Номер 72, страница 148 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

72. Найдите промежутки возрастания и убывания функции $y = f(x)$:

1) $f(x) = xe^{3x}$;

2) $f(x) = 3x \cdot e^x$;

3) $f(x) = x^2 e^x$;

4) $f(x) = x \cdot e^{2x}$.

Для нахождения промежутков возрастания и убывания функции $y=f(x)$ необходимо исследовать знак ее производной $f'(x)$. Если $f'(x) > 0$ на некотором интервале, то функция на этом интервале возрастает. Если $f'(x) < 0$, то функция убывает.

1) Дана производная функции: $f'(x) = xe^{3x}$.

Найдем точки, в которых производная равна нулю или не существует. В данном случае производная определена для всех $x$.$f'(x) = 0 \implies xe^{3x} = 0$.Так как $e^{3x} > 0$ для любого действительного числа $x$, то уравнение равносильно $x = 0$.Точка $x = 0$ разбивает числовую прямую на два интервала: $(-\infty, 0)$ и $(0, +\infty)$.Определим знак производной на каждом интервале:

• При $x \in (-\infty, 0)$, например $x=-1$, имеем $f'(-1) = -1 \cdot e^{-3} = -1/e^3 < 0$. Значит, функция $f(x)$ убывает на промежутке $(-\infty, 0]$.
• При $x \in (0, +\infty)$, например $x=1$, имеем $f'(1) = 1 \cdot e^{3} > 0$. Значит, функция $f(x)$ возрастает на промежутке $[0, +\infty)$.

Ответ: функция возрастает на промежутке $[0, +\infty)$ и убывает на промежутке $(-\infty, 0]$.

2) Дана функция: $f(x) = 3x \cdot e^x$.

Сначала найдем ее производную, используя правило дифференцирования произведения $(uv)' = u'v + uv'$:$f'(x) = (3x)' \cdot e^x + 3x \cdot (e^x)' = 3e^x + 3xe^x = 3e^x(1+x)$.Теперь найдем критические точки, решив уравнение $f'(x)=0$:$3e^x(1+x) = 0$.Так как $3e^x > 0$ для любого $x$, то $1+x = 0$, откуда $x = -1$.Точка $x = -1$ разбивает числовую прямую на два интервала: $(-\infty, -1)$ и $(-1, +\infty)$.Определим знак производной на каждом интервале:

• При $x \in (-\infty, -1)$, например $x=-2$, имеем $f'(-2) = 3e^{-2}(1-2) = -3e^{-2} < 0$. Значит, функция $f(x)$ убывает на промежутке $(-\infty, -1]$.
• При $x \in (-1, +\infty)$, например $x=0$, имеем $f'(0) = 3e^{0}(1+0) = 3 > 0$. Значит, функция $f(x)$ возрастает на промежутке $[-1, +\infty)$.

Ответ: функция возрастает на промежутке $[-1, +\infty)$ и убывает на промежутке $(-\infty, -1]$.

3) Дана производная функции: $f'(x) = x^2 e^x$.

Найдем критические точки из уравнения $f'(x)=0$:$x^2 e^x = 0$.Так как $e^x > 0$ для любого $x$, то $x^2 = 0$, откуда $x=0$.Рассмотрим знак производной. Множитель $e^x$ всегда положителен. Множитель $x^2$ всегда неотрицателен ($x^2 \ge 0$) и равен нулю только при $x=0$.Следовательно, $f'(x) = x^2 e^x \ge 0$ для всех действительных $x$.Поскольку производная функции неотрицательна на всей числовой прямой и обращается в ноль лишь в одной точке, функция $f(x)$ возрастает на всей своей области определения.

Ответ: функция возрастает на всем промежутке $(-\infty, +\infty)$.

4) Дана производная функции: $f'(x) = x \cdot e^{-2x}$.

Найдем критические точки из уравнения $f'(x)=0$:$x \cdot e^{-2x} = 0$.Так как $e^{-2x} > 0$ для любого $x$, то уравнение равносильно $x=0$.Точка $x = 0$ разбивает числовую прямую на два интервала: $(-\infty, 0)$ и $(0, +\infty)$.Знак производной $f'(x)$ определяется знаком множителя $x$.

• При $x \in (-\infty, 0)$, имеем $x < 0$, следовательно $f'(x) < 0$. Функция $f(x)$ убывает на промежутке $(-\infty, 0]$.
• При $x \in (0, +\infty)$, имеем $x > 0$, следовательно $f'(x) > 0$. Функция $f(x)$ возрастает на промежутке $[0, +\infty)$.

Ответ: функция возрастает на промежутке $[0, +\infty)$ и убывает на промежутке $(-\infty, 0]$.