Номер 22.4, страница 136 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

22.4. Используя таблицу 28 и выражение "среднее значение равно 9", вычислите следующее:

Таблица 28

1) найдите число $x$;

2) найдите дисперсию распределения.

1) найдите число x;

Среднее значение (или выборочное среднее) для ряда данных, представленных в виде таблицы частот, вычисляется по формуле взвешенного среднего:

$\bar{v} = \frac{v_1 k_1 + v_2 k_2 + ... + v_n k_n}{k_1 + k_2 + ... + k_n} = \frac{\sum v_i k_i}{\sum k_i}$

где $v_i$ — это значения варианты, а $k_i$ — соответствующие им кратности (частоты).

В данном случае варианты равны 4, 8, 12, а их кратности — $x$, 2, 9. По условию, среднее значение $\bar{v} = 9$.

Подставим эти значения в формулу:

$9 = \frac{4 \cdot x + 8 \cdot 2 + 12 \cdot 9}{x + 2 + 9}$

Теперь выполним вычисления в числителе и знаменателе:

$9 = \frac{4x + 16 + 108}{x + 11}$

$9 = \frac{4x + 124}{x + 11}$

Для того чтобы найти $x$, решим полученное уравнение. Умножим обе части на $(x + 11)$:

$9(x + 11) = 4x + 124$

$9x + 99 = 4x + 124$

Перенесем слагаемые с $x$ в левую часть, а числовые значения — в правую:

$9x - 4x = 124 - 99$

$5x = 25$

$x = \frac{25}{5}$

$x = 5$

Ответ: 5

2) найдите дисперсию распределения.

Дисперсия $D$ для дискретного вариационного ряда вычисляется по формуле:

$D = \frac{\sum (v_i - \bar{v})^2 k_i}{\sum k_i}$

Также можно использовать более удобную для расчетов формулу: $D = \overline{v^2} - (\bar{v})^2$, где $\overline{v^2}$ — это среднее значение квадратов вариант.

$\overline{v^2} = \frac{\sum v_i^2 k_i}{\sum k_i}$

Мы уже знаем, что среднее значение $\bar{v} = 9$ и из предыдущего пункта $x = 5$.

Сначала найдем сумму кратностей (объем выборки):

$N = \sum k_i = x + 2 + 9 = 5 + 2 + 9 = 16$

Теперь вычислим среднее квадратов вариант $\overline{v^2}$:

$\overline{v^2} = \frac{4^2 \cdot 5 + 8^2 \cdot 2 + 12^2 \cdot 9}{16}$

$\overline{v^2} = \frac{16 \cdot 5 + 64 \cdot 2 + 144 \cdot 9}{16}$

$\overline{v^2} = \frac{80 + 128 + 1296}{16}$

$\overline{v^2} = \frac{1504}{16}$

$\overline{v^2} = 94$

Теперь можем найти дисперсию, подставив найденные значения в формулу $D = \overline{v^2} - (\bar{v})^2$:

$D = 94 - 9^2$

$D = 94 - 81$

$D = 13$

Ответ: 13