Номер 73, страница 149 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

73. Постройте график функции $y = f(x)$:

1) $f(x) = 5\log_{5}(x^2 - 1);$

2) $f(x) = \frac{1}{4}^{\log_{\frac{1}{2}}(x+2)};$

3) $f(x) = 0.5^{\log_{2}(x-5)};$

4) $f(x) = 9^{\log_{3}\frac{1}{x}}.$

1) $f(x) = 5^{\log_5(x^2 - 1)}$

Для построения графика данной функции вначале найдем ее область определения (ОДЗ). Аргумент логарифма должен быть строго больше нуля:

$x^2 - 1 > 0$

$(x - 1)(x + 1) > 0$

Решением этого неравенства является объединение интервалов $x \in (-\infty; -1) \cup (1; \infty)$.

Теперь, на найденной области определения, мы можем упростить функцию, используя основное логарифмическое тождество $a^{\log_a b} = b$:

$f(x) = x^2 - 1$

Следовательно, график исходной функции представляет собой график параболы $y = x^2 - 1$, но только для тех значений $x$, которые принадлежат области определения.

Это парабола с вершиной в точке $(0, -1)$, ветви которой направлены вверх. Из полного графика параболы необходимо исключить ту его часть, которая соответствует значениям $x$ на отрезке $[-1, 1]$. Точки $(-1, 0)$ и $(1, 0)$ являются "выколотыми", так как они не входят в ОДЗ.

Ответ: Графиком функции является парабола $y = x^2 - 1$ с выколотой частью графика на отрезке $[-1, 1]$. Точки $(-1, 0)$ и $(1, 0)$ не принадлежат графику.

2) $f(x) = (\frac{1}{4})^{\log_{\frac{1}{2}}(x+2)}$

Найдем область определения функции (ОДЗ). Аргумент логарифма должен быть строго положительным:

$x + 2 > 0$

$x > -2$

ОДЗ: $x \in (-2; \infty)$.

Далее преобразуем выражение функции. Заметим, что основание степени $\frac{1}{4}$ и основание логарифма $\frac{1}{2}$ связаны соотношением $\frac{1}{4} = (\frac{1}{2})^2$.

$f(x) = ((\frac{1}{2})^2)^{\log_{\frac{1}{2}}(x+2)} = (\frac{1}{2})^{2 \cdot \log_{\frac{1}{2}}(x+2)}$

Используя свойство логарифма $n \log_a b = \log_a(b^n)$, получим:

$f(x) = (\frac{1}{2})^{\log_{\frac{1}{2}}((x+2)^2)}$

Теперь по основному логарифмическому тождеству $a^{\log_a b} = b$ имеем:

$f(x) = (x+2)^2$

Таким образом, график исходной функции — это часть параболы $y = (x+2)^2$ для $x > -2$.

График $y=(x+2)^2$ — это стандартная парабола $y=x^2$, сдвинутая на 2 единицы влево. Ее вершина находится в точке $(-2, 0)$. Поскольку по ОДЗ $x > -2$, то мы строим только правую ветвь этой параболы, причем ее вершина $(-2, 0)$ является выколотой точкой.

Ответ: Графиком функции является правая ветвь параболы $y = (x+2)^2$ с выколотой вершиной в точке $(-2, 0)$.

3) $f(x) = 0.5^{\log_2(x-5)}$

Найдем область определения функции (ОДЗ):

$x - 5 > 0$

$x > 5$

ОДЗ: $x \in (5; \infty)$.

Преобразуем функцию. Приведем основание степени к основанию логарифма, учитывая что $0.5 = \frac{1}{2} = 2^{-1}$.

$f(x) = (2^{-1})^{\log_2(x-5)} = 2^{-\log_2(x-5)}$

Используя свойство логарифма $- \log_a b = \log_a(b^{-1})$, получим:

$f(x) = 2^{\log_2((x-5)^{-1})} = 2^{\log_2(\frac{1}{x-5})}$

По основному логарифмическому тождеству:

$f(x) = \frac{1}{x-5}$

График исходной функции совпадает с графиком функции $y = \frac{1}{x-5}$ на ее области определения $x > 5$.

График функции $y = \frac{1}{x-5}$ — это гипербола, полученная сдвигом графика $y = \frac{1}{x}$ на 5 единиц вправо. Ее асимптоты — прямые $x=5$ (вертикальная) и $y=0$ (горизонтальная). Условию $x > 5$ удовлетворяет правая ветвь этой гиперболы.

Ответ: Графиком функции является правая ветвь гиперболы $y = \frac{1}{x-5}$ (для $x > 5$), с вертикальной асимптотой $x=5$ и горизонтальной асимптотой $y=0$.

4) $f(x) = 9^{\log_3(\frac{1}{x})}$

Найдем область определения функции (ОДЗ):

$\frac{1}{x} > 0$

Это неравенство справедливо при $x > 0$.

ОДЗ: $x \in (0; \infty)$.

Преобразуем функцию. Приведем основание степени к основанию логарифма: $9 = 3^2$.

$f(x) = (3^2)^{\log_3(\frac{1}{x})} = 3^{2 \log_3(\frac{1}{x})}$

Используя свойство $n \log_a b = \log_a(b^n)$:

$f(x) = 3^{\log_3((\frac{1}{x})^2)} = 3^{\log_3(\frac{1}{x^2})}$

По основному логарифмическому тождеству:

$f(x) = \frac{1}{x^2}$

График исходной функции — это часть графика функции $y = \frac{1}{x^2}$ при $x > 0$.

График функции $y = \frac{1}{x^2}$ состоит из двух симметричных относительно оси Oy ветвей, расположенных в верхней полуплоскости. Условию $x > 0$ удовлетворяет правая ветвь, находящаяся в первой координатной четверти. Ее асимптотами являются положительная полуось Oy (вертикальная асимптота $x=0$) и положительная полуось Ox (горизонтальная асимптота $y=0$).

Ответ: Графиком функции является правая ветвь графика $y = \frac{1}{x^2}$, расположенная в первой координатной четверти.