Вопросы, страница 131 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

1. Какие данные можно извлечь из дискретного вариационного ряда?

2. Какие данные можно извлечь из интервального вариационного ряда?

1. Какие данные можно извлечь из дискретного вариационного ряда?

Дискретный вариационный ряд представляет собой таблицу, в которой перечислены конкретные, единичные значения признака (варианты) и соответствующие им частоты (сколько раз каждое значение встречается в выборке). Этот тип ряда используется для признаков, которые могут принимать только определенные, изолированные значения (например, количество детей в семье, оценка на экзамене).

Из дискретного вариационного ряда можно извлечь следующие данные и рассчитать на их основе различные статистические показатели:

1. Варианты ($x_i$): Конкретные значения исследуемого признака, расположенные в порядке возрастания.

2. Частоты ($n_i$): Абсолютное число, показывающее, сколько раз каждая варианта $x_i$ встречается в совокупности. Сумма всех частот равна объему выборки: $N = \sum n_i$.

3. Относительные частоты ($w_i$): Доля каждой варианты в общем объеме выборки. Рассчитывается как отношение частоты к общему объему: $w_i = \frac{n_i}{N}$. Сумма относительных частот всегда равна 1.

4. Накопленные частоты ($S_i$): Сумма частоты данной варианты и всех предыдущих. Показывает, сколько единиц совокупности имеют значение признака, не превышающее текущее значение $x_i$.

5. Показатели центральной тенденции (меры среднего уровня):

- Мода ($Mo$): Варианта, имеющая наибольшую частоту. Это самое распространенное значение в ряду.

- Медиана ($Me$): Значение признака, которое делит упорядоченный ряд на две равные части. Для ее нахождения используют накопленные частоты.

- Среднее арифметическое (взвешенное) ($\bar{x}$): Наиболее распространенная мера центральной тенденции, вычисляемая по формуле: $\bar{x} = \frac{\sum_{i=1}^{k} x_i n_i}{\sum_{i=1}^{k} n_i}$.

6. Показатели вариации (меры рассеяния):

- Размах вариации ($R$): Разница между максимальным и минимальным значениями вариант: $R = x_{max} - x_{min}$.

- Дисперсия ($\sigma^2$): Средний квадрат отклонений вариант от их средней величины. Показывает, насколько в среднем значения отклоняются от среднего. Формула для взвешенной дисперсии: $\sigma^2 = \frac{\sum_{i=1}^{k} (x_i - \bar{x})^2 n_i}{\sum_{i=1}^{k} n_i}$.

- Среднее квадратическое отклонение ($\sigma$): Корень квадратный из дисперсии, выражается в тех же единицах, что и сам признак: $\sigma = \sqrt{\sigma^2}$.

- Коэффициент вариации ($V$): Относительный показатель рассеяния, используемый для сравнения вариации различных признаков: $V = \frac{\sigma}{|\bar{x}|} \cdot 100\%$.

Ответ: Из дискретного вариационного ряда можно извлечь сами значения признака (варианты), их абсолютные и относительные частоты, а также рассчитать накопленные частоты, показатели центральной тенденции (мода, медиана, среднее арифметическое) и показатели вариации (размах, дисперсия, среднее квадратическое отклонение).

2. Какие данные можно извлечь из интервального вариационного ряда?

Интервальный вариационный ряд используется, когда исследуемый признак является непрерывным или число его возможных значений очень велико. В этом случае все множество значений признака разбивается на последовательные, непересекающиеся интервалы, и для каждого интервала подсчитывается частота — количество наблюдений, попавших в него.

Ключевое отличие от дискретного ряда в том, что теряется информация о точных значениях признака внутри каждого интервала. Поэтому многие показатели рассчитываются приблизительно.

Из интервального вариационного ряда можно извлечь и рассчитать:

1. Границы интервалов и их ширина ($h$): Определяют диапазоны значений.

2. Частоты ($n_i$) и относительные частоты ($w_i$) для каждого интервала.

3. Накопленные частоты для каждого интервала.

4. Середины интервалов ($x'_i$): Используются как представительные значения для всех наблюдений в интервале при расчете средних и показателей вариации. $x'_i = \frac{x_{i, min} + x_{i, max}}{2}$.

5. Приблизительные показатели центральной тенденции:

- Модальный интервал: Интервал с наибольшей частотой. Внутри него рассчитывается точное значение моды ($Mo$) по формуле: $Mo = x_{Mo} + h \cdot \frac{n_{Mo} - n_{Mo-1}}{(n_{Mo} - n_{Mo-1}) + (n_{Mo} - n_{Mo+1})}$, где $x_{Mo}$ – нижняя граница модального интервала, $h$ – его ширина, $n_{Mo}$, $n_{Mo-1}$, $n_{Mo+1}$ – частоты модального, предмодального и послемодального интервалов соответственно.

- Медианный интервал: Первый интервал, накопленная частота которого превышает половину объема выборки ($N/2$). Значение медианы ($Me$) рассчитывается по формуле: $Me = x_{Me} + h \cdot \frac{\frac{N}{2} - S_{Me-1}}{n_{Me}}$, где $x_{Me}$ – нижняя граница медианного интервала, $h$ – его ширина, $N$ – объем выборки, $S_{Me-1}$ – накопленная частота предмедианного интервала, $n_{Me}$ – частота медианного интервала.

- Среднее арифметическое ($\bar{x}$): Рассчитывается по серединам интервалов: $\bar{x} = \frac{\sum_{i=1}^{k} x'_i n_i}{\sum_{i=1}^{k} n_i}$.

6. Приблизительные показатели вариации: Также рассчитываются с использованием середин интервалов.

- Дисперсия ($\sigma^2$): $\sigma^2 = \frac{\sum_{i=1}^{k} (x'_i - \bar{x})^2 n_i}{\sum_{i=1}^{k} n_i}$.

- Среднее квадратическое отклонение ($\sigma$): $\sigma = \sqrt{\sigma^2}$.

7. Данные для графического представления: Интервальный ряд является основой для построения гистограммы (столбчатой диаграммы, где высота столбцов пропорциональна частотам) и полигона частот (ломаной линии, соединяющей середины верхних оснований столбцов гистограммы).

Ответ: Из интервального вариационного ряда можно извлечь границы интервалов, их частоты (абсолютные и относительные), накопленные частоты, а также рассчитать приблизительные значения моды, медианы, среднего арифметического, дисперсии и среднего квадратического отклонения. Также эти данные служат основой для построения гистограммы и полигона.