Номер 4, страница 141 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

4. 1) $\int_1^e (2x^{-1} + 1)dx;$

2) $\int_0^2 3^{0.5x} dx;$

3) $\int_1^e (3x^{-1} - 4)dx;$

4) $\int_0^1 (e^{x/3} - 3x^2) dx.$

1) Чтобы вычислить определенный интеграл $ \int_{1}^{e} (2x^{-1} + 1) dx $, найдем первообразную для подынтегральной функции $ f(x) = 2x^{-1} + 1 $. Так как $ x^{-1} = \frac{1}{x} $, то функция имеет вид $ f(x) = \frac{2}{x} + 1 $.

Первообразной для $ \frac{2}{x} $ является $ 2\ln|x| $, а для $ 1 $ — $ x $. Таким образом, общая первообразная $ F(x) = 2\ln|x| + x $.

Теперь применим формулу Ньютона-Лейбница $ \int_{a}^{b} f(x)dx = F(b) - F(a) $:

$ \int_{1}^{e} (2x^{-1} + 1) dx = (2\ln|x| + x)\Big|_{1}^{e} = (2\ln|e| + e) - (2\ln|1| + 1) = (2 \cdot 1 + e) - (2 \cdot 0 + 1) = 2 + e - 1 = 1 + e $.

Ответ: $ 1 + e $

2) Для вычисления интеграла $ \int_{0}^{2} 3^{0.5x} dx $ найдем первообразную функции $ f(x) = 3^{0.5x} $. Воспользуемся табличной формулой для интеграла показательной функции $ \int a^{kx}dx = \frac{a^{kx}}{k\ln a} + C $.

В нашем случае $ a = 3 $ и $ k = 0.5 $. Первообразная $ F(x) = \frac{3^{0.5x}}{0.5\ln 3} = \frac{2 \cdot 3^{0.5x}}{\ln 3} $.

По формуле Ньютона-Лейбница:

$ \int_{0}^{2} 3^{0.5x} dx = \left(\frac{2 \cdot 3^{0.5x}}{\ln 3}\right)\Big|_{0}^{2} = \frac{2 \cdot 3^{0.5 \cdot 2}}{\ln 3} - \frac{2 \cdot 3^{0.5 \cdot 0}}{\ln 3} = \frac{2 \cdot 3^1}{\ln 3} - \frac{2 \cdot 3^0}{\ln 3} = \frac{6}{\ln 3} - \frac{2}{\ln 3} = \frac{4}{\ln 3} $.

Ответ: $ \frac{4}{\ln 3} $

3) Вычислим интеграл $ \int_{1}^{e} (3x^{-1} - 4) dx $. Подынтегральная функция $ f(x) = 3x^{-1} - 4 = \frac{3}{x} - 4 $.

Первообразная для $ \frac{3}{x} $ равна $ 3\ln|x| $, для $ -4 $ равна $ -4x $. Общая первообразная $ F(x) = 3\ln|x| - 4x $.

Применим формулу Ньютона-Лейбница:

$ \int_{1}^{e} (3x^{-1} - 4) dx = (3\ln|x| - 4x)\Big|_{1}^{e} = (3\ln|e| - 4e) - (3\ln|1| - 4 \cdot 1) = (3 \cdot 1 - 4e) - (3 \cdot 0 - 4) = (3 - 4e) - (-4) = 3 - 4e + 4 = 7 - 4e $.

Ответ: $ 7 - 4e $

4) Вычислим интеграл $ \int_{0}^{1} (e^{\frac{x}{3}} - 3x^2) dx $. Найдем первообразную для каждого слагаемого.

Первообразная для $ e^{\frac{x}{3}} $ находится по формуле $ \int e^{kx}dx = \frac{1}{k}e^{kx} + C $. Здесь $ k=\frac{1}{3} $, так что первообразная равна $ \frac{1}{1/3}e^{\frac{x}{3}} = 3e^{\frac{x}{3}} $.

Первообразная для $ -3x^2 $ находится по степенной формуле: $ -3 \cdot \frac{x^{2+1}}{2+1} = -3 \frac{x^3}{3} = -x^3 $.

Общая первообразная $ F(x) = 3e^{\frac{x}{3}} - x^3 $.

По формуле Ньютона-Лейбница:

$ \int_{0}^{1} (e^{\frac{x}{3}} - 3x^2) dx = (3e^{\frac{x}{3}} - x^3)\Big|_{0}^{1} = (3e^{\frac{1}{3}} - 1^3) - (3e^{\frac{0}{3}} - 0^3) = (3\sqrt[3]{e} - 1) - (3 \cdot 1 - 0) = 3\sqrt[3]{e} - 1 - 3 = 3\sqrt[3]{e} - 4 $.

Ответ: $ 3\sqrt[3]{e} - 4 $