Номер 50, страница 146 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

50. 1)

$36 \cdot \left(\frac{1}{36}\right)^{2x} < 6^{x(x-3)};$

2)

$25 \cdot 0.2^{2x(3+x)} > 0.04^{2x};$

3)

$9^x - 10 \cdot 3^x < -9;$

4)

$4^{x+1} - 3 \cdot 2^x > 1.$

1) $36 \cdot (\frac{1}{36})^{3x} < 6^{x(x-3)}$

Приведем все части неравенства к основанию 6. Мы знаем, что $36 = 6^2$ и $\frac{1}{36} = 36^{-1} = (6^2)^{-1} = 6^{-2}$.

Подставим эти значения в исходное неравенство:

$6^2 \cdot (6^{-2})^{3x} < 6^{x(x-3)}$

Упростим левую часть, используя свойства степеней $(a^m)^n = a^{mn}$ и $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:

$6^2 \cdot 6^{-6x} < 6^{x^2-3x}$

$6^{2-6x} < 6^{x^2-3x}$

Так как основание степени $6 > 1$, показательная функция является возрастающей. Поэтому мы можем перейти к неравенству для показателей, сохранив знак неравенства:

$2 - 6x < x^2 - 3x$

Перенесем все члены в правую часть, чтобы получить квадратное неравенство:

$0 < x^2 - 3x + 6x - 2$

$x^2 + 3x - 2 > 0$

Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 + 3x - 2 = 0$ с помощью дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 9 + 8 = 17$

Корни уравнения: $x_1 = \frac{-3 - \sqrt{17}}{2}$ и $x_2 = \frac{-3 + \sqrt{17}}{2}$.

Парабола $y = x^2 + 3x - 2$ имеет ветви, направленные вверх. Неравенство $x^2 + 3x - 2 > 0$ выполняется, когда $x$ находится за пределами корней.

Следовательно, решение неравенства: $x \in (-\infty; \frac{-3 - \sqrt{17}}{2}) \cup (\frac{-3 + \sqrt{17}}{2}; +\infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty; \frac{-3 - \sqrt{17}}{2}) \cup (\frac{-3 + \sqrt{17}}{2}; +\infty)$.

2) $25 \cdot 0.2^{x(3+x)} > 0.04^{2x}$

Приведем все части неравенства к одному основанию, например, к 5. Мы знаем, что $25 = 5^2$, $0.2 = \frac{1}{5} = 5^{-1}$ и $0.04 = \frac{1}{25} = 5^{-2}$.

Подставим эти значения в неравенство:

$5^2 \cdot (5^{-1})^{x(3+x)} > (5^{-2})^{2x}$

Упростим обе части неравенства, используя свойства степеней:

$5^2 \cdot 5^{-x(3+x)} > 5^{-4x}$

$5^{2 - (3x+x^2)} > 5^{-4x}$

$5^{2 - 3x - x^2} > 5^{-4x}$

Так как основание степени $5 > 1$, мы можем перейти к неравенству для показателей, сохранив знак:

$2 - 3x - x^2 > -4x$

Перенесем все члены в левую часть:

$-x^2 - 3x + 4x + 2 > 0$

$-x^2 + x + 2 > 0$

Умножим неравенство на -1 и изменим знак неравенства на противоположный:

$x^2 - x - 2 < 0$

Найдем корни уравнения $x^2 - x - 2 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна 1, а произведение равно -2. Корни: $x_1 = -1$ и $x_2 = 2$.

Парабола $y = x^2 - x - 2$ имеет ветви, направленные вверх. Неравенство $x^2 - x - 2 < 0$ выполняется между корнями.

Следовательно, решение неравенства: $x \in (-1; 2)$.

Ответ: $x \in (-1; 2)$.

3) $9^x - 10 \cdot 3^x < -9$

Перепишем неравенство, перенеся -9 в левую часть и представив $9^x$ как $(3^x)^2$:

$(3^x)^2 - 10 \cdot 3^x + 9 < 0$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = 3^x$. Так как показательная функция всегда положительна, то $t > 0$.

Получаем квадратное неравенство относительно $t$:

$t^2 - 10t + 9 < 0$

Найдем корни уравнения $t^2 - 10t + 9 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна 10, а произведение 9. Корни: $t_1 = 1$ и $t_2 = 9$.

Парабола $y = t^2 - 10t + 9$ имеет ветви, направленные вверх. Неравенство $t^2 - 10t + 9 < 0$ выполняется между корнями.

Таким образом, $1 < t < 9$.

Это решение удовлетворяет условию $t > 0$.

Теперь выполним обратную замену $t = 3^x$:

$1 < 3^x < 9$

Представим 1 и 9 как степени с основанием 3:

$3^0 < 3^x < 3^2$

Так как основание $3 > 1$, можем перейти к неравенству для показателей:

$0 < x < 2$

Следовательно, решение неравенства: $x \in (0; 2)$.

Ответ: $x \in (0; 2)$.

4) $4^{x+1} - 3 \cdot 2^x > 1$

Перенесем 1 в левую часть и преобразуем $4^{x+1}$:

$4^{x+1} = 4^x \cdot 4^1 = 4 \cdot (2^2)^x = 4 \cdot (2^x)^2$.

Неравенство принимает вид:

$4 \cdot (2^x)^2 - 3 \cdot 2^x - 1 > 0$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = 2^x$. Так как $2^x > 0$ для любого $x$, то $t > 0$.

Получаем квадратное неравенство:

$4t^2 - 3t - 1 > 0$

Найдем корни уравнения $4t^2 - 3t - 1 = 0$ с помощью дискриминанта:

$D = (-3)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-1) = 9 + 16 = 25 = 5^2$

Корни уравнения: $t_1 = \frac{3 - 5}{2 \cdot 4} = \frac{-2}{8} = -\frac{1}{4}$ и $t_2 = \frac{3 + 5}{2 \cdot 4} = \frac{8}{8} = 1$.

Парабола $y = 4t^2 - 3t - 1$ имеет ветви, направленные вверх. Неравенство $4t^2 - 3t - 1 > 0$ выполняется, когда $t$ находится за пределами корней:

$t < -\frac{1}{4}$ или $t > 1$.

Учитывая условие $t > 0$, решение $t < -\frac{1}{4}$ является невозможным.

Остается только $t > 1$.

Выполним обратную замену $t = 2^x$:

$2^x > 1$

Представим 1 как степень с основанием 2:

$2^x > 2^0$

Так как основание $2 > 1$, можем перейти к неравенству для показателей:

$x > 0$

Следовательно, решение неравенства: $x \in (0; +\infty)$.

Ответ: $x \in (0; +\infty)$.