Номер 22.5, страница 136 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

22.5. Используя таблицу 29 и выражение "среднее значение равно 5", вычислите следующее:

Таблица 29

1) найдите число $x$;

2) найдите дисперсию и среднее квадратическое отклонение.

1) найдите число x;

Среднее значение (математическое ожидание) для дискретного вариационного ряда вычисляется по формуле:

$\bar{x} = \frac{\sum_{i=1}^{k} x_i n_i}{N}$

где $x_i$ — это варианты, $n_i$ — их кратности (частоты), а $N$ — общий объем выборки, равный сумме всех кратностей.

По данным из таблицы имеем:

Варианты: $x_1=3, x_2=x, x_3=7, x_4=9$.

Кратности: $n_1=13, n_2=6, n_3=9, n_4=2$.

Общий объем выборки $N$:

$N = n_1 + n_2 + n_3 + n_4 = 13 + 6 + 9 + 2 = 30$.

Сумма произведений вариант на их кратности $\sum x_i n_i$:

$\sum x_i n_i = (3 \cdot 13) + (x \cdot 6) + (7 \cdot 9) + (9 \cdot 2) = 39 + 6x + 63 + 18 = 120 + 6x$.

По условию, среднее значение $\bar{x} = 5$. Подставим все известные значения в формулу среднего значения:

$5 = \frac{120 + 6x}{30}$

Решим это уравнение относительно $x$:

$5 \cdot 30 = 120 + 6x$

$150 = 120 + 6x$

$6x = 150 - 120$

$6x = 30$

$x = \frac{30}{6}$

$x = 5$

Ответ: $x = 5$.

2) найдите дисперсию и среднее квадратическое отклонение.

Дисперсия ($D$) для дискретного вариационного ряда вычисляется по формуле:

$D = \frac{\sum_{i=1}^{k} (x_i - \bar{x})^2 n_i}{N}$

Или по более удобной для расчетов формуле:

$D = \overline{x^2} - (\bar{x})^2$, где $\overline{x^2} = \frac{\sum_{i=1}^{k} x_i^2 n_i}{N}$ (средний квадрат вариант).

Воспользуемся второй формулой. Нам уже известны $\bar{x} = 5$ и $N=30$. Теперь, зная, что $x=5$, найдем $\overline{x^2}$.

Вычислим сумму квадратов вариант, умноженных на их кратности $\sum x_i^2 n_i$:

$\sum x_i^2 n_i = (3^2 \cdot 13) + (5^2 \cdot 6) + (7^2 \cdot 9) + (9^2 \cdot 2)$

$\sum x_i^2 n_i = (9 \cdot 13) + (25 \cdot 6) + (49 \cdot 9) + (81 \cdot 2)$

$\sum x_i^2 n_i = 117 + 150 + 441 + 162 = 870$

Теперь найдем средний квадрат вариант $\overline{x^2}$:

$\overline{x^2} = \frac{870}{30} = 29$

Вычислим дисперсию $D$:

$D = \overline{x^2} - (\bar{x})^2 = 29 - 5^2 = 29 - 25 = 4$

Среднее квадратическое отклонение ($\sigma$) является квадратным корнем из дисперсии:

$\sigma = \sqrt{D}$

$\sigma = \sqrt{4} = 2$

Ответ: дисперсия равна 4, среднее квадратическое отклонение равно 2.