Номер 83, страница 150 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

83. 1) $5^x = x^2 + 1;$

2) $\log_2 x = 2^x;$

3) $(\frac{1}{3})^x = \sqrt{x} + 1;$

4) $\log_{\frac{1}{6}} x = \sqrt{x} - 1.$

1) $5^x = x^2 + 1$

Данное уравнение является трансцендентным, и его решение обычно ищут графическим или аналитическим методом, исследуя свойства функций. Рассмотрим две функции: $y_1 = 5^x$ и $y_2 = x^2 + 1$.

Функция $y_1 = 5^x$ — показательная, строго возрастающая на всей числовой оси. Ее значения всегда положительны.

Функция $y_2 = x^2 + 1$ — квадратичная, ее график — парабола с ветвями вверх и вершиной в точке $(0, 1)$. Минимальное значение этой функции равно 1 при $x=0$.

Попробуем найти решение методом подбора, проверяя целые числа. Пусть $x=0$.

Левая часть: $5^0 = 1$.

Правая часть: $0^2 + 1 = 1$.

Поскольку $1 = 1$, $x=0$ является корнем уравнения.

Теперь докажем, что других корней нет.

При $x > 0$: показательная функция $5^x$ растет гораздо быстрее, чем квадратичная функция $x^2+1$. В точке $x=0$ их значения равны. Рассмотрим их производные: $y_1' = 5^x \ln 5$ и $y_2' = 2x$. При $x=0$, $y_1'(0) = \ln 5 > 0$, а $y_2'(0) = 0$. Это означает, что при переходе через $x=0$ в положительную сторону, функция $y_1$ начинает расти быстрее, чем $y_2$, поэтому их графики больше не пересекутся. Для $x>0$ будет выполняться неравенство $5^x > x^2 + 1$.

При $x < 0$: значения функции $y_1 = 5^x$ находятся в интервале $(0, 1)$, так как $5^x < 5^0 = 1$. Значения функции $y_2 = x^2 + 1$ больше 1, так как $x^2 > 0$ для $x < 0$, следовательно $x^2+1 > 1$. Таким образом, при $x < 0$ левая часть уравнения всегда меньше 1, а правая — всегда больше 1, поэтому равенство невозможно.

Следовательно, $x=0$ — единственный корень уравнения.

Ответ: $x=0$.

2) $\log_2 x = 2^x$

Область допустимых значений (ОДЗ) для данного уравнения определяется условием $x > 0$.

Рассмотрим функции в левой и правой частях уравнения: $y_1 = \log_2 x$ и $y_2 = 2^x$.

Функция $y_1 = \log_2 x$ — логарифмическая, строго возрастающая на всей области определения $x > 0$.

Функция $y_2 = 2^x$ — показательная, строго возрастающая на всей числовой оси.

Проанализируем поведение функций:

В интервале $(0, 1)$: $y_1 = \log_2 x < 0$, в то время как $y_2 = 2^x > 0$. Равенство в этом интервале невозможно.

В точке $x=1$: $y_1(1) = \log_2 1 = 0$, а $y_2(1) = 2^1 = 2$. Равенство не выполняется.

При $x > 1$: обе функции возрастают. Однако показательная функция $y_2 = 2^x$ растет значительно быстрее, чем логарифмическая $y_1 = \log_2 x$. Мы уже видели, что при $x=1$, $y_2(1) > y_1(1)$. Так как скорость роста $y_2$ всегда больше скорости роста $y_1$ для $x \ge 1$ (что можно проверить через производные), то разрыв между значениями функций будет только увеличиваться. Следовательно, при $x>1$ равенство также невозможно.

Таким образом, графики функций $y_1 = \log_2 x$ и $y_2 = 2^x$ не пересекаются.

Ответ: корней нет.

3) $(\frac{1}{3})^x = \sqrt{x} + 1$

ОДЗ уравнения: $x \ge 0$.

Рассмотрим функции в левой и правой частях: $y_1 = (\frac{1}{3})^x$ и $y_2 = \sqrt{x} + 1$.

Функция $y_1 = (\frac{1}{3})^x$ — показательная с основанием меньше 1, поэтому она является строго убывающей на всей своей области определения.

Функция $y_2 = \sqrt{x} + 1$ является строго возрастающей на своей области определения $x \ge 0$.

Строго убывающая и строго возрастающая функции могут пересечься не более одного раза. Найдем точку пересечения методом подбора. Проверим $x=0$:

Левая часть: $(\frac{1}{3})^0 = 1$.

Правая часть: $\sqrt{0} + 1 = 1$.

Поскольку $1=1$, $x=0$ является корнем. Так как это единственно возможное решение, других корней нет.

Действительно, для любого $x > 0$ имеем $(\frac{1}{3})^x < (\frac{1}{3})^0 = 1$ и $\sqrt{x} + 1 > \sqrt{0} + 1 = 1$. Таким образом, при $x>0$ левая часть уравнения всегда меньше правой.

Ответ: $x=0$.

4) $\log_{\frac{1}{6}} x = \sqrt{x} - 1$

ОДЗ уравнения: $x > 0$.

Рассмотрим функции в левой и правой частях: $y_1 = \log_{\frac{1}{6}} x$ и $y_2 = \sqrt{x} - 1$.

Функция $y_1 = \log_{\frac{1}{6}} x$ — логарифмическая с основанием $\frac{1}{6} \in (0,1)$, поэтому она является строго убывающей на всей области определения $x > 0$.

Функция $y_2 = \sqrt{x} - 1$ является строго возрастающей на области определения $x > 0$.

Как и в предыдущем примере, строго убывающая и строго возрастающая функции могут иметь не более одной точки пересечения. Найдем ее подбором. Проверим $x=1$:

Левая часть: $\log_{\frac{1}{6}} 1 = 0$.

Правая часть: $\sqrt{1} - 1 = 1 - 1 = 0$.

Поскольку $0=0$, $x=1$ является корнем уравнения. В силу монотонности функций, это единственный корень.

Можно также рассмотреть функцию $h(x) = \log_{\frac{1}{6}} x - \sqrt{x} + 1$. Ее производная $h'(x) = \frac{1}{x\ln(1/6)} - \frac{1}{2\sqrt{x}} = -\frac{1}{x\ln 6} - \frac{1}{2\sqrt{x}}$. Так как $x > 0$, оба слагаемых отрицательны, следовательно, $h'(x) < 0$. Функция $h(x)$ строго убывает, а значит, может принимать значение 0 не более одного раза. Мы нашли, что $h(1)=0$, значит, это и есть единственный корень.

Ответ: $x=1$.