Номер 78, страница 149 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

78. Используя график функции $y = f(x)$, перечислите ее свойства (рис. 62, 63).

Рис. 62

Рис. 63

Рис. 62

Анализ свойств функции $y = |\log_2 x|$ на основе её графика.

1. Область определения. Логарифмическая функция $ \log_2 x $ определена только для положительных значений аргумента, т.е. $x > 0$. Таким образом, область определения функции $D(f) = (0; +\infty)$.

2. Область значений. Функция представляет собой абсолютную величину (модуль), поэтому её значения всегда неотрицательны. Минимальное значение равно 0. Следовательно, область значений функции $E(f) = [0; +\infty)$.

3. Нули функции. Значение функции равно нулю, когда $|\log_2 x| = 0$, что означает $\log_2 x = 0$. Это уравнение имеет решение $x = 2^0 = 1$. Таким образом, функция имеет один нуль в точке $x = 1$.

4. Четность. Область определения функции, интервал $(0; +\infty)$, не является симметричной относительно нуля. Поэтому функция не является ни четной, ни нечетной (является функцией общего вида).

5. Промежутки знакопостоянства. Функция $y = |\log_2 x|$ всегда неотрицательна. Она равна нулю только в точке $x=1$. Следовательно, $y > 0$ при $x \in (0; 1) \cup (1; +\infty)$.

6. Монотонность. Из графика видно, что функция убывает на промежутке $(0; 1]$ и возрастает на промежутке $[1; +\infty)$.

7. Экстремумы. В точке $x = 1$ функция достигает своего минимума. Точка минимума $x_{min} = 1$, минимальное значение $y_{min} = f(1) = 0$. Это точка глобального минимума. Максимума у функции нет.

8. Асимптоты. Когда $x$ стремится к $0$ справа ($x \to 0+$), $\log_2 x \to -\infty$, и соответственно $|\log_2 x| \to +\infty$. Прямая $x = 0$ (ось ординат) является вертикальной асимптотой.

Ответ: Свойства функции $y = |\log_2 x|$: область определения $D(f) = (0; +\infty)$; область значений $E(f) = [0; +\infty)$; нуль функции $x=1$; функция общего вида; $y>0$ на $(0; 1) \cup (1; +\infty)$; убывает на $(0; 1]$, возрастает на $[1; +\infty)$; точка минимума $(1; 0)$; вертикальная асимптота $x=0$.

Рис. 63

Анализ свойств функции $y = |(\frac{1}{2})^x - 1|$ на основе её графика.

1. Область определения. Показательная функция определена для всех действительных чисел $x$. Следовательно, область определения $D(f) = (-\infty; +\infty)$ или $D(f) = \mathbb{R}$.

2. Область значений. Функция является модулем, поэтому её значения неотрицательны. Минимальное значение равно 0. Область значений $E(f) = [0; +\infty)$.

3. Нули функции. Функция равна нулю, когда $|(\frac{1}{2})^x - 1| = 0$, что означает $(\frac{1}{2})^x = 1$. Это уравнение имеет решение $x = 0$. Нуль функции в точке $x = 0$.

4. Четность. Область определения симметрична относительно нуля. Проверим значение функции в точке $-x$: $f(-x) = |(\frac{1}{2})^{-x} - 1| = |2^x - 1|$. Так как $f(-x) \neq f(x)$ и $f(-x) \neq -f(x)$, функция является функцией общего вида.

5. Промежутки знакопостоянства. Функция $y = |(\frac{1}{2})^x - 1|$ всегда неотрицательна. Она равна нулю только при $x=0$. Следовательно, $y > 0$ при $x \in (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

6. Монотонность. Из графика видно, что функция убывает на промежутке $(-\infty; 0]$ и возрастает на промежутке $[0; +\infty)$.

7. Экстремумы. В точке $x = 0$ функция достигает своего минимума. Точка минимума $x_{min} = 0$, минимальное значение $y_{min} = f(0) = 0$. Это точка глобального минимума. Максимума у функции нет.

8. Асимптоты. При $x \to +\infty$, выражение $(\frac{1}{2})^x \to 0$, тогда $y \to |0-1| = 1$. Прямая $y = 1$ является горизонтальной асимптотой графика при $x \to +\infty$. Вертикальных асимптот нет.

Ответ: Свойства функции $y = |(\frac{1}{2})^x - 1|$: область определения $D(f) = (-\infty; +\infty)$; область значений $E(f) = [0; +\infty)$; нуль функции $x=0$; функция общего вида; $y>0$ на $(-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$; убывает на $(-\infty; 0]$, возрастает на $[0; +\infty)$; точка минимума $(0; 0)$; горизонтальная асимптота $y=1$ (при $x \to +\infty$).