Вопросы, страница 135 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

1. В чем отличие и сходство выборочной дисперсии и исправленной выборочной дисперсии?

2. От чего зависит выбор формулы для вычисления среднего квадратического отклонения?

3. Запишите формулу выборочной дисперсии и среднего квадратического отклонения.

1. В чем отличие и сходство выборочной дисперсии и исправленной выборочной дисперсии?

Сходство: И выборочная, и исправленная выборочная дисперсии являются мерами разброса (рассеяния) данных в выборке относительно выборочного среднего. Они обе характеризуют, насколько в среднем значения в выборке отклоняются от своего среднего значения. При увеличении объема выборки ($n \to \infty$) значения обеих дисперсий стремятся друг к другу и к дисперсии генеральной совокупности.

Отличие: Основное отличие заключается в формуле расчета, а именно в знаменателе, что влияет на свойства оценки.

1. Выборочная дисперсия (также называется смещенной оценкой дисперсии) вычисляется делением суммы квадратов отклонений на объем выборки $n$: $D_в = S^2_n = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^2$ Эта оценка является смещенной, так как ее математическое ожидание меньше истинной дисперсии генеральной совокупности ($M[D_в] < \sigma^2$). Она систематически занижает реальный разброс, особенно на малых выборках.

2. Исправленная выборочная дисперсия (несмещенная оценка дисперсии) вычисляется делением суммы квадратов отклонений на $n-1$: $s^2 = S^2_{n-1} = \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^2$ Деление на $n-1$ (это называется поправкой Бесселя) делает эту оценку несмещенной. Это означает, что ее математическое ожидание равно истинной (теоретической) дисперсии генеральной совокупности ($M[s^2] = \sigma^2$). Поэтому именно ее используют, когда нужно по выборке оценить дисперсию генеральной совокупности.

Ответ: Сходство в том, что обе величины измеряют разброс данных в выборке. Отличие в знаменателе формулы ($n$ у выборочной и $n-1$ у исправленной), что делает исправленную дисперсию несмещенной оценкой дисперсии генеральной совокупности, в отличие от смещенной выборочной.

2. От чего зависит выбор формулы для вычисления среднего квадратического отклонения?

Среднее квадратическое отклонение (или стандартное отклонение) — это корень квадратный из дисперсии. Следовательно, выбор формулы для его вычисления напрямую зависит от того, какая дисперсия используется — выборочная или исправленная.

Выбор зависит от цели статистического анализа:

1. Если задача состоит в том, чтобы описать разброс данных только в рамках имеющейся выборки (задачи описательной статистики), то используют среднее квадратическое отклонение, вычисленное из выборочной (смещенной) дисперсии: $\sigma_в = \sqrt{D_в}$.

2. Если выборка используется для оценки параметров всей генеральной совокупности, из которой она была взята (задачи статистического вывода), то для получения более точной оценки стандартного отклонения генеральной совокупности следует использовать исправленную выборочную дисперсию. В этом случае вычисляют исправленное среднее квадратическое отклонение: $s = \sqrt{s^2}$.

Таким образом, выбор определяется тем, анализируем ли мы саму выборку как замкнутый набор данных или же используем ее для обобщения выводов на всю генеральную совокупность. Для малых выборок ($n < 30$) это различие особенно существенно.

Ответ: Выбор формулы зависит от цели анализа: для описания разброса внутри самой выборки используется формула на основе выборочной дисперсии (деление на $n$), а для оценки разброса в генеральной совокупности — на основе исправленной выборочной дисперсии (деление на $n-1$).

3. Запишите формулу выборочной дисперсии и среднего квадратического отклонения.

Выборочная дисперсия ($D_в$) — это среднее арифметическое квадратов отклонений значений выборки от их выборочного среднего.

Формула выборочной дисперсии: $D_в = \frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^2}{n}$

где $x_i$ — $i$-й элемент выборки, $\bar{x}$ — выборочное среднее, $n$ — объем выборки.

Среднее квадратическое отклонение ($\sigma_в$) — это положительный корень квадратный из выборочной дисперсии. Оно показывает, на сколько в среднем элементы выборки отклоняются от среднего значения.

Формула среднего квадратического отклонения: $\sigma_в = \sqrt{D_в} = \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^2}{n}}$

Ответ: Формула выборочной дисперсии: $D_в = \frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^2}{n}$. Формула среднего квадратического отклонения: $\sigma_в = \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^2}{n}}$.