2) Упростим выражение $(\frac{7}{b - 7b^{0.5}} - \frac{b^{\frac{3}{2}}}{b^2 - 49b}) \cdot \frac{b^{0.5} + 7}{49 + 7b^{\frac{1}{2}} - b}$.

Сначала преобразуем выражение в скобках, используя $b^{0.5} = \sqrt{b}$ и $b^{3/2} = b\sqrt{b}$.

$\frac{7}{b - 7\sqrt{b}} - \frac{b\sqrt{b}}{b^2 - 49b}$

Разложим знаменатели на множители:

$\frac{7}{\sqrt{b}(\sqrt{b} - 7)} - \frac{b\sqrt{b}}{b(b - 49)}$

Сократим $b$ во второй дроби и разложим знаменатель $b-49$ по формуле разности квадратов:

$\frac{7}{\sqrt{b}(\sqrt{b} - 7)} - \frac{\sqrt{b}}{(\sqrt{b} - 7)(\sqrt{b} + 7)}$

Приведем дроби к общему знаменателю $\sqrt{b}(\sqrt{b} - 7)(\sqrt{b} + 7)$:

$\frac{7(\sqrt{b} + 7) - \sqrt{b} \cdot \sqrt{b}}{\sqrt{b}(\sqrt{b} - 7)(\sqrt{b} + 7)} = \frac{7\sqrt{b} + 49 - b}{\sqrt{b}(\sqrt{b} - 7)(\sqrt{b} + 7)}$

Теперь выполним умножение. Заметим, что $b^{0.5} = b^{1/2} = \sqrt{b}$

$\frac{49 + 7\sqrt{b} - b}{\sqrt{b}(\sqrt{b} - 7)(\sqrt{b} + 7)} \cdot \frac{\sqrt{b} + 7}{49 + 7\sqrt{b} - b}$

Сократим одинаковые выражения в числителе первой дроби и знаменателе второй, а также в знаменателе первой и числителе второй:

$\frac{1}{\sqrt{b}(\sqrt{b} - 7)}$

Преобразуем результат, чтобы избавиться от корней в знаменателе, и вернемся к записи со степенями:

$\frac{1}{\sqrt{b}(\sqrt{b} - 7)} = \frac{1}{b - 7\sqrt{b}} = \frac{1}{b - 7b^{0.5}}$

Ответ: $\frac{1}{b - 7b^{0.5}}$

19. 1) $ (\frac{25x - 16x^{-1}}{5x^{0.5} - 4x^{-0.5}} + \frac{x - 4x^{-1}}{x^{0.5} - 2x^{-0.5}})^2 $

2) $ \frac{1 - y^{-2}}{y^{0.5} - y^{-0.5}} - \frac{2}{y^{0.5}} - \frac{y^{-2} - 1}{y^{0.5} + y^{-0.5}} $

1) Упростим выражение $(\frac{25x - 16x^{-1}}{5x^{0.5} - 4x^{-0.5}} + \frac{x - 4x^{-1}}{x^{0.5} - 2x^{-0.5}})^2$ по действиям.Сначала упростим каждую дробь в скобках, используя формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$.Для первой дроби числитель $25x - 16x^{-1}$ можно представить как $(5x^{0.5})^2 - (4x^{-0.5})^2$.Таким образом, $25x - 16x^{-1} = (5x^{0.5} - 4x^{-0.5})(5x^{0.5} + 4x^{-0.5})$.Первая дробь упрощается: $\frac{(5x^{0.5} - 4x^{-0.5})(5x^{0.5} + 4x^{-0.5})}{5x^{0.5} - 4x^{-0.5}} = 5x^{0.5} + 4x^{-0.5}$.Для второй дроби числитель $x - 4x^{-1}$ можно представить как $(x^{0.5})^2 - (2x^{-0.5})^2$.Таким образом, $x - 4x^{-1} = (x^{0.5} - 2x^{-0.5})(x^{0.5} + 2x^{-0.5})$.Вторая дробь упрощается: $\frac{(x^{0.5} - 2x^{-0.5})(x^{0.5} + 2x^{-0.5})}{x^{0.5} - 2x^{-0.5}} = x^{0.5} + 2x^{-0.5}$.Теперь сложим полученные выражения:$(5x^{0.5} + 4x^{-0.5}) + (x^{0.5} + 2x^{-0.5}) = 6x^{0.5} + 6x^{-0.5} = 6(x^{0.5} + x^{-0.5})$.Наконец, возведем результат в квадрат, используя формулу $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$:$(6(x^{0.5} + x^{-0.5}))^2 = 36(x^{0.5} + x^{-0.5})^2 = 36((x^{0.5})^2 + 2 \cdot x^{0.5} \cdot x^{-0.5} + (x^{-0.5})^2) = 36(x + 2x^0 + x^{-1}) = 36(x + 2 + x^{-1})$.Ответ: $36(x + 2 + x^{-1})$.

2) Упростим выражение $\frac{1 - y^{-2}}{y^{0.5} - y^{-0.5}} - \frac{2}{y^{0.5}} - \frac{y^{-2} - 1}{y^{0.5} + y^{-0.5}}$.Преобразуем третий член выражения: $-\frac{y^{-2} - 1}{y^{0.5} + y^{-0.5}} = \frac{-(y^{-2} - 1)}{y^{0.5} + y^{-0.5}} = \frac{1 - y^{-2}}{y^{0.5} + y^{-0.5}}$.Теперь выражение имеет вид: $\frac{1 - y^{-2}}{y^{0.5} - y^{-0.5}} + \frac{1 - y^{-2}}{y^{0.5} + y^{-0.5}} - \frac{2}{y^{0.5}}$.Сгруппируем первые два слагаемых, вынеся общий множитель $(1 - y^{-2})$ за скобки:$(1 - y^{-2}) \left( \frac{1}{y^{0.5} - y^{-0.5}} + \frac{1}{y^{0.5} + y^{-0.5}} \right) - \frac{2}{y^{0.5}}$.Упростим выражение в скобках, приведя дроби к общему знаменателю $(y^{0.5} - y^{-0.5})(y^{0.5} + y^{-0.5}) = (y^{0.5})^2 - (y^{-0.5})^2 = y - y^{-1}$:$\frac{(y^{0.5} + y^{-0.5}) + (y^{0.5} - y^{-0.5})}{(y^{0.5} - y^{-0.5})(y^{0.5} + y^{-0.5})} = \frac{2y^{0.5}}{y - y^{-1}}$.Подставим это обратно в сгруппированное выражение:$(1 - y^{-2}) \cdot \frac{2y^{0.5}}{y - y^{-1}}$.Заменим $1 - y^{-2}$ на $\frac{y^2 - 1}{y^2}$ и $y - y^{-1}$ на $\frac{y^2-1}{y}$:$\frac{y^2-1}{y^2} \cdot \frac{2y^{0.5}}{\frac{y^2-1}{y}} = \frac{y^2-1}{y^2} \cdot \frac{2y^{0.5}y}{y^2-1}$.При условии $y \neq 1$, сокращаем $(y^2-1)$:$\frac{1}{y^2} \cdot 2y^{0.5}y = \frac{2y^{1.5}}{y^2} = 2y^{1.5-2} = 2y^{-0.5}$.Теперь вернемся к исходному выражению, подставив упрощенную часть:$2y^{-0.5} - \frac{2}{y^{0.5}} = 2y^{-0.5} - 2y^{-0.5} = 0$.Ответ: $0$.

20. Докажите тождество:

1) $ \sqrt{97 - 56\sqrt{3}} = 7 - 4\sqrt{3} $;

2) $ \sqrt[3]{16 - 8\sqrt{5}} = 1 - \sqrt{5} $;

3) $ \frac{1 + \sqrt{3}}{3 + \sqrt{3}} = \frac{2 + \sqrt{3}}{\sqrt{21 + 12\sqrt{3}}} $;

4) $ \frac{\sqrt{3} - 1}{\sqrt{3} + 1} = \sqrt[3]{26 - 15\sqrt{3}} $.

1) Для доказательства тождества $\sqrt{97 - 56\sqrt{3}} = 7 - 4\sqrt{3}$ возведем правую часть в квадрат. Прежде всего, убедимся, что выражение в правой части неотрицательно, так как значение арифметического квадратного корня не может быть отрицательным.

Сравним $7$ и $4\sqrt{3}$. Возведем оба числа в квадрат: $7^2 = 49$ и $(4\sqrt{3})^2 = 16 \cdot 3 = 48$. Так как $49 > 48$, то $7 > 4\sqrt{3}$, и, следовательно, $7 - 4\sqrt{3} > 0$.

Теперь возведем правую часть в квадрат, используя формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:

$(7 - 4\sqrt{3})^2 = 7^2 - 2 \cdot 7 \cdot 4\sqrt{3} + (4\sqrt{3})^2 = 49 - 56\sqrt{3} + 16 \cdot 3 = 49 - 56\sqrt{3} + 48 = 97 - 56\sqrt{3}$.

Полученное выражение совпадает с подкоренным выражением в левой части. Таким образом, $\sqrt{97 - 56\sqrt{3}} = \sqrt{(7 - 4\sqrt{3})^2} = |7 - 4\sqrt{3}| = 7 - 4\sqrt{3}$. Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

2) Для доказательства тождества $\sqrt[3]{16 - 8\sqrt{5}} = 1 - \sqrt{5}$ возведем правую часть в куб. Используем формулу куба разности $(a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$.

Пусть $a=1$ и $b=\sqrt{5}$. Тогда:

$(1 - \sqrt{5})^3 = 1^3 - 3 \cdot 1^2 \cdot \sqrt{5} + 3 \cdot 1 \cdot (\sqrt{5})^2 - (\sqrt{5})^3 = 1 - 3\sqrt{5} + 3 \cdot 5 - 5\sqrt{5}$.

Сгруппируем слагаемые: $(1 + 15) - (3\sqrt{5} + 5\sqrt{5}) = 16 - 8\sqrt{5}$.

Полученное выражение в точности совпадает с подкоренным выражением в левой части. Следовательно, $\sqrt[3]{16 - 8\sqrt{5}} = \sqrt[3]{(1 - \sqrt{5})^3} = 1 - \sqrt{5}$. Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

3) Для доказательства тождества $\frac{1 + \sqrt{3}}{3 + \sqrt{3}} = \frac{2 + \sqrt{3}}{\sqrt{21 + 12\sqrt{3}}}$ преобразуем обе части равенства по отдельности.

Сначала упростим левую часть. Вынесем $\sqrt{3}$ в знаменателе за скобки:

$\frac{1 + \sqrt{3}}{3 + \sqrt{3}} = \frac{1 + \sqrt{3}}{\sqrt{3}(\sqrt{3} + 1)} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$.

Теперь упростим правую часть. Начнем с подкоренного выражения в знаменателе: $21 + 12\sqrt{3}$. Попробуем представить его в виде полного квадрата $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

Пусть $2ab = 12\sqrt{3}$, тогда $ab = 6\sqrt{3}$. И $a^2 + b^2 = 21$. Подбором находим $a = 3$ и $b = 2\sqrt{3}$, так как $3^2 + (2\sqrt{3})^2 = 9 + 4 \cdot 3 = 9 + 12 = 21$.

Значит, $21 + 12\sqrt{3} = (3 + 2\sqrt{3})^2$. Тогда $\sqrt{21 + 12\sqrt{3}} = \sqrt{(3 + 2\sqrt{3})^2} = 3 + 2\sqrt{3}$.

Правая часть принимает вид: $\frac{2 + \sqrt{3}}{3 + 2\sqrt{3}}$.

Домножим числитель и знаменатель на выражение, сопряженное знаменателю, то есть на $3 - 2\sqrt{3}$:

$\frac{(2 + \sqrt{3})(3 - 2\sqrt{3})}{(3 + 2\sqrt{3})(3 - 2\sqrt{3})} = \frac{6 - 4\sqrt{3} + 3\sqrt{3} - 2(\sqrt{3})^2}{3^2 - (2\sqrt{3})^2} = \frac{6 - \sqrt{3} - 6}{9 - 12} = \frac{-\sqrt{3}}{-3} = \frac{\sqrt{3}}{3}$.

Поскольку обе части равенства равны одному и тому же числу $\frac{\sqrt{3}}{3}$, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

4) Для доказательства тождества $\frac{\sqrt{3} - 1}{\sqrt{3} + 1} = \sqrt[3]{26 - 15\sqrt{3}}$ сначала упростим левую часть. Домножим числитель и знаменатель дроби на выражение, сопряженное знаменателю, то есть на $\sqrt{3} - 1$:

$\frac{\sqrt{3} - 1}{\sqrt{3} + 1} = \frac{(\sqrt{3} - 1)(\sqrt{3} - 1)}{(\sqrt{3} + 1)(\sqrt{3} - 1)} = \frac{(\sqrt{3} - 1)^2}{(\sqrt{3})^2 - 1^2} = \frac{3 - 2\sqrt{3} + 1}{3 - 1} = \frac{4 - 2\sqrt{3}}{2} = 2 - \sqrt{3}$.

Теперь нужно показать, что полученное выражение $2 - \sqrt{3}$ равно правой части, то есть $\sqrt[3]{26 - 15\sqrt{3}}$. Для этого возведем $2 - \sqrt{3}$ в куб.

Используем формулу куба разности $(a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$:

$(2 - \sqrt{3})^3 = 2^3 - 3 \cdot 2^2 \cdot \sqrt{3} + 3 \cdot 2 \cdot (\sqrt{3})^2 - (\sqrt{3})^3 = 8 - 12\sqrt{3} + 6 \cdot 3 - 3\sqrt{3}$.

Сгруппируем слагаемые: $(8 + 18) - (12\sqrt{3} + 3\sqrt{3}) = 26 - 15\sqrt{3}$.

Результат совпадает с подкоренным выражением в правой части. Таким образом, $2 - \sqrt{3} = \sqrt[3]{26 - 15\sqrt{3}}$. Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

21. Докажите, что B — целое число, если:

1) $B = \sqrt{37 + 20\sqrt{3}} + \sqrt{37 - 20\sqrt{3}};$

2) $B = \sqrt{55 + 14\sqrt{6}} + \sqrt{55 - 14\sqrt{6}};$

3) $B = \sqrt[3]{26 + 15\sqrt{3}} + \sqrt[3]{26 - 15\sqrt{3}};$

4) $B = \sqrt[3]{29\sqrt{2} - 45} + \sqrt[3]{29\sqrt{2} + 45}.$

1)

Пусть $B = \sqrt{37 + 20\sqrt{3}} + \sqrt{37 - 20\sqrt{3}}$.

Поскольку оба слагаемых в выражении для $B$ положительны, то $B > 0$. Возведем обе части равенства в квадрат:

$B^2 = (\sqrt{37 + 20\sqrt{3}} + \sqrt{37 - 20\sqrt{3}})^2$

Используя формулу квадрата суммы $(x+y)^2 = x^2+2xy+y^2$, получаем:

$B^2 = (\sqrt{37 + 20\sqrt{3}})^2 + 2\sqrt{37 + 20\sqrt{3}}\sqrt{37 - 20\sqrt{3}} + (\sqrt{37 - 20\sqrt{3}})^2$

$B^2 = (37 + 20\sqrt{3}) + 2\sqrt{(37 + 20\sqrt{3})(37 - 20\sqrt{3})} + (37 - 20\sqrt{3})$

Слагаемые с $20\sqrt{3}$ взаимно уничтожаются. Для выражения под корнем применим формулу разности квадратов $(a+b)(a-b) = a^2-b^2$:

$B^2 = 74 + 2\sqrt{37^2 - (20\sqrt{3})^2}$

$B^2 = 74 + 2\sqrt{1369 - 400 \cdot 3}$

$B^2 = 74 + 2\sqrt{1369 - 1200}$

$B^2 = 74 + 2\sqrt{169}$

$B^2 = 74 + 2 \cdot 13 = 74 + 26 = 100$

Так как $B > 0$, из $B^2=100$ следует, что $B = \sqrt{100} = 10$. Число 10 является целым, что и требовалось доказать.

Ответ: $B=10$.

2)

Пусть $B = \sqrt{55 + 14\sqrt{6}} + \sqrt{55 - 14\sqrt{6}}$.

Так как $B>0$, возведем обе части в квадрат:

$B^2 = (\sqrt{55 + 14\sqrt{6}} + \sqrt{55 - 14\sqrt{6}})^2$

$B^2 = (55 + 14\sqrt{6}) + 2\sqrt{(55 + 14\sqrt{6})(55 - 14\sqrt{6})} + (55 - 14\sqrt{6})$

$B^2 = 110 + 2\sqrt{55^2 - (14\sqrt{6})^2}$

$B^2 = 110 + 2\sqrt{3025 - 196 \cdot 6}$

$B^2 = 110 + 2\sqrt{3025 - 1176}$

$B^2 = 110 + 2\sqrt{1849}$

$B^2 = 110 + 2 \cdot 43 = 110 + 86 = 196$

Так как $B > 0$, то $B = \sqrt{196} = 14$. Число 14 является целым, что и требовалось доказать.

Ответ: $B=14$.

3)

Пусть $B = \sqrt[3]{26 + 15\sqrt{3}} + \sqrt[3]{26 - 15\sqrt{3}}$.

Возведем обе части равенства в куб, используя формулу $(x+y)^3 = x^3 + y^3 + 3xy(x+y)$:

$B^3 = (\sqrt[3]{26 + 15\sqrt{3}})^3 + (\sqrt[3]{26 - 15\sqrt{3}})^3 + 3\sqrt[3]{26 + 15\sqrt{3}}\sqrt[3]{26 - 15\sqrt{3}}(\sqrt[3]{26 + 15\sqrt{3}} + \sqrt[3]{26 - 15\sqrt{3}})$

Заметим, что выражение в скобках в конце равно $B$.

$B^3 = (26 + 15\sqrt{3}) + (26 - 15\sqrt{3}) + 3\sqrt[3]{(26 + 15\sqrt{3})(26 - 15\sqrt{3})} \cdot B$

$B^3 = 52 + 3\sqrt[3]{26^2 - (15\sqrt{3})^2} \cdot B$

$B^3 = 52 + 3\sqrt[3]{676 - 225 \cdot 3} \cdot B$

$B^3 = 52 + 3\sqrt[3]{676 - 675} \cdot B$

$B^3 = 52 + 3\sqrt[3]{1} \cdot B$

$B^3 = 52 + 3B$

Мы получили кубическое уравнение относительно $B$: $B^3 - 3B - 52 = 0$.

Найдем целый корень этого уравнения, проверив делители свободного члена (-52): $\pm1, \pm2, \pm4, \dots$

При $B=4$: $4^3 - 3(4) - 52 = 64 - 12 - 52 = 0$.

Таким образом, $B=4$ является корнем уравнения. Можно показать, что это единственный действительный корень. Так как $B$ — действительное число, то $B=4$. Число 4 является целым.

Ответ: $B=4$.

4)

Рассмотрим выражение $B = \sqrt[3]{29\sqrt{2} - 45} + \sqrt[3]{29\sqrt{2} + 45}$.

В данном виде выражение не является целым числом. Чтобы это показать, возведем $B$ в куб:

$B^3 = (u+v)^3 = u^3+v^3+3uv(u+v)$, где $u=\sqrt[3]{29\sqrt{2} - 45}$ и $v=\sqrt[3]{29\sqrt{2} + 45}$.

$u^3+v^3 = (29\sqrt{2} - 45) + (29\sqrt{2} + 45) = 58\sqrt{2}$.

$uv = \sqrt[3]{(29\sqrt{2} - 45)(29\sqrt{2} + 45)} = \sqrt[3]{(29\sqrt{2})^2 - 45^2} = \sqrt[3]{1682 - 2025} = \sqrt[3]{-343} = -7$.

Подставляем в формулу для $B^3$: $B^3 = 58\sqrt{2} + 3(-7)B$, что приводит к уравнению $B^3 + 21B = 58\sqrt{2}$.

Если предположить, что $B$ — целое число, то левая часть уравнения ($B^3 + 21B$) также будет целым числом. Однако правая часть ($58\sqrt{2}$) является иррациональным числом. Равенство между целым и иррациональным числом невозможно. Следовательно, в условии задачи, вероятно, допущена опечатка.

Наиболее вероятная опечатка — это порядок слагаемых под первым кубическим корнем. Решим исправленную задачу:

$B = \sqrt[3]{45 - 29\sqrt{2}} + \sqrt[3]{45 + 29\sqrt{2}}$

Применим тот же метод, что и в пункте 3. Пусть $x = \sqrt[3]{45 + 29\sqrt{2}}$ и $y = \sqrt[3]{45 - 29\sqrt{2}}$. Тогда $B = x+y$.

$B^3 = x^3+y^3+3xy(x+y)$.

$x^3+y^3 = (45+29\sqrt{2}) + (45-29\sqrt{2}) = 90$.

$xy = \sqrt[3]{(45+29\sqrt{2})(45-29\sqrt{2})} = \sqrt[3]{45^2 - (29\sqrt{2})^2} = \sqrt[3]{2025 - 1682} = \sqrt[3]{343} = 7$.

Подставляем в формулу для $B^3$:

$B^3 = 90 + 3(7)B$

$B^3 - 21B - 90 = 0$.

Найдем целый корень уравнения, проверив делители свободного члена (-90).

При $B=6$: $6^3 - 21(6) - 90 = 216 - 126 - 90 = 0$.

Таким образом, $B=6$ является единственным действительным корнем уравнения. Число 6 является целым.

Ответ: при исправленном условии $B=6$.