Номер 22.6, страница 136 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

22.6. Найдите выборочную дисперсию и выборочное среднее квадратическое отклонение, используя данные таблицы 30 интервальной относительной частоты вариант:

Таблица 30

Выборочная дисперсия

Для расчета статистических характеристик интервального ряда данных необходимо сначала перейти к дискретному ряду, используя середины интервалов в качестве значений вариант ($x_i$).

1. Определим середины интервалов:

Для интервала $[0; 5)$: $x_1 = \frac{0 + 5}{2} = 2,5$

Для интервала $[5; 10)$: $x_2 = \frac{5 + 10}{2} = 7,5$

Для интервала $[10; 15]$: $x_3 = \frac{10 + 15}{2} = 12,5$

2. Определим объем выборки ($n$), просуммировав частоты ($n_i$), указанные в таблице:

$n = n_1 + n_2 + n_3 = 7 + 5 + 8 = 20$

3. Вычислим выборочное среднее ($\bar{x}_в$) по формуле $\bar{x}_в = \frac{1}{n}\sum n_i x_i$:

$\bar{x}_в = \frac{1}{20}(7 \cdot 2,5 + 5 \cdot 7,5 + 8 \cdot 12,5) = \frac{1}{20}(17,5 + 37,5 + 100) = \frac{155}{20} = 7,75$

4. Вычислим выборочную дисперсию ($D_в$). Для этого воспользуемся формулой $D_в = \overline{x^2} - (\bar{x}_в)^2$, где $\overline{x^2} = \frac{1}{n}\sum n_i x_i^2$.

Сначала найдем средний квадрат значений:

$\overline{x^2} = \frac{1}{20}(7 \cdot 2,5^2 + 5 \cdot 7,5^2 + 8 \cdot 12,5^2)$

$\overline{x^2} = \frac{1}{20}(7 \cdot 6,25 + 5 \cdot 56,25 + 8 \cdot 156,25)$

$\overline{x^2} = \frac{1}{20}(43,75 + 281,25 + 1250) = \frac{1575}{20} = 78,75$

Теперь найдем дисперсию:

$D_в = \overline{x^2} - (\bar{x}_в)^2 = 78,75 - (7,75)^2 = 78,75 - 60,0625 = 18,6875$

Ответ: $18,6875$.

Выборочное среднее квадратическое отклонение

Выборочное среднее квадратическое отклонение ($\sigma_в$) — это корень квадратный из выборочной дисперсии ($D_в$).

Используя найденное значение выборочной дисперсии $D_в = 18,6875$, вычислим $\sigma_в$:

$\sigma_в = \sqrt{D_в} = \sqrt{18,6875} \approx 4,322902...$

Округлим полученное значение, например, до четырех знаков после запятой.

Ответ: $\approx 4,3229$.