Номер 80, страница 150 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

80. 1) $y = x^2 + 3x + 6$, $y = 6$;

2) $y = 5x + x^2 + 2$, $y = 2$;

3) $y = 5 + 4x - x^2$, $y = x + 1$;

4) $y = 4 - x^2$, $y = x^2 - 2x$.

1) Чтобы найти точки пересечения графиков функций $y = x^2 + 3x + 6$ и $y = 6$, необходимо приравнять их правые части, так как в точках пересечения координаты $x$ и $y$ у них совпадают.

$x^2 + 3x + 6 = 6$

Перенесем 6 в левую часть уравнения:

$x^2 + 3x + 6 - 6 = 0$

$x^2 + 3x = 0$

Вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(x + 3) = 0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Отсюда получаем два возможных значения для $x$:

$x_1 = 0$

$x + 3 = 0 \Rightarrow x_2 = -3$

Теперь найдем соответствующие значения $y$. Так как одна из функций задана уравнением $y=6$, то ординаты точек пересечения будут равны 6.

Таким образом, мы получили две точки пересечения.

Ответ: $(0, 6)$, $(-3, 6)$.

2) Для нахождения точек пересечения графиков функций $y = 5x + x^2 + 2$ и $y = 2$ приравняем их правые части. Запишем первое уравнение в стандартном виде $y = x^2 + 5x + 2$.

$x^2 + 5x + 2 = 2$

Перенесем 2 в левую часть:

$x^2 + 5x + 2 - 2 = 0$

$x^2 + 5x = 0$

Вынесем $x$ за скобки:

$x(x + 5) = 0$

Отсюда находим абсциссы точек пересечения:

$x_1 = 0$

$x + 5 = 0 \Rightarrow x_2 = -5$

Ордината точек пересечения задана вторым уравнением: $y = 2$.

Следовательно, точки пересечения имеют координаты.

Ответ: $(0, 2)$, $(-5, 2)$.

3) Найдем точки пересечения графиков функций $y = 5 + 4x - x^2$ и $y = x + 1$. Приравняем правые части уравнений.

$5 + 4x - x^2 = x + 1$

Перенесем все члены уравнения в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

$-x^2 + 4x - x + 5 - 1 = 0$

$-x^2 + 3x + 4 = 0$

Умножим обе части на -1 для удобства:

$x^2 - 3x - 4 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Можно использовать теорему Виета: произведение корней равно -4, а их сумма равна 3. Корни: $x_1 = 4$ и $x_2 = -1$.

Теперь найдем соответствующие значения $y$, подставив найденные $x$ в более простое уравнение $y = x + 1$.

При $x_1 = 4$:

$y_1 = 4 + 1 = 5$

Первая точка пересечения: $(4, 5)$.

При $x_2 = -1$:

$y_2 = -1 + 1 = 0$

Вторая точка пересечения: $(-1, 0)$.

Ответ: $(4, 5)$, $(-1, 0)$.

4) Найдем точки пересечения графиков функций $y = 4 - x^2$ и $y = x^2 - 2x$. Приравняем их правые части.

$4 - x^2 = x^2 - 2x$

Перенесем все члены в правую часть, чтобы собрать квадратное уравнение:

$0 = x^2 + x^2 - 2x - 4$

$2x^2 - 2x - 4 = 0$

Разделим все уравнение на 2, чтобы упростить его:

$x^2 - x - 2 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета, произведение корней равно -2, а сумма равна 1. Корни: $x_1 = 2$ и $x_2 = -1$.

Теперь найдем соответствующие значения $y$, подставив $x$ в любое из исходных уравнений. Возьмем $y = 4 - x^2$.

При $x_1 = 2$:

$y_1 = 4 - (2)^2 = 4 - 4 = 0$

Первая точка пересечения: $(2, 0)$.

При $x_2 = -1$:

$y_2 = 4 - (-1)^2 = 4 - 1 = 3$

Вторая точка пересечения: $(-1, 3)$.

Ответ: $(2, 0)$, $(-1, 3)$.