Номер 81, страница 150 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

81. 1) $y = \frac{3}{x}$, $y = 1$, $x = 1$;
2) $y = \frac{5}{x}$, $x + y = 6$;
3) $y = \frac{2}{x}$, $x + y = 3$;
4) $y = \frac{7}{x}$, $y = -1$, $x = -1$.

1) Для нахождения точек пересечения необходимо найти общие точки для графиков заданных функций. Предположим, что требуется найти точки пересечения гиперболы $y = \frac{3}{x}$ с каждой из прямых $y=1$ и $x=1$ по отдельности.

Найдем точку пересечения графиков $y = \frac{3}{x}$ и $y = 1$.

Для этого приравняем правые части уравнений:

$\frac{3}{x} = 1$

Отсюда получаем $x = 3$.

Таким образом, первая точка пересечения имеет координаты $(3; 1)$.

Теперь найдем точку пересечения графиков $y = \frac{3}{x}$ и $x = 1$.

Подставим значение $x = 1$ в уравнение гиперболы:

$y = \frac{3}{1} = 3$

Таким образом, вторая точка пересечения имеет координаты $(1; 3)$.

Ответ: $(3; 1)$ и $(1; 3)$.

2) Для нахождения точек пересечения графиков решим систему уравнений:

$y = \frac{5}{x}$

$x + y = 6$

Из второго уравнения выразим $y$: $y = 6 - x$.

Подставим это выражение в первое уравнение:

$6 - x = \frac{5}{x}$

Умножим обе части уравнения на $x$ (при условии, что $x \neq 0$, что следует из первого уравнения):

$x(6 - x) = 5$

$6x - x^2 = 5$

Перенесем все члены в одну часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$x^2 - 6x + 5 = 0$

Решим это уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 6, а их произведение равно 5. Легко подобрать корни: $x_1 = 1$ и $x_2 = 5$.

Теперь найдем соответствующие значения $y$ для каждого корня:

Если $x_1 = 1$, то $y_1 = 6 - 1 = 5$.

Если $x_2 = 5$, то $y_2 = 6 - 5 = 1$.

Таким образом, точки пересечения графиков: $(1; 5)$ и $(5; 1)$.

Ответ: $(1; 5)$, $(5; 1)$.

3) Для нахождения точек пересечения графиков решим систему уравнений:

$y = \frac{2}{x}$

$x + y = 3$

Из второго уравнения выразим $y$: $y = 3 - x$.

Подставим это выражение в первое уравнение:

$3 - x = \frac{2}{x}$

Умножим обе части на $x$ (при $x \neq 0$):

$x(3 - x) = 2$

$3x - x^2 = 2$

Приведем к стандартному виду квадратного уравнения:

$x^2 - 3x + 2 = 0$

Решим уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 3, произведение равно 2. Корни: $x_1 = 1$ и $x_2 = 2$.

Найдем соответствующие значения $y$:

Если $x_1 = 1$, то $y_1 = 3 - 1 = 2$.

Если $x_2 = 2$, то $y_2 = 3 - 2 = 1$.

Точки пересечения графиков: $(1; 2)$ и $(2; 1)$.

Ответ: $(1; 2)$, $(2; 1)$.

4) Найдем точки пересечения графика функции $y = \frac{7}{x}$ с прямыми $y = -1$ и $x = -1$. Решим две независимые системы уравнений.

Первая система: $y = \frac{7}{x}$ и $y = -1$.

Приравниваем выражения для $y$:

$\frac{7}{x} = -1$

Отсюда $x = -7$.

Точка пересечения: $(-7; -1)$.

Вторая система: $y = \frac{7}{x}$ и $x = -1$.

Подставляем $x = -1$ в уравнение гиперболы:

$y = \frac{7}{-1} = -7$

Точка пересечения: $(-1; -7)$.

Ответ: $(-7; -1)$, $(-1; -7)$.