Номер 76, страница 149 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

Для функции $y = f(x)$ найдите: 1) множество всех первообразных; 2) первообразную, график которой проходит через точку $K(a; b)$ (76–77):

76. 1) $f(x) = \frac{9}{(5-3x)}$, $K(1; 1)$;

2) $f(x) = \frac{6}{\cos^2 3x} + 1$, $K\left(\frac{\pi}{4}; \frac{\pi}{4}\right)$;

3) $f(x) = 5e^x$, $K\left(-1; \frac{1}{e}\right)$;

4) $f(x) = e^{2x} - 10x$, $K(0; 1)$.

1) Для функции $f(x) = \frac{9}{(5-3x)^2}$ и точки $K(1; 1)$.

1. Найдём множество всех первообразных. Для этого вычислим неопределённый интеграл:

$F(x) = \int \frac{9}{(5-3x)^2} dx = 9 \int (5-3x)^{-2} dx$.

Сделаем замену: $t = 5-3x$, тогда $dt = -3dx$, и $dx = -\frac{1}{3}dt$.

$F(x) = 9 \int t^{-2} (-\frac{1}{3}dt) = -3 \int t^{-2} dt = -3 \frac{t^{-1}}{-1} + C = \frac{3}{t} + C$.

Возвращаясь к исходной переменной, получаем множество всех первообразных:

$F(x) = \frac{3}{5-3x} + C$.

2. Найдём первообразную, график которой проходит через точку $K(1; 1)$.

Подставим координаты точки $x=1$, $y=1$ в уравнение для $F(x)$:

$1 = \frac{3}{5-3 \cdot 1} + C$

$1 = \frac{3}{2} + C$

$C = 1 - \frac{3}{2} = -\frac{1}{2}$.

Искомая первообразная: $F(x) = \frac{3}{5-3x} - \frac{1}{2}$.

Ответ: 1) $F(x) = \frac{3}{5-3x} + C$; 2) $F(x) = \frac{3}{5-3x} - \frac{1}{2}$.

2) Для функции $f(x) = \frac{6}{\cos^2(3x)} + 1$ и точки $K(\frac{\pi}{4}; \frac{\pi}{4})$.

1. Найдём множество всех первообразных:

$F(x) = \int (\frac{6}{\cos^2(3x)} + 1) dx = \int \frac{6}{\cos^2(3x)} dx + \int 1 dx$.

Используем табличные интегралы:

$F(x) = 6 \cdot (\frac{1}{3}\tan(3x)) + x + C = 2\tan(3x) + x + C$.

2. Найдём первообразную, график которой проходит через точку $K(\frac{\pi}{4}; \frac{\pi}{4})$.

Подставим координаты точки $x=\frac{\pi}{4}$, $y=\frac{\pi}{4}$:

$\frac{\pi}{4} = 2\tan(3 \cdot \frac{\pi}{4}) + \frac{\pi}{4} + C$

$0 = 2\tan(\frac{3\pi}{4}) + C$.

Так как $\tan(\frac{3\pi}{4}) = -1$, получаем:

$0 = 2(-1) + C \implies C = 2$.

Искомая первообразная: $F(x) = 2\tan(3x) + x + 2$.

Ответ: 1) $F(x) = 2\tan(3x) + x + C$; 2) $F(x) = 2\tan(3x) + x + 2$.

3) Для функции $f(x) = 5e^x$ и точки $K(-1; \frac{1}{e})$.

1. Найдём множество всех первообразных:

$F(x) = \int 5e^x dx = 5\int e^x dx = 5e^x + C$.

2. Найдём первообразную, график которой проходит через точку $K(-1; \frac{1}{e})$.

Подставим координаты точки $x=-1$, $y=\frac{1}{e}$:

$\frac{1}{e} = 5e^{-1} + C$

$\frac{1}{e} = \frac{5}{e} + C$

$C = \frac{1}{e} - \frac{5}{e} = -\frac{4}{e}$.

Искомая первообразная: $F(x) = 5e^x - \frac{4}{e}$.

Ответ: 1) $F(x) = 5e^x + C$; 2) $F(x) = 5e^x - \frac{4}{e}$.

4) Для функции $f(x) = e^{2x} - 10x$ и точки $K(0; 1)$.

1. Найдём множество всех первообразных:

$F(x) = \int (e^{2x} - 10x) dx = \int e^{2x} dx - \int 10x dx$.

Используем табличные интегралы:

$F(x) = \frac{1}{2}e^{2x} - 10\frac{x^2}{2} + C = \frac{1}{2}e^{2x} - 5x^2 + C$.

2. Найдём первообразную, график которой проходит через точку $K(0; 1)$.

Подставим координаты точки $x=0$, $y=1$:

$1 = \frac{1}{2}e^{2 \cdot 0} - 5(0)^2 + C$

$1 = \frac{1}{2}e^0 - 0 + C$

$1 = \frac{1}{2} + C \implies C = \frac{1}{2}$.

Искомая первообразная: $F(x) = \frac{1}{2}e^{2x} - 5x^2 + \frac{1}{2}$.

Ответ: 1) $F(x) = \frac{1}{2}e^{2x} - 5x^2 + C$; 2) $F(x) = \frac{1}{2}e^{2x} - 5x^2 + \frac{1}{2}$.