Номер 79, страница 149 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

Найдите площади фигур, ограниченных линиями (79—81):

79. 1) $y = x^2 - 4x + 7$, $y = 0$, $x = 0$, $x = 1$;

2) $y = x^2 + 6x - 8$, $y = 0$, $x = 0$, $x = 2$;

3) $y = x^2 + 3x$, $y = 0$;

4) $y = 6x - x^2$, $y = 0$.

1) Фигура ограничена линиями $y = x^2 - 4x + 7$, $y=0$, $x=0$, $x=1$.

Площадь такой фигуры, которая является криволинейной трапецией, вычисляется с помощью определенного интеграла по формуле $S = \int_{a}^{b} f(x) \,dx$, если $f(x) \ge 0$ на отрезке $[a, b]$.

В данном случае, $f(x) = x^2 - 4x + 7$, а пределы интегрирования $a=0$ и $b=1$.

Чтобы определить знак функции на отрезке $[0, 1]$, найдем дискриминант квадратного трехчлена $x^2 - 4x + 7$: $D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 7 = 16 - 28 = -12$. Поскольку $D < 0$ и коэффициент при $x^2$ положителен ($a=1 > 0$), вся парабола находится выше оси Ox. Следовательно, $f(x) > 0$ для всех значений $x$, в том числе и на отрезке $[0, 1]$.

Таким образом, площадь вычисляется как:

$S = \int_{0}^{1} (x^2 - 4x + 7) \,dx$

Находим первообразную для подынтегральной функции:

$F(x) = \int (x^2 - 4x + 7) \,dx = \frac{x^3}{3} - 4\frac{x^2}{2} + 7x = \frac{x^3}{3} - 2x^2 + 7x$

Применяем формулу Ньютона-Лейбница:

$S = F(1) - F(0) = \left(\frac{1^3}{3} - 2(1)^2 + 7(1)\right) - \left(\frac{0^3}{3} - 2(0)^2 + 7(0)\right) = \left(\frac{1}{3} - 2 + 7\right) - 0 = 5 + \frac{1}{3} = \frac{15}{3} + \frac{1}{3} = \frac{16}{3}$.

Ответ: $S = \frac{16}{3}$.

2) Фигура ограничена линиями $y = x^2 + 6x - 8$, $y=0$, $x=0$, $x=2$.

Площадь фигуры вычисляется по формуле $S = \int_{a}^{b} |f(x)| \,dx$. Необходимо исследовать знак функции $f(x) = x^2 + 6x - 8$ на отрезке $[0, 2]$.

Найдем корни уравнения $x^2 + 6x - 8 = 0$. Дискриминант $D = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 36 + 32 = 68$. Корни уравнения: $x_{1,2} = \frac{-6 \pm \sqrt{68}}{2} = \frac{-6 \pm 2\sqrt{17}}{2} = -3 \pm \sqrt{17}$.

Корень $x_1 = -3 - \sqrt{17}$ не принадлежит отрезку $[0, 2]$. Корень $x_2 = \sqrt{17} - 3$. Учитывая, что $4^2=16$ и $5^2=25$, имеем $4 < \sqrt{17} < 5$, откуда $1 < \sqrt{17}-3 < 2$. Таким образом, корень $x_2$ лежит внутри отрезка интегрирования $[0, 2]$.

Парабола $y=x^2+6x-8$ имеет ветви, направленные вверх, поэтому она отрицательна между корнями и положительна вне этого интервала. На отрезке $[0, 2]$ функция меняет знак:

при $x \in [0, \sqrt{17}-3)$ имеем $y < 0$;

при $x \in (\sqrt{17}-3, 2]$ имеем $y > 0$.

Поэтому для вычисления площади интеграл необходимо разбить на две части:

$S = \int_{0}^{2} |x^2 + 6x - 8| \,dx = \int_{0}^{\sqrt{17}-3} -(x^2 + 6x - 8) \,dx + \int_{\sqrt{17}-3}^{2} (x^2 + 6x - 8) \,dx$

Пусть $F(x)$ - первообразная для $f(x)=x^2+6x-8$, тогда $F(x) = \frac{x^3}{3} + 3x^2 - 8x$. Площадь равна:

$S = -[F(x)]_0^{\sqrt{17}-3} + [F(x)]_{\sqrt{17}-3}^2 = -(F(\sqrt{17}-3) - F(0)) + (F(2) - F(\sqrt{17}-3)) = F(2) + F(0) - 2F(\sqrt{17}-3)$.

Вычислим значения $F(0)$, $F(2)$ и $F(\sqrt{17}-3)$:

$F(0) = 0$.

$F(2) = \frac{2^3}{3} + 3(2^2) - 8(2) = \frac{8}{3} + 12 - 16 = \frac{8}{3} - 4 = -\frac{4}{3}$.

Для $x_2 = \sqrt{17}-3$ верно равенство $x_2^2 + 6x_2 - 8 = 0$, откуда $x_2^2 = 8-6x_2$. Тогда:

$x_2^3 = x_2 \cdot x_2^2 = x_2(8-6x_2) = 8x_2 - 6x_2^2 = 8x_2 - 6(8-6x_2) = 44x_2 - 48$.

$F(x_2) = \frac{x_2^3}{3} + 3x_2^2 - 8x_2 = \frac{44x_2-48}{3} + 3(8-6x_2) - 8x_2 = \frac{44}{3}x_2 - 16 + 24 - 18x_2 - 8x_2 = (\frac{44}{3} - 26)x_2 + 8 = -\frac{34}{3}x_2 + 8$.

$F(\sqrt{17}-3) = -\frac{34}{3}(\sqrt{17}-3)+8 = -\frac{34\sqrt{17}}{3} + 34 + 8 = 42 - \frac{34\sqrt{17}}{3}$.

Подставляем найденные значения в формулу для площади:

$S = -\frac{4}{3} + 0 - 2\left(42 - \frac{34\sqrt{17}}{3}\right) = -\frac{4}{3} - 84 + \frac{68\sqrt{17}}{3} = \frac{-4 - 252 + 68\sqrt{17}}{3} = \frac{68\sqrt{17} - 256}{3}$.

Ответ: $S = \frac{68\sqrt{17} - 256}{3}$.

3) Фигура ограничена линиями $y = x^2 + 3x$ и $y=0$.

В этом случае пределы интегрирования определяются точками пересечения графика функции с осью Ox ($y=0$).

Находим точки пересечения, решая уравнение $x^2 + 3x = 0$:

$x(x+3) = 0$

Корни: $x_1 = -3$, $x_2 = 0$. Это и есть пределы интегрирования.

Парабола $y = x^2+3x$ имеет ветви, направленные вверх, поэтому на интервале $(-3, 0)$ значения функции отрицательны ($y<0$).

Площадь фигуры вычисляется как интеграл от модуля функции:

$S = \int_{-3}^{0} |x^2 + 3x| \,dx = \int_{-3}^{0} -(x^2 + 3x) \,dx = \int_{-3}^{0} (-x^2 - 3x) \,dx$.

Находим первообразную: $F(x) = -\frac{x^3}{3} - \frac{3x^2}{2}$.

Вычисляем интеграл по формуле Ньютона-Лейбница:

$S = F(0) - F(-3) = \left(-\frac{0^3}{3} - \frac{3 \cdot 0^2}{2}\right) - \left(-\frac{(-3)^3}{3} - \frac{3(-3)^2}{2}\right) = 0 - \left(-\frac{-27}{3} - \frac{27}{2}\right) = -\left(9 - \frac{27}{2}\right) = -\left(\frac{18-27}{2}\right) = -\left(-\frac{9}{2}\right) = \frac{9}{2}$.

Ответ: $S = \frac{9}{2}$.

4) Фигура ограничена линиями $y = 6x - x^2$ и $y=0$.

Пределы интегрирования находим из условия пересечения параболы с осью Ox ($y=0$):

$6x - x^2 = 0 \Rightarrow x(6-x) = 0$.

Корни: $x_1 = 0$, $x_2 = 6$.

Парабола $y=6x-x^2$ имеет ветви, направленные вниз (коэффициент при $x^2$ отрицателен), поэтому на интервале $(0, 6)$ функция положительна ($y>0$).

Площадь фигуры равна:

$S = \int_{0}^{6} (6x - x^2) \,dx$.

Находим первообразную: $F(x) = \int(6x - x^2)dx = 6\frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3} = 3x^2 - \frac{x^3}{3}$.

Вычисляем интеграл по формуле Ньютона-Лейбница:

$S = F(6) - F(0) = \left(3(6)^2 - \frac{6^3}{3}\right) - \left(3(0)^2 - \frac{0^3}{3}\right) = \left(3 \cdot 36 - \frac{216}{3}\right) - 0 = 108 - 72 = 36$.

Ответ: $S = 36$.