Номер 71, страница 148 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

71. 1) $f(x) = \log_5(x - 1);$

2) $f(x) = \log_{\frac{1}{3}}(2 + x);$

3) $f(x) = |\log_4 x|;$

4) $f(x) = |5^x - 5|.$

1) Чтобы найти область определения функции $f(x) = \log_5(x - 1)$, необходимо учесть, что аргумент логарифмической функции должен быть строго положительным. В данном случае аргументом является выражение $(x - 1)$.

Следовательно, мы должны решить неравенство:

$x - 1 > 0$

Прибавив 1 к обеим частям неравенства, получаем:

$x > 1$

Таким образом, область определения функции — это все значения $x$, которые больше 1. В виде интервала это записывается как $(1, +\infty)$.

Ответ: $D(f) = (1, +\infty)$.

2) Для функции $f(x) = \log_{\frac{1}{3}}(2 + x)$ область определения также находится из условия, что аргумент логарифма должен быть больше нуля. Аргументом является $(2 + x)$.

Составим и решим неравенство:

$2 + x > 0$

Вычтем 2 из обеих частей неравенства:

$x > -2$

Область определения функции — это все значения $x$, которые больше -2. В виде интервала это записывается как $(-2, +\infty)$.

Ответ: $D(f) = (-2, +\infty)$.

3) Функция $f(x) = |\log_4 x|$ является модулем логарифмической функции. Функция модуля определена для любого действительного значения своего аргумента. Следовательно, область определения функции $f(x)$ совпадает с областью определения внутренней функции $g(x) = \log_4 x$.

Аргумент логарифма $x$ должен быть строго положительным.

$x > 0$

Таким образом, область определения функции — это все положительные действительные числа. В виде интервала это записывается как $(0, +\infty)$.

Ответ: $D(f) = (0, +\infty)$.

4) Функция $f(x) = |5^x - 5|$ представляет собой модуль разности показательной функции и константы.

Рассмотрим внутреннюю функцию $g(x) = 5^x - 5$. Показательная функция $y = 5^x$ определена для всех действительных чисел $x \in \mathbb{R}$. Вычитание константы 5 не изменяет область определения.

Функция модуля определена для любого действительного значения своего аргумента.

Следовательно, область определения всей функции $f(x)$ — это множество всех действительных чисел.

Ответ: $D(f) = (-\infty, +\infty)$.