Страница 208, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

32.39. Найдите площадь фигуры, заданной неравенством:

a) $x^2 + y^2 \le 2(|x| + |y|\sqrt{3});$

б) $2(x^2 + y^2) \le |x|\sqrt{3} + |y|.$

a) $x^2 + y^2 \le 2(|x| + |y|\sqrt{3})$

Заданное неравенство описывает фигуру на плоскости $xy$. Заметим, что если точка $(x, y)$ удовлетворяет неравенству, то и точки $(\pm x, \pm y)$ также ему удовлетворяют. Это следует из того, что в неравенство входят $x^2$, $y^2$, $|x|$ и $|y|$, которые являются четными функциями своих аргументов. Таким образом, фигура симметрична относительно обеих координатных осей.

Это свойство симметрии позволяет нам вычислить площадь части фигуры, находящейся в первом координатном квадранте ($x \ge 0, y \ge 0$), а затем умножить полученный результат на 4, чтобы найти общую площадь.

В первом квадранте, где $x \ge 0$ и $y \ge 0$, модули можно раскрыть: $|x| = x$ и $|y| = y$. Неравенство принимает вид:

$x^2 + y^2 \le 2(x + y\sqrt{3})$

Перенесем все члены в левую часть и выделим полные квадраты, чтобы определить геометрическую форму фигуры.

$x^2 - 2x + y^2 - 2y\sqrt{3} \le 0$

$(x^2 - 2x + 1) - 1 + (y^2 - 2y\sqrt{3} + 3) - 3 \le 0$

$(x - 1)^2 + (y - \sqrt{3})^2 \le 4$

$(x - 1)^2 + (y - \sqrt{3})^2 \le 2^2$

Это неравенство описывает круг с центром в точке $C_1(1, \sqrt{3})$ и радиусом $R=2$. Нам нужно найти площадь части этого круга, которая лежит в первом квадранте.

Найдем точки пересечения границы круга (окружности) с осями координат:

• При $x=0$: $(0-1)^2 + (y-\sqrt{3})^2 = 4 \implies 1+(y-\sqrt{3})^2 = 4 \implies (y-\sqrt{3})^2 = 3 \implies y = \sqrt{3} \pm \sqrt{3}$. Точки пересечения с осью $y$: $(0, 0)$ и $(0, 2\sqrt{3})$.
• При $y=0$: $(x-1)^2 + (0-\sqrt{3})^2 = 4 \implies (x-1)^2 + 3 = 4 \implies (x-1)^2 = 1 \implies x = 1 \pm 1$. Точки пересечения с осью $x$: $(0, 0)$ и $(2, 0)$.

Окружность проходит через начало координат $O(0,0)$, точку $A(2,0)$ на оси $x$ и точку $B(0, 2\sqrt{3})$ на оси $y$. Поскольку центр круга $C_1(1, \sqrt{3})$ находится в первом квадранте, искомая площадь в этом квадранте ($S_1$) представляет собой область, ограниченную дугой $AB$ и осями координат. Эту площадь можно найти как сумму площади прямоугольного треугольника $OAB$ и площади полукруга, построенного на отрезке $AB$ как на диаметре.

Проверим, что отрезок $AB$ является диаметром. Его длина:$d = \sqrt{(2-0)^2 + (0-2\sqrt{3})^2} = \sqrt{4+12} = \sqrt{16} = 4$.Длина диаметра равна $2R = 2 \cdot 2 = 4$. Следовательно, $AB$ — диаметр.

Площадь прямоугольного треугольника $OAB$:

$S_{\triangle OAB} = \frac{1}{2} \cdot |OA| \cdot |OB| = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 2\sqrt{3} = 2\sqrt{3}$.

Площадь полукруга с радиусом $R=2$:

$S_{полукруга} = \frac{1}{2}\pi R^2 = \frac{1}{2}\pi (2^2) = 2\pi$.

Площадь части фигуры в первом квадранте:

$S_1 = S_{\triangle OAB} + S_{полукруга} = 2\sqrt{3} + 2\pi$.

Общая площадь фигуры равна учетверенной площади $S_1$ из-за симметрии:

$S = 4 \cdot S_1 = 4(2\pi + 2\sqrt{3}) = 8\pi + 8\sqrt{3}$.

Ответ: $8\pi + 8\sqrt{3}$

б) $2(x^2 + y^2) \le |x|\sqrt{3} + |y|$

Как и в предыдущем пункте, эта фигура симметрична относительно обеих координатных осей. Поэтому мы снова можем найти площадь в первом квадранте и умножить ее на 4.

В первом квадранте ($x \ge 0, y \ge 0$) неравенство имеет вид:

$2(x^2 + y^2) \le x\sqrt{3} + y$

Разделим обе части на 2 и преобразуем, выделив полные квадраты:

$x^2 + y^2 \le \frac{\sqrt{3}}{2}x + \frac{1}{2}y$

$x^2 - \frac{\sqrt{3}}{2}x + y^2 - \frac{1}{2}y \le 0$

$(x^2 - \frac{\sqrt{3}}{2}x + (\frac{\sqrt{3}}{4})^2) - (\frac{\sqrt{3}}{4})^2 + (y^2 - \frac{1}{2}y + (\frac{1}{4})^2) - (\frac{1}{4})^2 \le 0$

$(x - \frac{\sqrt{3}}{4})^2 + (y - \frac{1}{4})^2 \le \frac{3}{16} + \frac{1}{16}$

$(x - \frac{\sqrt{3}}{4})^2 + (y - \frac{1}{4})^2 \le \frac{4}{16} = \frac{1}{4} = (\frac{1}{2})^2$

Это неравенство задает круг с центром в точке $C_2(\frac{\sqrt{3}}{4}, \frac{1}{4})$ и радиусом $R=\frac{1}{2}$.

Найдем точки пересечения границы этого круга с осями координат:

• При $x=0$: $(\frac{\sqrt{3}}{4})^2 + (y-\frac{1}{4})^2 = \frac{1}{4} \implies \frac{3}{16}+(y-\frac{1}{4})^2 = \frac{4}{16} \implies (y-\frac{1}{4})^2=\frac{1}{16} \implies y = \frac{1}{4} \pm \frac{1}{4}$. Точки пересечения с осью $y$: $(0,0)$ и $(0, \frac{1}{2})$.
• При $y=0$: $(x-\frac{\sqrt{3}}{4})^2 + (\frac{1}{4})^2 = \frac{1}{4} \implies (x-\frac{\sqrt{3}}{4})^2 = \frac{3}{16} \implies x = \frac{\sqrt{3}}{4} \pm \frac{\sqrt{3}}{4}$. Точки пересечения с осью $x$: $(0,0)$ и $(\frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$.

Окружность проходит через начало координат $O(0,0)$, точку $A(\frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$ и точку $B(0, \frac{1}{2})$. Центр круга $C_2(\frac{\sqrt{3}}{4}, \frac{1}{4})$ находится в первом квадранте. Аналогично предыдущему пункту, площадь в первом квадранте $S_1$ равна сумме площади треугольника $OAB$ и площади полукруга с диаметром $AB$. Длина отрезка $AB$ равна $\sqrt{(\frac{\sqrt{3}}{2})^2 + (\frac{1}{2})^2} = \sqrt{\frac{3}{4}+\frac{1}{4}}=1$, что равно диаметру $2R = 2 \cdot \frac{1}{2}=1$.

Площадь прямоугольного треугольника $OAB$:

$S_{\triangle OAB} = \frac{1}{2} \cdot |OA| \cdot |OB| = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{3}}{8}$.

Площадь полукруга с радиусом $R=\frac{1}{2}$:

$S_{полукруга} = \frac{1}{2}\pi R^2 = \frac{1}{2}\pi (\frac{1}{2})^2 = \frac{\pi}{8}$.

Площадь части фигуры в первом квадранте:

$S_1 = S_{\triangle OAB} + S_{полукруга} = \frac{\sqrt{3}}{8} + \frac{\pi}{8} = \frac{\pi + \sqrt{3}}{8}$.

Общая площадь фигуры:

$S = 4 \cdot S_1 = 4 \cdot \frac{\pi + \sqrt{3}}{8} = \frac{\pi + \sqrt{3}}{2}$.

Ответ: $\frac{\pi + \sqrt{3}}{2}$

32.40. Случайным образом выбирают одно из решений системы

неравенств $ \begin{cases} |x - y| \le 2, \\ |x + y| \le 2. \end{cases} $ Найдите вероятность того, что

выбранная точка расположена:

а) ниже прямой $y = 1$;

б) выше прямой $y = 0,5$;

в) правее прямой $x = 1$;

г) выше параболы $y = x^2$.

В данной задаче используется понятие геометрической вероятности, согласно которому вероятность события равна отношению площади благоприятной области к общей площади. Область, из которой выбирается точка, задана системой неравенств $\begin{cases} |x - y| \le 2 \\ |x + y| \le 2 \end{cases}$. Эта система эквивалентна $\begin{cases} -2 \le x - y \le 2 \\ -2 \le x + y \le 2 \end{cases}$. Данные неравенства определяют на координатной плоскости квадрат, ограниченный прямыми $y = x \pm 2$ и $y = -x \pm 2$. Вершины этого квадрата находятся в точках (2, 0), (0, 2), (-2, 0) и (0, -2). Диагонали квадрата лежат на осях координат, их длина равна 4. Общая площадь области $S_{total}$ равна половине произведения диагоналей: $S_{total} = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 4 = 8$.

а) ниже прямой y = 1
Необходимо найти вероятность того, что для случайно выбранной точки $(x, y)$ выполняется условие $y < 1$. Для этого найдем площадь $S_a$ той части квадрата, которая лежит ниже прямой $y=1$. Проще вычислить площадь части квадрата, лежащей выше или на прямой $y=1$, и вычесть ее из общей площади. Эта область представляет собой треугольник, ограниченный прямыми $y=1$, $y=-x+2$ и $y=x+2$. Вершины этого треугольника — (0, 2), (1, 1) и (-1, 1). Основание треугольника равно $1 - (-1) = 2$, а высота — $2 - 1 = 1$. Площадь этого треугольника (неблагоприятная область) составляет $S_{небл} = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 1 = 1$. Тогда искомая благоприятная площадь $S_a = S_{total} - S_{небл} = 8 - 1 = 7$. Вероятность данного события равна $P_a = \frac{S_a}{S_{total}} = \frac{7}{8}$.
Ответ: $\frac{7}{8}$

б) выше прямой y = 0,5
Необходимо найти вероятность того, что для точки выполняется условие $y > 0,5$. Для этого найдем площадь области, где $y \le 0,5$, и вычтем ее из общей площади. Эта область (неблагоприятная) состоит из двух частей: треугольника с вершинами (0, -2), (2, 0), (-2, 0), площадь которого $S_1 = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 2 = 4$, и трапеции, расположенной между прямыми $y=0$ и $y=0,5$. Вершины этой трапеции — (-2, 0), (2, 0), (1.5, 0.5) и (-1.5, 0.5). Ее основания равны 4 и $1,5 - (-1,5) = 3$, а высота равна 0,5. Площадь трапеции $S_2 = \frac{1}{2}(4+3) \cdot 0,5 = \frac{7}{4} = 1,75$. Общая неблагоприятная площадь $S_{небл} = S_1 + S_2 = 4 + 1,75 = 5,75$. Благоприятная площадь $S_b = S_{total} - S_{небл} = 8 - 5,75 = 2,25 = \frac{9}{4}$. Вероятность события равна $P_b = \frac{S_b}{S_{total}} = \frac{2,25}{8} = \frac{9/4}{8} = \frac{9}{32}$.
Ответ: $\frac{9}{32}$

в) правее прямой x = 1
Необходимо найти вероятность того, что для точки выполняется условие $x > 1$. Благоприятная область — это часть квадрата, лежащая правее прямой $x=1$. Эта область является треугольником, ограниченным прямыми $x=1$, $y=-x+2$ и $y=x-2$. Вершины этого треугольника — (1, 1), (1, -1) и (2, 0). Основание треугольника лежит на прямой $x=1$ и имеет длину $1 - (-1) = 2$. Высота треугольника равна $2 - 1 = 1$. Площадь этой благоприятной области $S_c = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 1 = 1$. Вероятность события равна $P_c = \frac{S_c}{S_{total}} = \frac{1}{8}$.
Ответ: $\frac{1}{8}$

г) выше параболы y = x²
Необходимо найти вероятность того, что для точки выполняется условие $y > x^2$. Благоприятная область $S_d$ ограничена снизу параболой $y=x^2$, а сверху — сторонами квадрата $y=x+2$ (при $x \le 0$) и $y=-x+2$ (при $x \ge 0$). Найдем точки пересечения параболы с границами квадрата: $y=x^2$ и $y=-x+2 \implies x^2+x-2=0 \implies x=1$ (так как $x>0$); $y=x^2$ и $y=x+2 \implies x^2-x-2=0 \implies x=-1$ (так как $x<0$). Точки пересечения: (1, 1) и (-1, 1). Площадь $S_d$ найдем с помощью интеграла. В силу симметрии относительно оси OY, можно вычислить интеграл от 0 до 1 и удвоить результат:$S_d = 2 \int_{0}^{1} ((-x+2) - x^2) dx = 2 \left[ -\frac{x^3}{3} - \frac{x^2}{2} + 2x \right]_0^1 = 2 \left( -\frac{1}{3} - \frac{1}{2} + 2 - 0 \right) = 2 \left( \frac{-2 - 3 + 12}{6} \right) = 2 \left( \frac{7}{6} \right) = \frac{7}{3}$.Вероятность события равна $P_d = \frac{S_d}{S_{total}} = \frac{7/3}{8} = \frac{7}{24}$.
Ответ: $\frac{7}{24}$

•32.41. Решите уравнение:

a) $\sqrt{(x - 2y + 1)^2 + 1} + \sqrt{(3x - y - 2)^2 + 25} = 6;$

б) $\lg (1000 - 9x^2 - 4y^2 + 12xy) + \frac{1}{\pi} \arccos((x + y - 5)^2 - 1) = 4.$

а) Рассмотрим уравнение $\sqrt{(x - 2y + 1)^2 + 1} + \sqrt{(3x - y - 2)^2 + 25} = 6$.

Для решения данного уравнения воспользуемся методом оценки. Оценим каждое слагаемое в левой части уравнения.

Первое слагаемое: $\sqrt{(x - 2y + 1)^2 + 1}$. Так как квадрат любого действительного числа неотрицателен, то есть $(x - 2y + 1)^2 \ge 0$. Отсюда следует, что подкоренное выражение $(x - 2y + 1)^2 + 1 \ge 1$. Тогда само слагаемое $\sqrt{(x - 2y + 1)^2 + 1} \ge \sqrt{1} = 1$. Наименьшее значение, равное 1, достигается при условии $x - 2y + 1 = 0$.

Второе слагаемое: $\sqrt{(3x - y - 2)^2 + 25}$. Аналогично, $(3x - y - 2)^2 \ge 0$. Отсюда следует, что подкоренное выражение $(3x - y - 2)^2 + 25 \ge 25$. Тогда само слагаемое $\sqrt{(3x - y - 2)^2 + 25} \ge \sqrt{25} = 5$. Наименьшее значение, равное 5, достигается при условии $3x - y - 2 = 0$.

Сумма левой части уравнения не может быть меньше, чем сумма минимальных значений каждого слагаемого. Таким образом, $\sqrt{(x - 2y + 1)^2 + 1} + \sqrt{(3x - y - 2)^2 + 25} \ge 1 + 5 = 6$.

Из условия задачи известно, что сумма равна 6. Равенство возможно только в том случае, когда оба слагаемых одновременно принимают свои наименьшие значения. Это условие эквивалентно системе уравнений:

$\begin{cases} x - 2y + 1 = 0 \\ 3x - y - 2 = 0 \end{cases}$

Решим эту систему. Из второго уравнения выразим $y$: $y = 3x - 2$.

Подставим полученное выражение для $y$ в первое уравнение:

$x - 2(3x - 2) + 1 = 0$

$x - 6x + 4 + 1 = 0$

$-5x + 5 = 0$

$5x = 5$

$x = 1$

Теперь найдем соответствующее значение $y$: $y = 3(1) - 2 = 3 - 2 = 1$.

Следовательно, решением уравнения является пара чисел $(1; 1)$.

Ответ: $(1; 1)$.

б) Рассмотрим уравнение $\lg(1000 - 9x^2 - 4y^2 + 12xy) + \frac{1}{\pi} \arccos(((x + y - 5)^2 - 1)) = 4$.

Для решения этого уравнения также применим метод оценки, проанализировав каждое слагаемое.

Первое слагаемое: $\lg(1000 - 9x^2 - 4y^2 + 12xy)$. Преобразуем выражение в аргументе логарифма, выделив полный квадрат:

$1000 - 9x^2 - 4y^2 + 12xy = 1000 - (9x^2 - 12xy + 4y^2) = 1000 - (3x - 2y)^2$.

Поскольку $(3x - 2y)^2 \ge 0$, максимальное значение аргумента логарифма равно $1000$ и достигается при $3x - 2y = 0$. Соответственно, максимальное значение самого слагаемого равно $\lg(1000) = 3$. Таким образом, мы имеем оценку: $\lg(1000 - (3x - 2y)^2) \le 3$. Для существования логарифма также должно выполняться условие $1000 - (3x - 2y)^2 > 0$.

Второе слагаемое: $\frac{1}{\pi} \arccos(((x + y - 5)^2 - 1))$.

Область значений функции арккосинус — это отрезок $[0, \pi]$. Следовательно, $0 \le \arccos(((x + y - 5)^2 - 1)) \le \pi$. Умножив неравенство на $\frac{1}{\pi}$, получим оценку для второго слагаемого: $0 \le \frac{1}{\pi} \arccos(((x + y - 5)^2 - 1)) \le 1$.

Максимальное значение, равное 1, достигается, когда $\arccos(\dots) = \pi$, что в свою очередь означает, что аргумент арккосинуса равен -1. То есть, $((x + y - 5)^2 - 1) = -1$.

Сумма левой части уравнения не может превышать сумму максимальных значений каждого слагаемого: $\lg(1000 - (3x - 2y)^2) + \frac{1}{\pi} \arccos(((x + y - 5)^2 - 1)) \le 3 + 1 = 4$.

Поскольку по условию сумма равна 4, равенство возможно только тогда, когда оба слагаемых одновременно достигают своих максимальных значений. Это приводит к системе уравнений:

$\begin{cases} \lg(1000 - (3x - 2y)^2) = 3 \\ \frac{1}{\pi} \arccos(((x + y - 5)^2 - 1)) = 1 \end{cases}$

Из первого уравнения следует: $1000 - (3x - 2y)^2 = 10^3 = 1000$, что приводит к $(3x - 2y)^2 = 0$, и, следовательно, $3x - 2y = 0$.

Из второго уравнения следует: $\arccos(((x + y - 5)^2 - 1)) = \pi$, что приводит к $(x + y - 5)^2 - 1 = -1$, откуда $(x + y - 5)^2 = 0$, и, следовательно, $x + y - 5 = 0$.

Получаем систему линейных уравнений:

$\begin{cases} 3x - 2y = 0 \\ x + y = 5 \end{cases}$

Из второго уравнения выразим $y = 5 - x$ и подставим в первое:

$3x - 2(5 - x) = 0$

$3x - 10 + 2x = 0$

$5x = 10$

$x = 2$

Тогда $y = 5 - 2 = 3$.

Решением уравнения является пара чисел $(2; 3)$.

Ответ: $(2; 3)$.

32.42. Решите неравенство

$\log_2 (\cos^2 xy + \cos^{-2} xy) \le \frac{1}{y^2 + 2y + 2}$

Данное неравенство имеет вид:

$$ \log_{2}(\cos^2 xy + \cos^{-2} xy) \le \frac{1}{y^2 + 2y + 2} $$

Для решения задачи оценим левую и правую части неравенства по отдельности.

Оценка левой части неравенства

Рассмотрим выражение, стоящее под знаком логарифма: $ \cos^2 xy + \cos^{-2} xy $. Отметим, что $ \cos^{-2} xy $ это то же самое, что и $ \frac{1}{\cos^2 xy} $. Это выражение определено, только если $ \cos(xy) \neq 0 $, что эквивалентно $ \cos^2 xy > 0 $.

Пусть $ a = \cos^2 xy $. Учитывая, что $ 0 \le \cos^2 t \le 1 $ для любого $ t $, и наше условие $ \cos^2 xy \neq 0 $, получаем $ 0 < a \le 1 $.

Аргумент логарифма принимает вид $ a + \frac{1}{a} $. Воспользуемся неравенством о средних для двух положительных чисел $ a $ и $ \frac{1}{a} $ (неравенство Коши):

$$ a + \frac{1}{a} \ge 2\sqrt{a \cdot \frac{1}{a}} = 2 $$

Равенство в этом неравенстве достигается тогда и только тогда, когда $ a = \frac{1}{a} $, что означает $ a^2 = 1 $. Так как $ a > 0 $, то $ a=1 $.Таким образом, мы установили, что $ \cos^2 xy + \cos^{-2} xy \ge 2 $.

Логарифмическая функция с основанием $ 2 > 1 $ является возрастающей. Поэтому, применяя логарифм к обеим частям полученного неравенства, имеем:

$$ \log_{2}(\cos^2 xy + \cos^{-2} xy) \ge \log_2 2 = 1 $$

Следовательно, значение левой части исходного неравенства всегда не меньше 1.

Оценка правой части неравенства

Рассмотрим знаменатель дроби в правой части неравенства: $ y^2 + 2y + 2 $. Выделим в нем полный квадрат:

$$ y^2 + 2y + 2 = (y^2 + 2y + 1) + 1 = (y + 1)^2 + 1 $$

Так как квадрат любого действительного числа неотрицателен, $ (y + 1)^2 \ge 0 $. Отсюда следует, что знаменатель $ (y + 1)^2 + 1 \ge 1 $. Минимальное значение знаменателя, равное 1, достигается при $ y = -1 $.

Поскольку знаменатель всегда не меньше 1, для всей дроби справедлива следующая оценка:

$$ \frac{1}{y^2 + 2y + 2} = \frac{1}{(y+1)^2 + 1} \le \frac{1}{1} = 1 $$

Следовательно, значение правой части исходного неравенства всегда не больше 1.

Нахождение решения

Мы получили, что для исходного неравенства $ \text{ЛЧ} \le \text{ПЧ} $ выполняются оценки $ \text{ЛЧ} \ge 1 $ и $ \text{ПЧ} \le 1 $. Такое неравенство может быть верным только в одном случае: когда обе его части равны 1.

$$ \begin{cases} \log_{2}(\cos^2 xy + \cos^{-2} xy) = 1 \\ \frac{1}{y^2 + 2y + 2} = 1 \end{cases} $$

Решим второе уравнение системы:

$$ \frac{1}{y^2 + 2y + 2} = 1 $$

$$ y^2 + 2y + 2 = 1 $$

$$ y^2 + 2y + 1 = 0 $$

$$ (y+1)^2 = 0 $$

$$ y = -1 $$

Теперь решим первое уравнение. Оно обращается в равенство, когда достигается минимальное значение левой части, то есть когда выражение под логарифмом равно 2:

$$ \cos^2 xy + \cos^{-2} xy = 2 $$

Как мы выяснили ранее, это равенство выполняется при $ \cos^2 xy = 1 $, что равносильно $ \cos(xy) = 1 $ или $ \cos(xy) = -1 $. Объединяя эти два случая, получаем:

$$ xy = n\pi, \quad \text{где } n \in \mathbb{Z} $$

Подставим в это уравнение найденное значение $ y = -1 $:

$$ x(-1) = n\pi $$

$$ x = -n\pi, \quad \text{где } n \in \mathbb{Z} $$

Множество значений $ \{-n\pi\} $ для всех целых $ n $ совпадает с множеством $ \{k\pi\} $ для всех целых $ k $. Поэтому решение для $ x $ можно записать как $ x = k\pi $, где $ k $ — любое целое число.

Решениями неравенства являются пары $ (x, y) $, для которых $ y = -1 $ и $ x=k\pi $ для любого $ k \in \mathbb{Z} $.

Ответ: $ (k\pi, -1), k \in \mathbb{Z} $.

•32.43. Найдите целочисленные решения неравенства:

а) $5\sqrt{3x - 2y - 4} + 3\sqrt{2x + 3y - 7} \leq 2;$

б) $4\sqrt{2x + 3y} + 3\sqrt{3x + 4y} < 3,5.$

а) В неравенстве $5\sqrt{3x - 2y - 4} + 3\sqrt{2x + 3y - 7} \le 2$ выражения под знаком корня должны быть неотрицательными. Поскольку $x$ и $y$ по условию являются целыми числами, то выражения $A = 3x - 2y - 4$ и $B = 2x + 3y - 7$ также должны быть целыми и неотрицательными, то есть $A \ge 0, B \ge 0$.
Неравенство принимает вид $5\sqrt{A} + 3\sqrt{B} \le 2$.
Левая часть неравенства представляет собой сумму двух неотрицательных слагаемых.
Если предположить, что $A \ge 1$, то $5\sqrt{A} \ge 5\sqrt{1} = 5$. Тогда левая часть $5\sqrt{A} + 3\sqrt{B} \ge 5$, что противоречит условию $\le 2$. Следовательно, $A$ может быть только $0$.
При $A=0$ неравенство принимает вид $3\sqrt{B} \le 2$, или $\sqrt{B} \le \frac{2}{3}$. Возводя в квадрат, получаем $B \le \frac{4}{9}$. Так как $B$ — целое неотрицательное число, единственно возможное значение для $B$ — это $0$.
Таким образом, целочисленные решения неравенства должны удовлетворять системе уравнений: $\begin{cases} 3x - 2y - 4 = 0 \\ 2x + 3y - 7 = 0 \end{cases}$, или $\begin{cases} 3x - 2y = 4 \\ 2x + 3y = 7 \end{cases}$.
Решим эту систему. Умножим первое уравнение на 3, а второе на 2, чтобы исключить $y$: $\begin{cases} 9x - 6y = 12 \\ 4x + 6y = 14 \end{cases}$.
Сложив уравнения, получим $13x = 26$, откуда $x=2$.
Подставив $x=2$ в первое уравнение системы ($3x - 2y = 4$), найдем $y$:
$3(2) - 2y = 4 \implies 6 - 2y = 4 \implies 2y = 2 \implies y=1$.
Единственным целочисленным решением является пара $(2, 1)$. Проверим его: $5\sqrt{3(2)-2(1)-4} + 3\sqrt{2(2)+3(1)-7} = 5\sqrt{0} + 3\sqrt{0} = 0 \le 2$. Неравенство выполняется.
Ответ: $(2, 1)$.

б) В неравенстве $4\sqrt{2x + 3y} + 3\sqrt{3x + 4y} < 3,5$ выражения под знаком корня должны быть неотрицательными. Пусть $C = 2x + 3y$ и $D = 3x + 4y$. Поскольку $x, y$ — целые числа, $C$ и $D$ должны быть целыми и неотрицательными, $C \ge 0, D \ge 0$.
Неравенство принимает вид $4\sqrt{C} + 3\sqrt{D} < 3,5$.
Левая часть является суммой двух неотрицательных слагаемых.
Если предположить, что $C \ge 1$, то $4\sqrt{C} \ge 4\sqrt{1} = 4$. Тогда левая часть $4\sqrt{C} + 3\sqrt{D} \ge 4$, что противоречит условию $< 3,5$. Следовательно, $C$ может быть только $0$.
При $C=0$ неравенство принимает вид $3\sqrt{D} < 3,5$, или $\sqrt{D} < \frac{3,5}{3} = \frac{7}{6}$. Возводя в квадрат, получаем $D < (\frac{7}{6})^2 = \frac{49}{36} \approx 1.36$.
Так как $D$ — целое неотрицательное число, возможные значения для $D$ это $0$ и $1$.
Рассмотрим два случая:
1) $C = 0$ и $D = 0$. Это приводит к системе уравнений: $\begin{cases} 2x + 3y = 0 \\ 3x + 4y = 0 \end{cases}$.
Единственным целым решением этой системы является $x=0, y=0$. Проверка: $4\sqrt{0}+3\sqrt{0} = 0 < 3,5$. Решение $(0,0)$ подходит.
2) $C = 0$ и $D = 1$. Это приводит к системе уравнений: $\begin{cases} 2x + 3y = 0 \\ 3x + 4y = 1 \end{cases}$.
Из первого уравнения $2x = -3y$. Поскольку $x$ и $y$ — целые, решение должно иметь вид $x=3k, y=-2k$ для некоторого целого $k$. Подставим это во второе уравнение: $3(3k) + 4(-2k) = 1 \implies 9k - 8k = 1 \implies k=1$.
При $k=1$ получаем $x=3, y=-2$. Проверка: $4\sqrt{2(3)+3(-2)} + 3\sqrt{3(3)+4(-2)} = 4\sqrt{0} + 3\sqrt{1} = 3 < 3,5$. Решение $(3, -2)$ подходит.
Других целочисленных решений нет, так как мы рассмотрели все возможные значения для $C$ и $D$.
Ответ: $(0, 0)$, $(3, -2)$.

Решите систему уравнений методом подстановки:

33.1. a) $\begin{cases} x + y = 3, \\ x^2 + 2y^2 - xy + 2x - 3y = 3; \end{cases}$

б) $\begin{cases} y = 2 + x, \\ x^3 - y^3 = -8; \end{cases}$

в) $\begin{cases} x + y = 5, \\ x^3 + y^3 = 35; \end{cases}$

г) $\begin{cases} x + 2y = 1, \\ 2x^2 + 3xy - 3y^2 = 6. \end{cases}$

а)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} x + y = 3, \\ x^2 + 2y^2 - xy + 2x - 3y = 3; \end{cases}$

1. Из первого уравнения выразим переменную $y$ через $x$:

$y = 3 - x$

2. Подставим полученное выражение для $y$ во второе уравнение системы:

$x^2 + 2(3 - x)^2 - x(3 - x) + 2x - 3(3 - x) = 3$

3. Раскроем скобки и упростим уравнение:

$x^2 + 2(9 - 6x + x^2) - (3x - x^2) + 2x - (9 - 3x) = 3$

$x^2 + 18 - 12x + 2x^2 - 3x + x^2 + 2x - 9 + 3x = 3$

4. Приведем подобные слагаемые:

$(x^2 + 2x^2 + x^2) + (-12x - 3x + 2x + 3x) + (18 - 9) = 3$

$4x^2 - 10x + 9 = 3$

5. Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение:

$4x^2 - 10x + 6 = 0$

Разделим обе части уравнения на 2 для упрощения:

$2x^2 - 5x + 3 = 0$

6. Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 3 = 25 - 24 = 1$

Найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 + \sqrt{1}}{2 \cdot 2} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 - \sqrt{1}}{2 \cdot 2} = \frac{4}{4} = 1$

7. Теперь найдем соответствующие значения $y$, подставив значения $x$ в выражение $y = 3 - x$:

Если $x_1 = \frac{3}{2}$, то $y_1 = 3 - \frac{3}{2} = \frac{6-3}{2} = \frac{3}{2}$.

Если $x_2 = 1$, то $y_2 = 3 - 1 = 2$.

Ответ: $(\frac{3}{2}, \frac{3}{2})$; $(1, 2)$.

б)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} y = 2 + x, \\ x^3 - y^3 = -8; \end{cases}$

1. В первом уравнении уже выражена переменная $y$. Подставим выражение $y = 2 + x$ во второе уравнение:

$x^3 - (2 + x)^3 = -8$

2. Раскроем куб суммы по формуле $(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$:

$(2 + x)^3 = 2^3 + 3 \cdot 2^2 \cdot x + 3 \cdot 2 \cdot x^2 + x^3 = 8 + 12x + 6x^2 + x^3$

3. Подставим раскрытое выражение в уравнение и упростим:

$x^3 - (8 + 12x + 6x^2 + x^3) = -8$

$x^3 - 8 - 12x - 6x^2 - x^3 = -8$

$-6x^2 - 12x - 8 = -8$

4. Перенесем все члены в одну сторону:

$-6x^2 - 12x = 0$

Разделим уравнение на -6:

$x^2 + 2x = 0$

5. Решим полученное неполное квадратное уравнение, вынеся $x$ за скобки:

$x(x + 2) = 0$

Отсюда получаем два корня:

$x_1 = 0$

$x_2 = -2$

6. Найдем соответствующие значения $y$ по формуле $y = 2 + x$:

Если $x_1 = 0$, то $y_1 = 2 + 0 = 2$.

Если $x_2 = -2$, то $y_2 = 2 + (-2) = 0$.

Ответ: $(0, 2)$; $(-2, 0)$.

в)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} x + y = 5, \\ x^3 + y^3 = 35; \end{cases}$

1. Из первого уравнения выразим $y$:

$y = 5 - x$

2. Подставим это выражение во второе уравнение:

$x^3 + (5 - x)^3 = 35$

3. Раскроем куб разности по формуле $(a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$:

$(5 - x)^3 = 5^3 - 3 \cdot 5^2 \cdot x + 3 \cdot 5 \cdot x^2 - x^3 = 125 - 75x + 15x^2 - x^3$

4. Подставим в уравнение и упростим:

$x^3 + 125 - 75x + 15x^2 - x^3 = 35$

$15x^2 - 75x + 125 = 35$

5. Перенесем все члены в левую часть и приведем подобные:

$15x^2 - 75x + 125 - 35 = 0$

$15x^2 - 75x + 90 = 0$

Разделим обе части на 15:

$x^2 - 5x + 6 = 0$

6. Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 5, а их произведение равно 6. Следовательно, корни $x_1=2$ и $x_2=3$.

Или через разложение на множители: $(x-2)(x-3) = 0$.

$x_1 = 2$

$x_2 = 3$

7. Найдем соответствующие значения $y$ по формуле $y = 5 - x$:

Если $x_1 = 2$, то $y_1 = 5 - 2 = 3$.

Если $x_2 = 3$, то $y_2 = 5 - 3 = 2$.

Ответ: $(2, 3)$; $(3, 2)$.

г)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} x + 2y = 1, \\ 2x^2 + 3xy - 3y^2 = 6. \end{cases}$

1. Из первого уравнения выразим $x$:

$x = 1 - 2y$

2. Подставим это выражение во второе уравнение:

$2(1 - 2y)^2 + 3(1 - 2y)y - 3y^2 = 6$

3. Раскроем скобки и упростим:

$2(1 - 4y + 4y^2) + (3y - 6y^2) - 3y^2 = 6$

$2 - 8y + 8y^2 + 3y - 6y^2 - 3y^2 = 6$

4. Приведем подобные слагаемые:

$(8y^2 - 6y^2 - 3y^2) + (-8y + 3y) + 2 = 6$

$-y^2 - 5y + 2 = 6$

5. Перенесем все члены в одну сторону:

$-y^2 - 5y - 4 = 0$

Умножим уравнение на -1:

$y^2 + 5y + 4 = 0$

6. Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна -5, а произведение 4. Корни $y_1 = -1$ и $y_2 = -4$.

Или через разложение на множители: $(y+1)(y+4) = 0$.

$y_1 = -1$

$y_2 = -4$

7. Найдем соответствующие значения $x$, используя формулу $x = 1 - 2y$:

Если $y_1 = -1$, то $x_1 = 1 - 2(-1) = 1 + 2 = 3$.

Если $y_2 = -4$, то $x_2 = 1 - 2(-4) = 1 + 8 = 9$.

Ответ: $(3, -1)$; $(9, -4)$.