Номер 68, страница 148 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

Постройте график функции $y = f(x)$, используя программу "Живая геометрия", и перечислите ее свойства (68—69):

68. 1) $f(x) = \sqrt{x} + 1;$

2) $f(x) = 3^x + 3;$

3) $f(x) = 4^{x-1} - 1;$

4) $f(x) = |2^x + 2 - 5|.$

1) $f(x) = \sqrt{x+1}$

График функции $y = \sqrt{x+1}$ можно получить из графика базовой функции $y = \sqrt{x}$ путем сдвига влево вдоль оси Ox на 1 единицу. Точка начала графика смещается из (0,0) в (-1,0).

Свойства функции:

1. Область определения: подкоренное выражение должно быть неотрицательным, то есть $x+1 \ge 0$, откуда $x \ge -1$. Таким образом, $D(f) = [-1; +\infty)$.

2. Область значений: так как арифметический квадратный корень принимает только неотрицательные значения, $y \ge 0$. Таким образом, $E(f) = [0; +\infty)$.

3. Нули функции: $f(x) = 0 \implies \sqrt{x+1} = 0 \implies x+1=0 \implies x=-1$.

4. Четность: область определения $D(f) = [-1; +\infty)$ несимметрична относительно начала координат, следовательно, функция не является ни четной, ни нечетной (функция общего вида).

5. Монотонность: функция является строго возрастающей на всей своей области определения, то есть на промежутке $[-1; +\infty)$.

6. Экстремумы: функция имеет точку минимума при $x=-1$. Минимальное значение функции $y_{min} = f(-1) = 0$. Максимального значения нет.

7. Промежутки знакопостоянства: $f(x) > 0$ при $x \in (-1; +\infty)$.

8. Асимптоты: асимптот нет.

Ответ: График функции – ветвь параболы, выходящая из точки $(-1, 0)$ и идущая вправо вверх. Свойства: $D(f)=[-1; +\infty)$; $E(f)=[0; +\infty)$; возрастает на $[-1; +\infty)$; $y_{min}=0$ при $x=-1$; нуль функции $x=-1$; функция общего вида.

2) $f(x) = 3^x + 3$

График функции $y = 3^x + 3$ можно получить из графика базовой показательной функции $y = 3^x$ путем сдвига вверх вдоль оси Oy на 3 единицы. Горизонтальная асимптота $y=0$ для графика $y = 3^x$ смещается в $y=3$.

Свойства функции:

1. Область определения: показательная функция определена для всех действительных чисел, $D(f) = (-\infty; +\infty)$ или $D(f)=\mathbb{R}$.

2. Область значений: так как $3^x > 0$ для любого $x$, то $3^x+3 > 3$. Таким образом, $E(f) = (3; +\infty)$.

3. Нули функции: решим уравнение $3^x + 3 = 0 \implies 3^x = -3$. Уравнение не имеет действительных решений, следовательно, нулей у функции нет.

4. Четность: $f(-x) = 3^{-x}+3 = \frac{1}{3^x} + 3$. Так как $f(-x) \ne f(x)$ и $f(-x) \ne -f(x)$, функция является функцией общего вида.

5. Монотонность: так как основание степени $3>1$, функция $y=3^x$ является строго возрастающей. Следовательно, функция $f(x) = 3^x + 3$ также строго возрастает на всей области определения $(-\infty; +\infty)$.

6. Экстремумы: экстремумов нет.

7. Промежутки знакопостоянства: так как область значений $E(f) = (3; +\infty)$, функция принимает только положительные значения, $f(x)>0$ при всех $x \in \mathbb{R}$.

8. Асимптоты: при $x \to -\infty$, $3^x \to 0$, следовательно $f(x) \to 3$. Прямая $y=3$ — горизонтальная асимптота.

Ответ: График функции – экспонента, смещенная на 3 единицы вверх. Свойства: $D(f)=\mathbb{R}$; $E(f)=(3; +\infty)$; строго возрастает на $\mathbb{R}$; нулей и экстремумов нет; $f(x)>0$ на всей области определения; горизонтальная асимптота $y=3$.

3) $f(x) = 4^{x-1} - 1$

График функции $y = 4^{x-1} - 1$ можно получить из графика базовой показательной функции $y = 4^x$ путем сдвига на 1 единицу вправо вдоль оси Ox и на 1 единицу вниз вдоль оси Oy. Горизонтальная асимптота $y=0$ для графика $y = 4^x$ смещается в $y=-1$.

Свойства функции:

1. Область определения: $D(f) = (-\infty; +\infty)$ или $D(f)=\mathbb{R}$.

2. Область значений: так как $4^{x-1} > 0$, то $4^{x-1}-1 > -1$. Таким образом, $E(f) = (-1; +\infty)$.

3. Нули функции: $4^{x-1} - 1 = 0 \implies 4^{x-1} = 1 \implies 4^{x-1} = 4^0 \implies x-1=0 \implies x=1$.

4. Четность: $f(-x) = 4^{-x-1}-1$. Так как $f(-x) \ne f(x)$ и $f(-x) \ne -f(x)$, функция общего вида.

5. Монотонность: так как основание степени $4>1$, функция строго возрастает на всей области определения $(-\infty; +\infty)$.

6. Экстремумы: экстремумов нет.

7. Промежутки знакопостоянства: $f(x)>0$ при $4^{x-1} - 1 > 0 \implies 4^{x-1} > 1 \implies x-1 > 0 \implies x > 1$. $f(x)<0$ при $x < 1$.

8. Асимптоты: при $x \to -\infty$, $x-1 \to -\infty$, $4^{x-1} \to 0$, следовательно $f(x) \to -1$. Прямая $y=-1$ — горизонтальная асимптота.

Ответ: График функции – экспонента, смещенная на 1 вправо и 1 вниз. Свойства: $D(f)=\mathbb{R}$; $E(f)=(-1; +\infty)$; строго возрастает на $\mathbb{R}$; нуль функции $x=1$; $f(x)>0$ при $x \in (1; +\infty)$, $f(x)<0$ при $x \in (-\infty; 1)$; горизонтальная асимптота $y=-1$.

4) $f(x) = |2^{x+2} - 5|$

Построение графика функции $y = |2^{x+2} - 5|$ выполняется в два этапа:

1. Строим график вспомогательной функции $g(x) = 2^{x+2} - 5$. Это график функции $y=2^x$, сдвинутый на 2 единицы влево по оси Ox и на 5 единиц вниз по оси Oy. Горизонтальная асимптота этого графика $y=-5$.

2. Для получения графика $f(x)$ часть графика $g(x)$, которая лежит ниже оси Ox, симметрично отражается относительно оси Ox. Часть графика, которая лежит выше или на оси Ox, остается без изменений.

Свойства функции:

1. Область определения: $D(f) = (-\infty; +\infty)$ или $D(f)=\mathbb{R}$.

2. Область значений: так как функция является модулем, ее значения неотрицательны. $E(f) = [0; +\infty)$.

3. Нули функции: $f(x) = 0 \iff 2^{x+2} - 5 = 0 \iff 2^{x+2} = 5 \iff x+2 = \log_2 5 \iff x = \log_2 5 - 2$.

4. Четность: $f(-x) = |2^{-x+2}-5|$. Так как $f(-x) \ne f(x)$ и $f(-x) \ne -f(x)$, функция общего вида.

5. Монотонность: функция убывает, когда $2^{x+2}-5 < 0$, то есть при $x < \log_2 5 - 2$. Функция возрастает, когда $2^{x+2}-5 > 0$, то есть при $x > \log_2 5 - 2$. Итак, функция убывает на $(-\infty; \log_2 5 - 2]$ и возрастает на $[\log_2 5 - 2; +\infty)$.

6. Экстремумы: в точке $x = \log_2 5 - 2$ функция достигает своего минимума. $y_{min} = 0$. Максимального значения нет.

7. Промежутки знакопостоянства: $f(x) > 0$ для всех $x \ne \log_2 5 - 2$. $f(x)=0$ при $x = \log_2 5 - 2$.

8. Асимптоты: при $x \to -\infty$, $2^{x+2} \to 0$, тогда $f(x) \to |0-5|=5$. Следовательно, $y=5$ — горизонтальная асимптота при $x \to -\infty$.

Ответ: График функции получается из графика $y=2^{x+2}-5$ отражением его отрицательной части относительно оси Ox. Свойства: $D(f)=\mathbb{R}$; $E(f)=[0; +\infty)$; убывает на $(-\infty; \log_2 5 - 2]$, возрастает на $[\log_2 5 - 2; +\infty)$; точка минимума $(\log_2 5 - 2, 0)$; нуль функции $x = \log_2 5 - 2$; горизонтальная асимптота $y=5$ при $x \to -\infty$.