Номер 61, страница 147 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

61. 1) $ \frac{x^2 + 3x}{\log_2(x+1)} < 0; $

2) $ \log_{12} \frac{x^2 + x}{x + 4} > 0; $

3) $ \frac{2x^2 - 8}{\log_5 x} > 0; $

4) $ \frac{\log_6(x+2)}{x^3} < 0. $

1) Решим неравенство $\frac{x^2 + 3x}{\log_2(x + 1)} < 0$.

Найдем область допустимых значений (ОДЗ).

Аргумент логарифма должен быть строго положительным: $x + 1 > 0 \implies x > -1$.

Знаменатель не должен быть равен нулю: $\log_2(x + 1) \neq 0 \implies x + 1 \neq 2^0 \implies x + 1 \neq 1 \implies x \neq 0$.

Таким образом, ОДЗ: $x \in (-1, 0) \cup (0, +\infty)$.

Применим метод рационализации. Знак выражения $\log_a f(x)$ на его ОДЗ совпадает со знаком выражения $(a-1)(f(x)-1)$.

В нашем случае, знак $\log_2(x+1)$ совпадает со знаком $(2-1)((x+1)-1) = x$.

Исходное неравенство на ОДЗ равносильно неравенству: $\frac{x^2 + 3x}{x} < 0$.

$\frac{x(x + 3)}{x} < 0$.

Так как по ОДЗ $x \neq 0$, мы можем сократить дробь на $x$: $x + 3 < 0 \implies x < -3$.

Теперь найдем пересечение полученного решения с ОДЗ: $x < -3$ и $x \in (-1, 0) \cup (0, +\infty)$.

Пересечение этих множеств пусто. Следовательно, у неравенства нет решений.

Проверка: На ОДЗ $x \in (-1, 0) \cup (0, +\infty)$ множитель $(x+3)$ всегда положителен. Значит, знак числителя $x(x+3)$ совпадает со знаком $x$. Знак знаменателя $\log_2(x+1)$ также совпадает со знаком $x$ (если $-1 < x < 0$, то $0 < x+1 < 1$ и логарифм отрицателен; если $x > 0$, то $x+1 > 1$ и логарифм положителен). Таким образом, на всей ОДЗ дробь представляет собой отношение двух выражений с одинаковыми знаками, то есть она всегда положительна. Неравенство $\frac{...}{...} < 0$ решений не имеет.

Ответ: $\emptyset$ (решений нет).

2) Решим неравенство $\log_{12} \frac{x^2 + x}{x + 4} > 0$.

Найдем ОДЗ. Аргумент логарифма должен быть положителен: $\frac{x^2 + x}{x + 4} > 0 \implies \frac{x(x+1)}{x+4} > 0$.

Методом интервалов находим, что это выполняется при $x \in (-4, -1) \cup (0, +\infty)$. Это и есть ОДЗ.

Так как основание логарифма $12 > 1$, логарифм больше нуля, когда его аргумент больше $12^0=1$. $\frac{x^2 + x}{x + 4} > 1$.

$\frac{x^2 + x}{x + 4} - 1 > 0$.

$\frac{x^2 + x - (x+4)}{x + 4} > 0$.

$\frac{x^2 - 4}{x + 4} > 0$.

$\frac{(x-2)(x+2)}{x+4} > 0$.

Решаем это неравенство методом интервалов. Корни числителя: $x=2, x=-2$. Корень знаменателя: $x=-4$.

На числовой оси отмечаем точки -4, -2, 2. Они разбивают ось на интервалы $(-\infty, -4)$, $(-4, -2)$, $(-2, 2)$, $(2, +\infty)$.

Проверяя знаки на интервалах, получаем решение: $x \in (-4, -2) \cup (2, +\infty)$.

Теперь найдем пересечение этого решения с ОДЗ: $((-4, -2) \cup (2, +\infty)) \cap ((-4, -1) \cup (0, +\infty))$.

Пересечение дает $x \in (-4, -2) \cup (2, +\infty)$.

Ответ: $x \in (-4, -2) \cup (2, +\infty)$.

3) Решим неравенство $\frac{2x^2 - 8}{\log_5 x} > 0$.

Найдем ОДЗ:

$x > 0$ (аргумент логарифма).

$\log_5 x \neq 0 \implies x \neq 1$ (знаменатель не равен нулю).

ОДЗ: $x \in (0, 1) \cup (1, +\infty)$.

Неравенство $\frac{A}{B} > 0$ означает, что $A$ и $B$ имеют одинаковые знаки. Применим метод рационализации.

Знак $\log_5 x$ совпадает со знаком $(5-1)(x-1)$, то есть со знаком $(x-1)$.

Неравенство на ОДЗ равносильно: $\frac{2x^2 - 8}{x - 1} > 0$.

$\frac{2(x^2 - 4)}{x - 1} > 0$.

$\frac{(x-2)(x+2)}{x-1} > 0$.

Решаем методом интервалов. Корни: $x=2, x=-2, x=1$. Интервалы: $(-\infty, -2)$, $(-2, 1)$, $(1, 2)$, $(2, +\infty)$.

Проверяя знаки, получаем решение: $x \in (-2, 1) \cup (2, +\infty)$.

Найдем пересечение с ОДЗ $x \in (0, 1) \cup (1, +\infty)$.

$((-2, 1) \cup (2, +\infty)) \cap ((0, 1) \cup (1, +\infty)) = (0, 1) \cup (2, +\infty)$.

Ответ: $x \in (0, 1) \cup (2, +\infty)$.

4) Решим неравенство $\frac{\log_6(x + 2)}{x^3} < 0$.

Найдем ОДЗ:

$x+2 > 0 \implies x > -2$.

$x^3 \neq 0 \implies x \neq 0$.

ОДЗ: $x \in (-2, 0) \cup (0, +\infty)$.

Неравенство $\frac{A}{B} < 0$ означает, что $A$ и $B$ имеют разные знаки. Применим метод рационализации.

Знак $\log_6(x+2)$ совпадает со знаком $(6-1)((x+2)-1)$, то есть со знаком $(x+1)$.

Неравенство на ОДЗ равносильно: $\frac{x+1}{x^3} < 0$.

Решаем методом интервалов. Корни числителя: $x=-1$. Корень знаменателя: $x=0$. Интервалы: $(-\infty, -1)$, $(-1, 0)$, $(0, +\infty)$.

Проверяя знаки, получаем, что выражение отрицательно на интервале $(-1, 0)$.

Решение: $x \in (-1, 0)$.

Это решение полностью входит в ОДЗ $x \in (-2, 0) \cup (0, +\infty)$.

Ответ: $x \in (-1, 0)$.