Номер 22.3, страница 136 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

22.3. Найдите дисперсию и среднее квадратическое отклонение.

Поскольку в условии задачи не приведен конкретный числовой ряд (выборка), для которого нужно выполнить вычисления, приведем общий алгоритм и решим задачу на примере гипотетического набора данных.

Пусть дан набор чисел: {4, 5, 7, 8, 11}.

Дисперсия

Дисперсия (обозначается как $s^2$ для выборки или $\sigma^2$ для генеральной совокупности) — это мера разброса данных. Она представляет собой средний квадрат отклонений значений от их среднего арифметического. Ниже приведен алгоритм расчета выборочной дисперсии.

Шаг 1: Найти среднее арифметическое выборки ($\bar{x}$).

Для этого нужно сложить все числа из набора и разделить на их количество ($n$). В нашем примере $n=5$.

$\bar{x} = \frac{4 + 5 + 7 + 8 + 11}{5} = \frac{35}{5} = 7$.

Шаг 2: Рассчитать квадраты отклонений от среднего.

Для каждого числа $x_i$ из набора данных нужно найти разность между ним и средним значением $\bar{x}$, а затем возвести результат в квадрат: $(x_i - \bar{x})^2$.

$(4 - 7)^2 = (-3)^2 = 9$

$(5 - 7)^2 = (-2)^2 = 4$

$(7 - 7)^2 = 0^2 = 0$

$(8 - 7)^2 = 1^2 = 1$

$(11 - 7)^2 = 4^2 = 16$

Шаг 3: Просуммировать квадраты отклонений.

Складываем все значения, полученные на предыдущем шаге.

$\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2 = 9 + 4 + 0 + 1 + 16 = 30$.

Шаг 4: Вычислить дисперсию.

Полученную сумму нужно разделить на объем выборки минус единица ($n-1$). Это так называемая несмещенная (или выборочная) дисперсия.

$s^2 = \frac{\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2}{n-1} = \frac{30}{5-1} = \frac{30}{4} = 7.5$.

Ответ: Выборочная дисперсия для набора данных {4, 5, 7, 8, 11} равна 7.5. Формула для расчета: $s^2 = \frac{\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2}{n-1}$.

Среднее квадратическое отклонение

Среднее квадратическое отклонение (также стандартное отклонение, обозначается как $s$ или $\sigma$) — это показатель рассеивания данных, равный квадратному корню из дисперсии. Преимущество этого показателя в том, что он измеряется в тех же единицах, что и исходные данные.

Шаг 1: Найти дисперсию.

Как мы уже вычислили выше, дисперсия $s^2$ для нашего набора данных равна 7.5.

Шаг 2: Извлечь квадратный корень из дисперсии.

$s = \sqrt{s^2} = \sqrt{7.5} \approx 2.7386$.

Ответ: Среднее квадратическое отклонение для набора данных {4, 5, 7, 8, 11} равно $\sqrt{7.5} \approx 2.74$. Формула для расчета: $s = \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2}{n-1}}$.