Номер 54, страница 147 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

54.
1) $7^x - 5^{x+2} > 2 \cdot 7^{x-1} - 118 \cdot 5^{x-1}$;
2) $5^x - 3^{x+1} > 2 \cdot (5^{x-1} - 3^{x-2})$;
3) $3^{x^2+2} - 5^{x^2-1} > 5^{x^2+1} + 3^{x^2-1}$;
4) $2^{2x+1} - 3^x > 3^{x-1} - 2^{2x}$.

1) $7^x - 5^{x+2} > 2 \cdot 7^{x-1} - 118 \cdot 5^{x-1}$

Сначала сгруппируем слагаемые с одинаковыми основаниями в разных частях неравенства. Перенесем все члены с основанием 7 в левую часть, а с основанием 5 – в правую:

$7^x - 2 \cdot 7^{x-1} > 5^{x+2} - 118 \cdot 5^{x-1}$

Теперь воспользуемся свойствами степеней $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$ и $a^{m-n} = a^m / a^n$ для упрощения выражений:

$7^x - 2 \cdot \frac{7^x}{7^1} > 5^x \cdot 5^2 - 118 \cdot \frac{5^x}{5^1}$

Вынесем общие множители $7^x$ и $5^x$ за скобки:

$7^x \cdot (1 - \frac{2}{7}) > 5^x \cdot (25 - \frac{118}{5})$

Вычислим значения в скобках:

$1 - \frac{2}{7} = \frac{7-2}{7} = \frac{5}{7}$

$25 - \frac{118}{5} = \frac{125-118}{5} = \frac{7}{5}$

Подставим полученные значения обратно в неравенство:

$7^x \cdot \frac{5}{7} > 5^x \cdot \frac{7}{5}$

Разделим обе части неравенства на $5^x$. Так как $5^x > 0$ для любого $x$, знак неравенства не изменится. Также перенесем числовые коэффициенты в правую часть:

$\frac{7^x}{5^x} > \frac{7/5}{5/7}$

$(\frac{7}{5})^x > \frac{7}{5} \cdot \frac{7}{5}$

$(\frac{7}{5})^x > (\frac{7}{5})^2$

Так как основание степени $\frac{7}{5} > 1$, показательная функция является возрастающей. Следовательно, для выполнения неравенства необходимо, чтобы показатель степени в левой части был больше показателя степени в правой части:

$x > 2$

Ответ: $x \in (2; +\infty)$.

2) $5^x - 3^{x+1} > 2 \cdot (5^{x-1} - 3^{x-2})$

Раскроем скобки в правой части и сгруппируем слагаемые с одинаковыми основаниями:

$5^x - 3^{x+1} > 2 \cdot 5^{x-1} - 2 \cdot 3^{x-2}$

$5^x - 2 \cdot 5^{x-1} > 3^{x+1} - 2 \cdot 3^{x-2}$

Используя свойства степеней, вынесем за скобки $5^x$ и $3^x$:

$5^x \cdot (1 - 2 \cdot 5^{-1}) > 3^x \cdot (3^1 - 2 \cdot 3^{-2})$

$5^x \cdot (1 - \frac{2}{5}) > 3^x \cdot (3 - \frac{2}{9})$

Упростим выражения в скобках:

$1 - \frac{2}{5} = \frac{3}{5}$

$3 - \frac{2}{9} = \frac{27-2}{9} = \frac{25}{9}$

Неравенство принимает вид:

$5^x \cdot \frac{3}{5} > 3^x \cdot \frac{25}{9}$

Разделим обе части на $3^x$ (всегда положительно) и перенесем числовые множители:

$\frac{5^x}{3^x} > \frac{25/9}{3/5}$

$(\frac{5}{3})^x > \frac{25}{9} \cdot \frac{5}{3}$

Упростим правую часть, зная что $\frac{25}{9} = (\frac{5}{3})^2$:

$(\frac{5}{3})^x > (\frac{5}{3})^2 \cdot (\frac{5}{3})^1$

$(\frac{5}{3})^x > (\frac{5}{3})^3$

Основание степени $\frac{5}{3} > 1$, поэтому функция возрастающая. Сравниваем показатели:

$x > 3$

Ответ: $x \in (3; +\infty)$.

3) $3^{x^2+2} - 5^{x^2-1} > 5^{x^2+1} + 3^{x^2-1}$

Сгруппируем члены с одинаковыми основаниями:

$3^{x^2+2} - 3^{x^2-1} > 5^{x^2+1} + 5^{x^2-1}$

Вынесем за скобки общие множители $3^{x^2}$ и $5^{x^2}$:

$3^{x^2} \cdot 3^2 - 3^{x^2} \cdot 3^{-1} > 5^{x^2} \cdot 5^1 + 5^{x^2} \cdot 5^{-1}$

$3^{x^2} \cdot (9 - \frac{1}{3}) > 5^{x^2} \cdot (5 + \frac{1}{5})$

Вычислим значения в скобках:

$9 - \frac{1}{3} = \frac{27-1}{3} = \frac{26}{3}$

$5 + \frac{1}{5} = \frac{25+1}{5} = \frac{26}{5}$

Подставим результаты в неравенство:

$3^{x^2} \cdot \frac{26}{3} > 5^{x^2} \cdot \frac{26}{5}$

Разделим обе части на 26:

$\frac{3^{x^2}}{3} > \frac{5^{x^2}}{5}$

Перегруппируем, чтобы переменные были с одной стороны:

$5 \cdot 3^{x^2} > 3 \cdot 5^{x^2}$

Разделим обе части на $5^{x^2}$ (положительно) и на 5 (положительно):

$\frac{3^{x^2}}{5^{x^2}} > \frac{3}{5}$

$(\frac{3}{5})^{x^2} > (\frac{3}{5})^1$

Так как основание степени $\frac{3}{5}$ находится в интервале $(0; 1)$, показательная функция является убывающей. Поэтому при переходе к сравнению показателей знак неравенства меняется на противоположный:

$x^2 < 1$

Решим это квадратичное неравенство:

$x^2 - 1 < 0$

$(x-1)(x+1) < 0$

Корнями уравнения $(x-1)(x+1) = 0$ являются $x_1 = -1$ и $x_2 = 1$. Графиком функции $y = x^2 - 1$ является парабола с ветвями вверх, которая принимает отрицательные значения между корнями.

$-1 < x < 1$

Ответ: $x \in (-1; 1)$.

4) $2^{2x+1} - 3^x > 3^{x-1} - 2^{2x}$

Сначала преобразуем выражения $2^{2x+1}$ и $2^{2x}$, приведя их к основанию 4:

$2^{2x} = (2^2)^x = 4^x$

$2^{2x+1} = 2^{2x} \cdot 2^1 = 2 \cdot 4^x$

Подставим это в исходное неравенство:

$2 \cdot 4^x - 3^x > 3^{x-1} - 4^x$

Сгруппируем члены с одинаковыми основаниями:

$2 \cdot 4^x + 4^x > 3^{x-1} + 3^x$

Вынесем общие множители за скобки:

$4^x \cdot (2 + 1) > 3^x \cdot (3^{-1} + 1)$

Упростим выражения в скобках:

$2 + 1 = 3$

$3^{-1} + 1 = \frac{1}{3} + 1 = \frac{4}{3}$

Неравенство принимает вид:

$4^x \cdot 3 > 3^x \cdot \frac{4}{3}$

Перегруппируем члены, чтобы разделить переменные и константы. Разделим обе части на $3^x$ (положительно) и на 3:

$\frac{4^x}{3^x} > \frac{4/3}{3}$

$(\frac{4}{3})^x > \frac{4}{9}$

Основание $\frac{4}{3} > 1$, поэтому показательная функция возрастающая. Чтобы решить неравенство, прологарифмируем обе части по основанию $\frac{4}{3}$. Знак неравенства сохранится:

$\log_{4/3}((\frac{4}{3})^x) > \log_{4/3}(\frac{4}{9})$

$x > \log_{4/3}(\frac{4}{9})$

Этот результат является точным решением неравенства.

Ответ: $x \in (\log_{4/3}(4/9); +\infty)$.