Номер 1, страница 141 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

Вычислите интегралы (1—5):

1. 1) $\int_{-1}^{0} (1 - 3x^2)dx;$

2) $\int_{0}^{1} (x^3 - 2x^2 + x + 1)dx;$

3) $\int_{0}^{1} (2 + x)^3 dx;$

4) $\int_{2}^{3} (4 - x)^4 dx.$

1) Для вычисления определенного интеграла $\int_{-1}^{0} (1 - 3x^2)dx$ сначала найдем первообразную для подынтегральной функции $f(x) = 1 - 3x^2$. Используя таблицу интегралов, получаем:$F(x) = \int (1 - 3x^2)dx = \int 1dx - \int 3x^2dx = x - 3 \cdot \frac{x^3}{3} + C = x - x^3 + C$.Теперь применим формулу Ньютона-Лейбница $\int_a^b f(x)dx = F(b) - F(a)$:$\int_{-1}^{0} (1 - 3x^2)dx = (x - x^3) \vert_{-1}^{0} = (0 - 0^3) - ((-1) - (-1)^3) = 0 - (-1 - (-1)) = 0 - (-1 + 1) = 0$.Ответ: $0$.

2) Для вычисления интеграла $\int_{0}^{1} (x^3 - 2x^2 + x + 1)dx$ найдем первообразную для функции $f(x) = x^3 - 2x^2 + x + 1$:$F(x) = \int (x^3 - 2x^2 + x + 1)dx = \frac{x^4}{4} - 2\frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} + x + C$.Применим формулу Ньютона-Лейбница:$\int_{0}^{1} (x^3 - 2x^2 + x + 1)dx = (\frac{x^4}{4} - \frac{2x^3}{3} + \frac{x^2}{2} + x) \vert_{0}^{1} = (\frac{1^4}{4} - \frac{2 \cdot 1^3}{3} + \frac{1^2}{2} + 1) - (\frac{0^4}{4} - \frac{2 \cdot 0^3}{3} + \frac{0^2}{2} + 0) = \frac{1}{4} - \frac{2}{3} + \frac{1}{2} + 1$.Приведем дроби к общему знаменателю 12:$\frac{3}{12} - \frac{8}{12} + \frac{6}{12} + \frac{12}{12} = \frac{3 - 8 + 6 + 12}{12} = \frac{13}{12}$.Ответ: $\frac{13}{12}$.

3) Для вычисления интеграла $\int_{0}^{1} (2 + x)^3 dx$ воспользуемся методом замены переменной.Пусть $t = 2 + x$. Тогда $dt = d(2+x) = dx$.Найдем новые пределы интегрирования:если $x = 0$, то $t = 2 + 0 = 2$.если $x = 1$, то $t = 2 + 1 = 3$.Подставим новую переменную и новые пределы в интеграл:$\int_{0}^{1} (2 + x)^3 dx = \int_{2}^{3} t^3 dt$.Найдем первообразную для $f(t) = t^3$: $F(t) = \frac{t^4}{4}$.Применим формулу Ньютона-Лейбница:$\int_{2}^{3} t^3 dt = \frac{t^4}{4} \vert_{2}^{3} = \frac{3^4}{4} - \frac{2^4}{4} = \frac{81}{4} - \frac{16}{4} = \frac{65}{4}$.Ответ: $\frac{65}{4}$.

4) Для вычисления интеграла $\int_{2}^{3} (4 - x)^4 dx$ также используем метод замены переменной.Пусть $t = 4 - x$. Тогда $dt = d(4-x) = -dx$, откуда следует, что $dx = -dt$.Найдем новые пределы интегрирования:если $x = 2$, то $t = 4 - 2 = 2$.если $x = 3$, то $t = 4 - 3 = 1$.Подставим в интеграл:$\int_{2}^{3} (4 - x)^4 dx = \int_{2}^{1} t^4 (-dt) = -\int_{2}^{1} t^4 dt$.Воспользуемся свойством определенного интеграла $\int_a^b f(x)dx = -\int_b^a f(x)dx$, чтобы поменять пределы интегрирования и убрать знак минуса:$-\int_{2}^{1} t^4 dt = \int_{1}^{2} t^4 dt$.Найдем первообразную для $f(t) = t^4$: $F(t) = \frac{t^5}{5}$.Применим формулу Ньютона-Лейбница:$\int_{1}^{2} t^4 dt = \frac{t^5}{5} \vert_{1}^{2} = \frac{2^5}{5} - \frac{1^5}{5} = \frac{32}{5} - \frac{1}{5} = \frac{31}{5}$.Ответ: $\frac{31}{5}$.