Страница 151 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

91. Сколько целых чисел находится на промежутке от -9 до 3:

A) 13;

B) 14;

C) 12;

D) 15;

E) 16?

Чтобы определить, сколько целых чисел находится на промежутке от -9 до 3, необходимо найти количество всех целых чисел $x$, которые удовлетворяют неравенству $-9 \le x \le 3$. Это означает, что мы ищем количество целых чисел на отрезке $[-9, 3]$, включая оба конца.

Один из способов решения — это выписать все целые числа в указанном диапазоне и сосчитать их. Ряд чисел будет выглядеть так:

-9, -8, -7, -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3.

При прямом подсчете в этом списке оказывается 13 чисел.

Другой, более быстрый способ — использовать математическую формулу для нахождения количества целых чисел $N$ на отрезке $[a, b]$: $N = b - a + 1$.

В нашей задаче $a = -9$ и $b = 3$. Применим формулу:

$N = 3 - (-9) + 1 = 3 + 9 + 1 = 13$.

Оба метода подтверждают, что на промежутке от -9 до 3 находится 13 целых чисел. Этот результат соответствует варианту ответа A).

Ответ: 13

92. На сколько меньше число натуральных чисел, принадлежащих промежутку от $-5$ до $5$, чем число целых чисел из этого промежутка:

A) на 4;

B) на 6;

C) на 5;

D) на 7;

E) количество натуральных и целых чисел одинаково?

Для решения задачи необходимо выполнить следующие шаги:

1. Определить количество целых чисел в промежутке от –5 до 5.

Промежуток от –5 до 5 включает в себя все числа $x$, для которых выполняется двойное неравенство $-5 \le x \le 5$.

Целыми числами в этом промежутке являются: –5, –4, –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, 4, 5.

Подсчитаем их количество. Можно перечислить их и посчитать, либо использовать формулу для нахождения количества целых чисел в отрезке $[a, b]$: $N = b - a + 1$.

Количество целых чисел равно $5 - (-5) + 1 = 5 + 5 + 1 = 11$.

2. Определить количество натуральных чисел в том же промежутке.

Натуральные числа — это целые положительные числа, используемые при счёте (1, 2, 3, ...).

Натуральными числами в промежутке от –5 до 5 являются: 1, 2, 3, 4, 5.

Всего в промежутке 5 натуральных чисел.

3. Найти разницу между количеством целых и натуральных чисел.

Чтобы ответить на вопрос "на сколько меньше число натуральных чисел, чем число целых чисел", нужно из количества целых чисел вычесть количество натуральных чисел.

Разница составляет: $11 - 5 = 6$.

Следовательно, число натуральных чисел в заданном промежутке на 6 меньше, чем число целых чисел.

Ответ: B) на 6.

93. Если $a \# c = a^2 - 2c$, то найдите значение выражения $(3 \# 5) \# (3 \# 4)$:

A) 1;

B) -1;

C) 2;

D) -2;

E) -12.

В данной задаче определена новая бинарная операция, которая обозначается символом #. Правило для вычисления этой операции задано формулой $a \# c = a^2 - 2c$.

Чтобы найти значение сложного выражения $(3 \# 5) \# (3 \# 4)$, необходимо действовать по порядку, сначала вычисляя значения в скобках.

1. Вычислим значение выражения в первых скобках: $(3 \# 5)$.

В этом случае $a = 3$ и $c = 5$. Подставим эти значения в заданную формулу:

$3 \# 5 = 3^2 - 2 \cdot 5 = 9 - 10 = -1$

2. Вычислим значение выражения во вторых скобках: $(3 \# 4)$.

Здесь $a = 3$ и $c = 4$. Подставим эти значения в формулу:

$3 \# 4 = 3^2 - 2 \cdot 4 = 9 - 8 = 1$

3. Теперь, когда мы нашли значения выражений в скобках, мы можем вычислить итоговое выражение. Для этого подставим полученные результаты в исходное выражение:

$(3 \# 5) \# (3 \# 4) = (-1) \# 1$

В этом последнем вычислении мы принимаем $a = -1$ и $c = 1$. Снова применяем формулу:

$(-1) \# 1 = (-1)^2 - 2 \cdot 1 = 1 - 2 = -1$

Таким образом, конечное значение всего выражения равно -1.

Ответ: -1

94. Найдите значение выражения $6a + \frac{2}{c} - 5n + 7m - 2$, если даны следующие таблицы:

A) 2;

B) -2;

C) 50;

D) -50;

E) 0.

Для решения задачи необходимо определить значения переменных из таблиц и подставить их в заданное выражение.

Сопоставляя первую таблицу со второй, находим значения переменных:

$a = -8$

$n = -0,8$

$c = 0,5$

$m = 6$

Теперь подставим эти значения в выражение $6a + \frac{2}{c} - 5n + 7m - 2$ и вычислим его значение.

$6 \cdot (-8) + \frac{2}{0,5} - 5 \cdot (-0,8) + 7 \cdot 6 - 2$

Выполним вычисления по действиям:

1. $6 \cdot (-8) = -48$

2. $\frac{2}{0,5} = \frac{2}{1/2} = 2 \cdot 2 = 4$

3. $-5 \cdot (-0,8) = 4$

4. $7 \cdot 6 = 42$

Теперь соберем все результаты вместе:

$-48 + 4 + 4 + 42 - 2$

Сгруппируем слагаемые для удобства вычисления:

$(-48 - 2) + (4 + 4 + 42) = -50 + 50 = 0$

Значение выражения равно 0. Это соответствует варианту E).

Ответ: 0

95. Число а составляет 20% от числа 28 000. Число с составляет 60% от числа 6000. Укажите верное утверждение:

A) $a + c = 2400$;

B) $a - c = 2000$;

C) $a - c = 0$;

D) $2a + c = 2400$;

E) $c - a = 2400$.

Для того чтобы определить, какое из утверждений является верным, необходимо сначала вычислить значения чисел a и c на основе данных в условии задачи.

Шаг 1: Вычисление числа a

Согласно условию, число a составляет 20% от числа 28 000. Чтобы найти процент от числа, мы можем представить проценты в виде десятичной дроби и умножить на число. 20% в виде дроби — это $20/100 = 0.2$.

$a = 28000 \cdot 0.2 = 5600$.

Шаг 2: Вычисление числа c

Число c составляет 60% от числа 6000. Аналогично, 60% в виде дроби — это $60/100 = 0.6$.

$c = 6000 \cdot 0.6 = 3600$.

Шаг 3: Проверка верности утверждений

Теперь, когда мы знаем, что $a = 5600$ и $c = 3600$, мы можем проверить каждое из предложенных равенств.

A) a + c = 2400;

Подставляем значения: $5600 + 3600 = 9200$.

Поскольку $9200 \neq 2400$, данное утверждение неверно.

Ответ: неверно.

B) a - c = 2000;

Подставляем значения: $5600 - 3600 = 2000$.

Поскольку $2000 = 2000$, данное утверждение верно.

Ответ: верно.

C) a - c = 0;

Подставляем значения: $5600 - 3600 = 2000$.

Поскольку $2000 \neq 0$, данное утверждение неверно.

Ответ: неверно.

D) 2a + c = 2400;

Подставляем значения: $2 \cdot 5600 + 3600 = 11200 + 3600 = 14800$.

Поскольку $14800 \neq 2400$, данное утверждение неверно.

Ответ: неверно.

E) c - a = 2400.

Подставляем значения: $3600 - 5600 = -2000$.

Поскольку $-2000 \neq 2400$, данное утверждение неверно.

Ответ: неверно.

96. Сколько процентов составляет закрашенная часть данной фигуры (рис. 64):

A) 35%;

B) 40%;

C) 32%;

D) 36%;

E) 45%?

Рис. 64

Для решения задачи необходимо определить, какую часть от общего числа клеток составляют закрашенные клетки, и затем выразить эту часть в процентах.

1. Определение общего количества клеток.

Фигура представляет собой квадратную сетку размером 5 клеток в ширину и 5 клеток в высоту. Общее количество клеток в фигуре можно рассчитать, умножив количество клеток по горизонтали на количество клеток по вертикали:

$N_{общ} = 5 \times 5 = 25$

Всего в фигуре 25 клеток, что соответствует 100%.

2. Подсчет закрашенных клеток.

Теперь посчитаем количество закрашенных (светло-зеленых) клеток на рисунке. Внимательно просмотрев фигуру, мы находим 8 закрашенных клеток.

$N_{закраш} = 8$

3. Расчет процентного соотношения.

Чтобы найти, сколько процентов составляет закрашенная часть, нужно составить пропорцию: отношение числа закрашенных клеток к общему числу клеток, умноженное на 100%.

$Процент = \frac{N_{закраш}}{N_{общ}} \times 100\%$

Подставим наши значения в формулу:

$Процент = \frac{8}{25} \times 100\% = 0.32 \times 100\% = 32\%$

Таким образом, закрашенная часть составляет 32% от всей фигуры. Этот результат соответствует варианту ответа C).

Ответ: C) 32%.

Рис. 64

97. Сосуд в форме прямого параллелепипеда имеет объем $60 \text{ дм}^3$. Из сосуда отлили $6 \text{ дм}^3$ воды. Сколько процентов составляет объем воды, оставшийся в сосуде от первоначального объема воды:

A $80\%$; B) $85\%$; C) $5\%$; D) $10\%$; E) $90\%?$

Первоначальный объем воды в сосуде равен его полному объему, то есть $V_{нач} = 60 \text{ дм}^3$. Этот объем принимается за $100\%$.

Из сосуда отлили $6 \text{ дм}^3$ воды. Чтобы найти объем оставшейся воды, нужно из первоначального объема вычесть объем отлитой воды:

$V_{ост} = 60 \text{ дм}^3 - 6 \text{ дм}^3 = 54 \text{ дм}^3$.

Теперь необходимо найти, сколько процентов составляет оставшийся объем воды ($54 \text{ дм}^3$) от первоначального объема ($60 \text{ дм}^3$). Для этого можно составить пропорцию или использовать формулу процентного соотношения:

$\frac{\text{часть}}{\text{целое}} \times 100\%$.

Подставим наши значения в формулу:

$\frac{V_{ост}}{V_{нач}} \times 100\% = \frac{54}{60} \times 100\%$.

Выполним вычисление:

$\frac{54}{60} = \frac{9 \times 6}{10 \times 6} = \frac{9}{10} = 0,9$.

$0,9 \times 100\% = 90\%$.

Таким образом, объем воды, оставшийся в сосуде, составляет $90\%$ от первоначального объема.

Ответ: E) 90%

98. В таблице 31 даны результаты забега учащихся на 200 м. Сколько процентов составляет число учащихся с результатами от 33 с до 36 от общего числа учащихся:

Таблица 31

Итоги забега (с) 30—32 33—34 35—36

Число учащихся 9 12 15

A) 65%;

B) 75%;

C) 80%;

D) 70%;

E) 60%?

Для того чтобы определить, какой процент составляют учащиеся с результатами от 33 до 36 секунд от общего числа учащихся, необходимо выполнить следующие действия:

1. Найти общее количество учащихся.

Сложим количество учащихся из всех временных интервалов, указанных в таблице:

$9 + 12 + 15 = 36$ учащихся.

Это общее число учащихся, принявших участие в забеге.

2. Найти количество учащихся с результатами от 33 до 36 секунд.

Данный временной диапазон включает две группы: учащихся с результатами 33–34 с и 35–36 с. Сложим их количество:

$12 + 15 = 27$ учащихся.

3. Рассчитать процентное соотношение.

Чтобы найти, какой процент 27 учащихся составляют от общего числа в 36 учащихся, используем формулу для нахождения процента:

$(\frac{\text{часть}}{\text{целое}}) \times 100\%$

Подставим наши значения:

$(\frac{27}{36}) \times 100\%$

Сократим дробь $\frac{27}{36}$ на 9:

$\frac{27 \div 9}{36 \div 9} = \frac{3}{4}$

Теперь вычислим процент:

$\frac{3}{4} \times 100\% = 0.75 \times 100\% = 75\%$

Таким образом, 75% учащихся имеют результаты в диапазоне от 33 до 36 секунд. Это соответствует варианту B.

Ответ: B) 75%;