Номер 64, страница 148 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

Найдите области определения функции $y = f(x)$ (64-65):

64.

1) $f(x) = 5 - \sqrt{x + 4}$;

2) $f(x) = 8 - \sqrt{4 - x}$;

3) $f(x) = \sqrt{x} - \log_2(x + 1)$;

4) $f(x) = 6x + \log_7(x^2 - 1)$.

1) $f(x) = 5 - \sqrt{x+4}$

Область определения функции (ОДЗ) для выражения с квадратным корнем задается условием, что подкоренное выражение должно быть неотрицательным, то есть больше или равно нулю.

Для данной функции это условие выглядит так:

$x + 4 \ge 0$

Чтобы решить это неравенство, вычтем 4 из обеих его частей:

$x \ge -4$

Это означает, что функция определена для всех значений $x$, которые больше или равны -4.

Ответ: $D(f) = [-4; +\infty)$.

2) $f(x) = 8 - \sqrt{4-x}$

Аналогично первому пункту, выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным.

Составляем и решаем неравенство:

$4 - x \ge 0$

Перенесем $x$ в правую часть неравенства (или прибавим $x$ к обеим частям):

$4 \ge x$

Это неравенство можно записать как $x \le 4$. Таким образом, функция определена для всех значений $x$, которые меньше или равны 4.

Ответ: $D(f) = (-\infty; 4]$.

3) $f(x) = \sqrt{x} - \log_2(x+1)$

Эта функция содержит две части, накладывающие ограничения на область определения: квадратный корень и логарифм. Область определения функции будет пересечением областей определения для каждой из этих частей.

1. Для квадратного корня $\sqrt{x}$ подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $x \ge 0$.

2. Для логарифма $\log_2(x+1)$ выражение под знаком логарифма (аргумент) должно быть строго положительным: $x + 1 > 0$.

Решим второе неравенство: $x > -1$.

Теперь найдем пересечение двух условий, то есть решим систему неравенств:

$\begin{cases} x \ge 0 \\ x > -1 \end{cases}$

Общим решением для этой системы является более сильное неравенство $x \ge 0$.

Ответ: $D(f) = [0; +\infty)$.

4) $f(x) = 6x + \log_7(x^2 - 1)$

Слагаемое $6x$ определено для любого действительного числа $x$. Ограничение на область определения вносит логарифмическая функция.

Аргумент логарифма должен быть строго положительным:

$x^2 - 1 > 0$

Это квадратичное неравенство. Разложим левую часть на множители по формуле разности квадратов:

$(x - 1)(x + 1) > 0$

Для решения этого неравенства используем метод интервалов. Найдем корни уравнения $(x-1)(x+1) = 0$. Корнями являются $x = 1$ и $x = -1$. Эти точки делят числовую ось на три интервала: $(-\infty; -1)$, $(-1; 1)$ и $(1; +\infty)$.

Определим знак произведения $(x-1)(x+1)$ в каждом интервале:

- на интервале $(-\infty; -1)$ (например, при $x = -2$): $(-2-1)(-2+1) = (-3)(-1) = 3 > 0$. Интервал подходит.

- на интервале $(-1; 1)$ (например, при $x = 0$): $(0-1)(0+1) = (-1)(1) = -1 < 0$. Интервал не подходит.

- на интервале $(1; +\infty)$ (например, при $x = 2$): $(2-1)(2+1) = (1)(3) = 3 > 0$. Интервал подходит.

Таким образом, решением неравенства является объединение двух интервалов.

Ответ: $D(f) = (-\infty; -1) \cup (1; +\infty)$.