Номер 56, страница 147 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

56. 1) $log_{1/7} \frac{x-5}{x+4} > 0;$

2) $log_{0,15} \frac{5-x}{4+x} < 0;$

3) $log_4 \frac{x-3}{x} < 0;$

4) $log_{1/5} \frac{x}{x+2} < -1.$

1) Дано логарифмическое неравенство $\log_{\frac{1}{7}} \frac{x-5}{x+4} > 0$.

Первым шагом найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргумент логарифма должен быть строго положительным:

$\frac{x-5}{x+4} > 0$.

Решим это неравенство методом интервалов. Нули числителя и знаменателя: $x=5$ и $x=-4$. Эти точки разбивают числовую прямую на три интервала. Проверяя знак дроби на каждом интервале, получаем, что неравенство выполняется при $x \in (-\infty, -4) \cup (5, \infty)$. Это наша ОДЗ.

Теперь перейдем к решению самого неравенства. Представим правую часть в виде логарифма с тем же основанием: $0 = \log_{\frac{1}{7}} 1$.

Неравенство принимает вид: $\log_{\frac{1}{7}} \frac{x-5}{x+4} > \log_{\frac{1}{7}} 1$.

Основание логарифма $a = \frac{1}{7}$ удовлетворяет условию $0 < a < 1$. Это означает, что логарифмическая функция является убывающей. Поэтому при переходе от логарифмов к их аргументам знак неравенства необходимо изменить на противоположный:

$\frac{x-5}{x+4} < 1$.

Перенесем 1 в левую часть и приведем к общему знаменателю:

$\frac{x-5}{x+4} - 1 < 0$

$\frac{x-5 - (x+4)}{x+4} < 0$

$\frac{-9}{x+4} < 0$.

Так как числитель (-9) является отрицательным числом, для того чтобы вся дробь была отрицательной, знаменатель должен быть положительным:

$x+4 > 0 \Rightarrow x > -4$.

На последнем шаге найдем пересечение полученного решения $x > -4$ с ОДЗ $x \in (-\infty, -4) \cup (5, \infty)$.

Пересечением этих двух множеств является интервал $(5, \infty)$.

Ответ: $x \in (5, \infty)$.

2) Дано логарифмическое неравенство $\log_{0.15} \frac{5-x}{4+x} < 0$.

Найдем ОДЗ: аргумент логарифма должен быть положителен:

$\frac{5-x}{4+x} > 0$.

Для удобства умножим числитель на -1 и изменим знак неравенства: $\frac{x-5}{4+x} < 0$. Нули числителя и знаменателя: $x=5$ и $x=-4$. Методом интервалов получаем $x \in (-4, 5)$. Это ОДЗ.

Решаем основное неравенство. Представим 0 как $\log_{0.15} 1$:

$\log_{0.15} \frac{5-x}{4+x} < \log_{0.15} 1$.

Основание $a = 0.15$ находится в интервале $(0, 1)$, поэтому функция убывающая, и знак неравенства меняется на противоположный:

$\frac{5-x}{4+x} > 1$.

Решаем это неравенство:

$\frac{5-x}{4+x} - 1 > 0$

$\frac{5-x - (4+x)}{4+x} > 0$

$\frac{1-2x}{4+x} > 0$.

Нули числителя и знаменателя: $x=1/2$ и $x=-4$. Методом интервалов находим решение: $x \in (-4, 1/2)$.

Сравниваем полученное решение с ОДЗ $x \in (-4, 5)$. Решение $x \in (-4, 1/2)$ полностью входит в ОДЗ, следовательно, является окончательным ответом.

Ответ: $x \in (-4, 1/2)$.

3) Дано логарифмическое неравенство $\log_4 \frac{x-3}{x} < 0$.

Найдем ОДЗ: $\frac{x-3}{x} > 0$.

Нули числителя и знаменателя: $x=3$ и $x=0$. Методом интервалов получаем ОДЗ: $x \in (-\infty, 0) \cup (3, \infty)$.

Решаем основное неравенство. Представим 0 как $\log_4 1$:

$\log_4 \frac{x-3}{x} < \log_4 1$.

Основание $a=4$ больше 1, поэтому логарифмическая функция возрастающая, и знак неравенства при переходе к аргументам сохраняется:

$\frac{x-3}{x} < 1$.

Решаем это неравенство:

$\frac{x-3}{x} - 1 < 0$

$\frac{x-3-x}{x} < 0$

$\frac{-3}{x} < 0$.

Числитель отрицателен, значит, для выполнения неравенства знаменатель должен быть положителен: $x > 0$.

Найдем пересечение решения $x > 0$ с ОДЗ $x \in (-\infty, 0) \cup (3, \infty)$.

Пересечением является интервал $(3, \infty)$.

Ответ: $x \in (3, \infty)$.

4) Дано логарифмическое неравенство $\log_{\frac{1}{5}} \frac{x}{x+2} < -1$.

Найдем ОДЗ: $\frac{x}{x+2} > 0$.

Нули числителя и знаменателя: $x=0$ и $x=-2$. Методом интервалов получаем ОДЗ: $x \in (-\infty, -2) \cup (0, \infty)$.

Теперь решим неравенство. Представим правую часть в виде логарифма с основанием $\frac{1}{5}$:

$-1 = -1 \cdot \log_{\frac{1}{5}} \frac{1}{5} = \log_{\frac{1}{5}} ((\frac{1}{5})^{-1}) = \log_{\frac{1}{5}} 5$.

Неравенство принимает вид: $\log_{\frac{1}{5}} \frac{x}{x+2} < \log_{\frac{1}{5}} 5$.

Основание $a = \frac{1}{5}$ меньше 1, функция убывающая, поэтому знак неравенства меняется на противоположный:

$\frac{x}{x+2} > 5$.

Решаем полученное рациональное неравенство:

$\frac{x}{x+2} - 5 > 0$

$\frac{x - 5(x+2)}{x+2} > 0$

$\frac{x - 5x - 10}{x+2} > 0$

$\frac{-4x - 10}{x+2} > 0$.

Умножим обе части на -1 и сменим знак неравенства: $\frac{4x+10}{x+2} < 0$.

Нули числителя и знаменателя: $x = -10/4 = -2.5$ и $x=-2$. Методом интервалов находим решение: $x \in (-2.5, -2)$.

Сравниваем полученное решение с ОДЗ $x \in (-\infty, -2) \cup (0, \infty)$. Решение $x \in (-2.5, -2)$ полностью входит в ОДЗ.

Ответ: $x \in (-2.5, -2)$.