Страница 136 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

В упражнениях 22.1.—22.3. рассматриваются результаты одного и того же измерения (табл. 27). При изучении некоторой гене-

ральной совокупности по результатам независимых наблюдений получены значения:

Таблица 27

111 112 111 108 113 111 114 113

112 111 110 110 109 109 110 112

109 113 114 111 111 112 111 111

22.1. 1) Составьте вариационный ряд наблюдений и найдите объем выборки;

2) составьте вариационный ряд относительных частот;

3) составьте вариационный ряд относительных частот в процентах.

1) Составьте вариационный ряд наблюдений и найдите объем выборки

Для начала найдем объем выборки $n$, который равен общему числу наблюдений в таблице. В таблице 3 строки и 8 столбцов, следовательно, общее количество наблюдений:

$n = 3 \times 8 = 24$

Теперь составим вариационный ряд. Для этого необходимо упорядочить все уникальные значения (варианты) по возрастанию и подсчитать частоту $n_i$ каждого из них.

Уникальные значения в выборке: 108, 109, 110, 111, 112, 113, 114.

Подсчитаем частоты:

Значение 108 встречается 1 раз ($n_{108}=1$).

Значение 109 встречается 3 раза ($n_{109}=3$).

Значение 110 встречается 3 раза ($n_{110}=3$).

Значение 111 встречается 8 раз ($n_{111}=8$).

Значение 112 встречается 4 раза ($n_{112}=4$).

Значение 113 встречается 3 раза ($n_{113}=3$).

Значение 114 встречается 2 раза ($n_{114}=2$).

Сумма частот: $1 + 3 + 3 + 8 + 4 + 3 + 2 = 24$, что совпадает с объемом выборки.

Представим вариационный ряд в виде таблицы:

Ответ: Объем выборки $n = 24$. Вариационный ряд представлен в таблице выше.

2) составьте вариационный ряд относительных частот

Относительная частота $W_i$ вычисляется как отношение частоты варианты $n_i$ к общему объему выборки $n$. Формула: $W_i = \frac{n_i}{n}$.

$W_{108} = \frac{1}{24}$

$W_{109} = \frac{3}{24} = \frac{1}{8}$

$W_{110} = \frac{3}{24} = \frac{1}{8}$

$W_{111} = \frac{8}{24} = \frac{1}{3}$

$W_{112} = \frac{4}{24} = \frac{1}{6}$

$W_{113} = \frac{3}{24} = \frac{1}{8}$

$W_{114} = \frac{2}{24} = \frac{1}{12}$

Сумма всех относительных частот должна быть равна 1: $\frac{1}{24} + \frac{3}{24} + \frac{3}{24} + \frac{8}{24} + \frac{4}{24} + \frac{3}{24} + \frac{2}{24} = \frac{24}{24} = 1$.

Вариационный ряд относительных частот:

Ответ: Вариационный ряд относительных частот представлен в таблице выше.

3) составьте вариационный ряд относительных частот в процентах

Для представления относительных частот в процентах необходимо умножить каждое значение $W_i$ на 100%.

$W_{108}(\%) = \frac{1}{24} \times 100\% \approx 4.17\%$

$W_{109}(\%) = \frac{1}{8} \times 100\% = 12.5\%$

$W_{110}(\%) = \frac{1}{8} \times 100\% = 12.5\%$

$W_{111}(\%) = \frac{1}{3} \times 100\% \approx 33.33\%$

$W_{112}(\%) = \frac{1}{6} \times 100\% \approx 16.67\%$

$W_{113}(\%) = \frac{1}{8} \times 100\% = 12.5\%$

$W_{114}(\%) = \frac{1}{12} \times 100\% \approx 8.33\%$

Сумма процентных частот равна $4.17 + 12.5 + 12.5 + 33.33 + 16.67 + 12.5 + 8.33 = 100\%$.

Вариационный ряд относительных частот в процентах:

Ответ: Вариационный ряд относительных частот в процентах представлен в таблице выше.

22.2. 1) Найдите моду, медиану, математическое ожидание;
2) постройте полигон (многоугольник распределения) относительных частот в процентах.

1) Найдите моду, медиану, математическое ожидание;

Для вычисления моды, медианы и математического ожидания необходим исходный набор данных (статистический ряд или таблица распределения частот), который в условии задачи отсутствует. Ниже приведено общее описание и формулы для их нахождения, которые можно будет применить, как только данные станут известны.

Мода ($Mo$) — это значение в наборе данных, которое встречается наиболее часто. Для дискретного ряда это значение с наибольшей частотой. Если все значения встречаются одинаковое количество раз, то моды нет. Если два или более значений имеют одинаковую и при этом наибольшую частоту, то все они являются модами.

Медиана ($Me$) — это значение, которое находится в середине упорядоченного по возрастанию или убыванию набора данных.

• Чтобы найти медиану, сначала необходимо упорядочить все значения.

• Если количество значений в наборе ($n$) нечетно, медиана — это значение, стоящее точно посередине: $Me = x_{(n+1)/2}$.

• Если количество значений в наборе ($n$) четно, медиана — это среднее арифметическое двух центральных значений: $Me = \frac{x_{n/2} + x_{n/2+1}}{2}$.

Здесь $x_i$ — это элементы упорядоченного ряда.

Математическое ожидание ($M(X)$ или $E(X)$) для дискретной случайной величины (или выборочное среднее для выборки) вычисляется как сумма произведений всех её возможных значений на их вероятности (или относительные частоты).

Формула для расчета математического ожидания:

$M(X) = \sum_{i=1}^{k} x_i p_i$

где $x_i$ — это $i$-ое значение случайной величины, а $p_i$ — соответствующая ему вероятность.

Если даны частоты, то сначала находят относительные частоты $W_i = \frac{n_i}{N}$ (где $n_i$ — частота значения $x_i$, а $N$ — общий объем выборки), а затем используют их в качестве $p_i$. Формула тогда выглядит так:

$M(X) = \sum_{i=1}^{k} x_i W_i = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{k} x_i n_i$

Ответ: Невозможно предоставить численный ответ, так как в условии задачи отсутствует набор данных.

2) постройте полигон (многоугольник распределения) относительных частот в процентах.

Полигон распределения относительных частот — это графическое представление распределения, представляющее собой ломаную линию, которая соединяет точки с координатами $(x_i, W_i(\%))$. Здесь $x_i$ — это значения (варианты) из выборки, отложенные по горизонтальной оси (оси абсцисс), а $W_i(\%)$ — соответствующие им относительные частоты в процентах, отложенные по вертикальной оси (оси ординат).

Для построения полигона необходимо выполнить следующие шаги:

1. На основе исходных данных составить таблицу распределения, в которой для каждого уникального значения $x_i$ указывается его частота $n_i$ (сколько раз оно встретилось).

2. Найти общий объем выборки $N$, сложив все частоты: $N = \sum n_i$.

3. Для каждого значения $x_i$ рассчитать относительную частоту по формуле: $W_i = \frac{n_i}{N}$.

4. Перевести относительные частоты в проценты, умножив их на 100: $W_i(\%) = W_i \cdot 100\%$.

5. Начертить систему координат. На оси абсцисс отметить значения $x_i$, на оси ординат — шкалу для относительных частот в процентах.

6. Для каждой пары $(x_i, W_i(\%))$ отметить соответствующую точку на координатной плоскости.

7. Последовательно соединить полученные точки отрезками прямых.

Так как в условии задачи не предоставлены данные (выборка или таблица частот), построить полигон распределения невозможно.

Ответ: Построение невозможно без исходного набора данных.

22.3. Найдите дисперсию и среднее квадратическое отклонение.

Поскольку в условии задачи не приведен конкретный числовой ряд (выборка), для которого нужно выполнить вычисления, приведем общий алгоритм и решим задачу на примере гипотетического набора данных.

Пусть дан набор чисел: {4, 5, 7, 8, 11}.

Дисперсия

Дисперсия (обозначается как $s^2$ для выборки или $\sigma^2$ для генеральной совокупности) — это мера разброса данных. Она представляет собой средний квадрат отклонений значений от их среднего арифметического. Ниже приведен алгоритм расчета выборочной дисперсии.

Шаг 1: Найти среднее арифметическое выборки ($\bar{x}$).

Для этого нужно сложить все числа из набора и разделить на их количество ($n$). В нашем примере $n=5$.

$\bar{x} = \frac{4 + 5 + 7 + 8 + 11}{5} = \frac{35}{5} = 7$.

Шаг 2: Рассчитать квадраты отклонений от среднего.

Для каждого числа $x_i$ из набора данных нужно найти разность между ним и средним значением $\bar{x}$, а затем возвести результат в квадрат: $(x_i - \bar{x})^2$.

$(4 - 7)^2 = (-3)^2 = 9$

$(5 - 7)^2 = (-2)^2 = 4$

$(7 - 7)^2 = 0^2 = 0$

$(8 - 7)^2 = 1^2 = 1$

$(11 - 7)^2 = 4^2 = 16$

Шаг 3: Просуммировать квадраты отклонений.

Складываем все значения, полученные на предыдущем шаге.

$\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2 = 9 + 4 + 0 + 1 + 16 = 30$.

Шаг 4: Вычислить дисперсию.

Полученную сумму нужно разделить на объем выборки минус единица ($n-1$). Это так называемая несмещенная (или выборочная) дисперсия.

$s^2 = \frac{\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2}{n-1} = \frac{30}{5-1} = \frac{30}{4} = 7.5$.

Ответ: Выборочная дисперсия для набора данных {4, 5, 7, 8, 11} равна 7.5. Формула для расчета: $s^2 = \frac{\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2}{n-1}$.

Среднее квадратическое отклонение

Среднее квадратическое отклонение (также стандартное отклонение, обозначается как $s$ или $\sigma$) — это показатель рассеивания данных, равный квадратному корню из дисперсии. Преимущество этого показателя в том, что он измеряется в тех же единицах, что и исходные данные.

Шаг 1: Найти дисперсию.

Как мы уже вычислили выше, дисперсия $s^2$ для нашего набора данных равна 7.5.

Шаг 2: Извлечь квадратный корень из дисперсии.

$s = \sqrt{s^2} = \sqrt{7.5} \approx 2.7386$.

Ответ: Среднее квадратическое отклонение для набора данных {4, 5, 7, 8, 11} равно $\sqrt{7.5} \approx 2.74$. Формула для расчета: $s = \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2}{n-1}}$.

22.4. Используя таблицу 28 и выражение "среднее значение равно 9", вычислите следующее:

Таблица 28

1) найдите число $x$;

2) найдите дисперсию распределения.

1) найдите число x;

Среднее значение (или выборочное среднее) для ряда данных, представленных в виде таблицы частот, вычисляется по формуле взвешенного среднего:

$\bar{v} = \frac{v_1 k_1 + v_2 k_2 + ... + v_n k_n}{k_1 + k_2 + ... + k_n} = \frac{\sum v_i k_i}{\sum k_i}$

где $v_i$ — это значения варианты, а $k_i$ — соответствующие им кратности (частоты).

В данном случае варианты равны 4, 8, 12, а их кратности — $x$, 2, 9. По условию, среднее значение $\bar{v} = 9$.

Подставим эти значения в формулу:

$9 = \frac{4 \cdot x + 8 \cdot 2 + 12 \cdot 9}{x + 2 + 9}$

Теперь выполним вычисления в числителе и знаменателе:

$9 = \frac{4x + 16 + 108}{x + 11}$

$9 = \frac{4x + 124}{x + 11}$

Для того чтобы найти $x$, решим полученное уравнение. Умножим обе части на $(x + 11)$:

$9(x + 11) = 4x + 124$

$9x + 99 = 4x + 124$

Перенесем слагаемые с $x$ в левую часть, а числовые значения — в правую:

$9x - 4x = 124 - 99$

$5x = 25$

$x = \frac{25}{5}$

$x = 5$

Ответ: 5

2) найдите дисперсию распределения.

Дисперсия $D$ для дискретного вариационного ряда вычисляется по формуле:

$D = \frac{\sum (v_i - \bar{v})^2 k_i}{\sum k_i}$

Также можно использовать более удобную для расчетов формулу: $D = \overline{v^2} - (\bar{v})^2$, где $\overline{v^2}$ — это среднее значение квадратов вариант.

$\overline{v^2} = \frac{\sum v_i^2 k_i}{\sum k_i}$

Мы уже знаем, что среднее значение $\bar{v} = 9$ и из предыдущего пункта $x = 5$.

Сначала найдем сумму кратностей (объем выборки):

$N = \sum k_i = x + 2 + 9 = 5 + 2 + 9 = 16$

Теперь вычислим среднее квадратов вариант $\overline{v^2}$:

$\overline{v^2} = \frac{4^2 \cdot 5 + 8^2 \cdot 2 + 12^2 \cdot 9}{16}$

$\overline{v^2} = \frac{16 \cdot 5 + 64 \cdot 2 + 144 \cdot 9}{16}$

$\overline{v^2} = \frac{80 + 128 + 1296}{16}$

$\overline{v^2} = \frac{1504}{16}$

$\overline{v^2} = 94$

Теперь можем найти дисперсию, подставив найденные значения в формулу $D = \overline{v^2} - (\bar{v})^2$:

$D = 94 - 9^2$

$D = 94 - 81$

$D = 13$

Ответ: 13

22.5. Используя таблицу 29 и выражение "среднее значение равно 5", вычислите следующее:

Таблица 29

1) найдите число $x$;

2) найдите дисперсию и среднее квадратическое отклонение.

1) найдите число x;

Среднее значение (математическое ожидание) для дискретного вариационного ряда вычисляется по формуле:

$\bar{x} = \frac{\sum_{i=1}^{k} x_i n_i}{N}$

где $x_i$ — это варианты, $n_i$ — их кратности (частоты), а $N$ — общий объем выборки, равный сумме всех кратностей.

По данным из таблицы имеем:

Варианты: $x_1=3, x_2=x, x_3=7, x_4=9$.

Кратности: $n_1=13, n_2=6, n_3=9, n_4=2$.

Общий объем выборки $N$:

$N = n_1 + n_2 + n_3 + n_4 = 13 + 6 + 9 + 2 = 30$.

Сумма произведений вариант на их кратности $\sum x_i n_i$:

$\sum x_i n_i = (3 \cdot 13) + (x \cdot 6) + (7 \cdot 9) + (9 \cdot 2) = 39 + 6x + 63 + 18 = 120 + 6x$.

По условию, среднее значение $\bar{x} = 5$. Подставим все известные значения в формулу среднего значения:

$5 = \frac{120 + 6x}{30}$

Решим это уравнение относительно $x$:

$5 \cdot 30 = 120 + 6x$

$150 = 120 + 6x$

$6x = 150 - 120$

$6x = 30$

$x = \frac{30}{6}$

$x = 5$

Ответ: $x = 5$.

2) найдите дисперсию и среднее квадратическое отклонение.

Дисперсия ($D$) для дискретного вариационного ряда вычисляется по формуле:

$D = \frac{\sum_{i=1}^{k} (x_i - \bar{x})^2 n_i}{N}$

Или по более удобной для расчетов формуле:

$D = \overline{x^2} - (\bar{x})^2$, где $\overline{x^2} = \frac{\sum_{i=1}^{k} x_i^2 n_i}{N}$ (средний квадрат вариант).

Воспользуемся второй формулой. Нам уже известны $\bar{x} = 5$ и $N=30$. Теперь, зная, что $x=5$, найдем $\overline{x^2}$.

Вычислим сумму квадратов вариант, умноженных на их кратности $\sum x_i^2 n_i$:

$\sum x_i^2 n_i = (3^2 \cdot 13) + (5^2 \cdot 6) + (7^2 \cdot 9) + (9^2 \cdot 2)$

$\sum x_i^2 n_i = (9 \cdot 13) + (25 \cdot 6) + (49 \cdot 9) + (81 \cdot 2)$

$\sum x_i^2 n_i = 117 + 150 + 441 + 162 = 870$

Теперь найдем средний квадрат вариант $\overline{x^2}$:

$\overline{x^2} = \frac{870}{30} = 29$

Вычислим дисперсию $D$:

$D = \overline{x^2} - (\bar{x})^2 = 29 - 5^2 = 29 - 25 = 4$

Среднее квадратическое отклонение ($\sigma$) является квадратным корнем из дисперсии:

$\sigma = \sqrt{D}$

$\sigma = \sqrt{4} = 2$

Ответ: дисперсия равна 4, среднее квадратическое отклонение равно 2.

22.6. Найдите выборочную дисперсию и выборочное среднее квадратическое отклонение, используя данные таблицы 30 интервальной относительной частоты вариант:

Таблица 30

Выборочная дисперсия

Для расчета статистических характеристик интервального ряда данных необходимо сначала перейти к дискретному ряду, используя середины интервалов в качестве значений вариант ($x_i$).

1. Определим середины интервалов:

Для интервала $[0; 5)$: $x_1 = \frac{0 + 5}{2} = 2,5$

Для интервала $[5; 10)$: $x_2 = \frac{5 + 10}{2} = 7,5$

Для интервала $[10; 15]$: $x_3 = \frac{10 + 15}{2} = 12,5$

2. Определим объем выборки ($n$), просуммировав частоты ($n_i$), указанные в таблице:

$n = n_1 + n_2 + n_3 = 7 + 5 + 8 = 20$

3. Вычислим выборочное среднее ($\bar{x}_в$) по формуле $\bar{x}_в = \frac{1}{n}\sum n_i x_i$:

$\bar{x}_в = \frac{1}{20}(7 \cdot 2,5 + 5 \cdot 7,5 + 8 \cdot 12,5) = \frac{1}{20}(17,5 + 37,5 + 100) = \frac{155}{20} = 7,75$

4. Вычислим выборочную дисперсию ($D_в$). Для этого воспользуемся формулой $D_в = \overline{x^2} - (\bar{x}_в)^2$, где $\overline{x^2} = \frac{1}{n}\sum n_i x_i^2$.

Сначала найдем средний квадрат значений:

$\overline{x^2} = \frac{1}{20}(7 \cdot 2,5^2 + 5 \cdot 7,5^2 + 8 \cdot 12,5^2)$

$\overline{x^2} = \frac{1}{20}(7 \cdot 6,25 + 5 \cdot 56,25 + 8 \cdot 156,25)$

$\overline{x^2} = \frac{1}{20}(43,75 + 281,25 + 1250) = \frac{1575}{20} = 78,75$

Теперь найдем дисперсию:

$D_в = \overline{x^2} - (\bar{x}_в)^2 = 78,75 - (7,75)^2 = 78,75 - 60,0625 = 18,6875$

Ответ: $18,6875$.

Выборочное среднее квадратическое отклонение

Выборочное среднее квадратическое отклонение ($\sigma_в$) — это корень квадратный из выборочной дисперсии ($D_в$).

Используя найденное значение выборочной дисперсии $D_в = 18,6875$, вычислим $\sigma_в$:

$\sigma_в = \sqrt{D_в} = \sqrt{18,6875} \approx 4,322902...$

Округлим полученное значение, например, до четырех знаков после запятой.

Ответ: $\approx 4,3229$.