Страница 211, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

33.14. a) $\begin{cases} \frac{x}{y} - xy = -9, \\ 2xy - \frac{3y}{x} = 23; \end{cases}$

б) $\begin{cases} \frac{x + y}{x - y} + \frac{x}{y} = -\frac{5}{6}, \\ \frac{x^2 + xy}{xy - y^2} = \frac{1}{6}. \end{cases}$

Исходная система уравнений:

$\begin{cases} \frac{x}{y} - xy = -9 \\ 2xy - \frac{3y}{x} = 23 \end{cases}$

Область допустимых значений (ОДЗ): $x \neq 0, y \neq 0$.

Для решения системы введем новые переменные. Пусть $a = \frac{x}{y}$ и $b = xy$. Тогда $\frac{y}{x} = \frac{1}{a}$.

Подставив новые переменные в исходную систему, получим:

$\begin{cases} a - b = -9 \\ 2b - \frac{3}{a} = 23 \end{cases}$

Из первого уравнения выразим $b$: $b = a + 9$.

Подставим это выражение во второе уравнение:

$2(a + 9) - \frac{3}{a} = 23$

$2a + 18 - \frac{3}{a} = 23$

$2a - \frac{3}{a} = 5$

Умножим обе части уравнения на $a$ (мы знаем, что $a \neq 0$, так как $x, y \neq 0$):

$2a^2 - 3 = 5a$

$2a^2 - 5a - 3 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение относительно $a$. Дискриминант $D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 25 + 24 = 49 = 7^2$.

Корни уравнения для $a$:

$a_1 = \frac{5 + 7}{2 \cdot 2} = \frac{12}{4} = 3$

$a_2 = \frac{5 - 7}{2 \cdot 2} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}$

Теперь рассмотрим два случая, соответствующие найденным значениям $a$.

Случай 1: $a = 3$.

Находим соответствующее значение $b$: $b = a + 9 = 3 + 9 = 12$.

Возвращаемся к переменным $x$ и $y$:

$\begin{cases} \frac{x}{y} = 3 \\ xy = 12 \end{cases}$

Из первого уравнения получаем $x = 3y$. Подставляем во второе уравнение:

$(3y)y = 12 \implies 3y^2 = 12 \implies y^2 = 4$.

Отсюда $y_1 = 2$ и $y_2 = -2$.

Если $y_1 = 2$, то $x_1 = 3 \cdot 2 = 6$. Получаем решение $(6; 2)$.

Если $y_2 = -2$, то $x_2 = 3 \cdot (-2) = -6$. Получаем решение $(-6; -2)$.

Случай 2: $a = -\frac{1}{2}$.

Находим соответствующее значение $b$: $b = a + 9 = -\frac{1}{2} + 9 = \frac{17}{2}$.

Возвращаемся к переменным $x$ и $y$:

$\begin{cases} \frac{x}{y} = -\frac{1}{2} \\ xy = \frac{17}{2} \end{cases}$

Из первого уравнения получаем $x = -\frac{1}{2}y$. Подставляем во второе уравнение:

$(-\frac{1}{2}y)y = \frac{17}{2} \implies -\frac{1}{2}y^2 = \frac{17}{2} \implies y^2 = -17$.

Данное уравнение не имеет действительных решений, поэтому в этом случае решений для $(x, y)$ нет.

Ответ: $(6; 2), (-6; -2)$.

Исходная система уравнений:

$\begin{cases} \frac{x+y}{x-y} + \frac{x}{y} = -\frac{5}{6} \\ \frac{x^2+xy}{xy-y^2} = \frac{1}{6} \end{cases}$

Область допустимых значений (ОДЗ): $y \neq 0$ и $x-y \neq 0$ (т.е. $x \neq y$).

Преобразуем второе уравнение системы, вынеся общие множители в числителе и знаменателе:

$\frac{x(x+y)}{y(x-y)} = \frac{1}{6}$

Данное выражение можно представить как произведение двух дробей:

$(\frac{x+y}{x-y}) \cdot (\frac{x}{y}) = \frac{1}{6}$

Введем новые переменные: пусть $u = \frac{x+y}{x-y}$ и $v = \frac{x}{y}$.

Система в новых переменных будет выглядеть так:

$\begin{cases} u + v = -\frac{5}{6} \\ u \cdot v = \frac{1}{6} \end{cases}$

По теореме, обратной теореме Виета, $u$ и $v$ являются корнями квадратного уравнения:

$z^2 - (u+v)z + uv = 0$

$z^2 - (-\frac{5}{6})z + \frac{1}{6} = 0$

$z^2 + \frac{5}{6}z + \frac{1}{6} = 0$

Умножим уравнение на 6, чтобы избавиться от знаменателей:

$6z^2 + 5z + 1 = 0$

Найдем корни этого квадратного уравнения. Дискриминант $D = 5^2 - 4 \cdot 6 \cdot 1 = 25 - 24 = 1$.

$z_1 = \frac{-5 - 1}{2 \cdot 6} = \frac{-6}{12} = -\frac{1}{2}$

$z_2 = \frac{-5 + 1}{2 \cdot 6} = \frac{-4}{12} = -\frac{1}{3}$

Следовательно, решениями для пары $(u, v)$ являются $(-\frac{1}{2}, -\frac{1}{3})$ и $(-\frac{1}{3}, -\frac{1}{2})$.

Выразим $u$ через $v$, чтобы проверить зависимость между ними. Разделим числитель и знаменатель в выражении для $u$ на $y$ (это возможно, так как $y \neq 0$):

$u = \frac{x+y}{x-y} = \frac{\frac{x}{y}+1}{\frac{x}{y}-1} = \frac{v+1}{v-1}$

Эта зависимость показывает, что значение $u$ однозначно определяется значением $v$. Таким образом, исходные два уравнения системы не являются независимыми. Решение системы сводится к нахождению таких пар $(x, y)$, для которых отношение $\frac{x}{y}$ равно одному из найденных значений $z_1$ или $z_2$.

Случай 1: $v = \frac{x}{y} = -\frac{1}{2}$.

Это соотношение определяет первую серию решений: все пары $(x,y)$, где $y = -2x$. Условие $x \neq 0$ обеспечивает выполнение ОДЗ ($y \neq 0$ и $x \neq y$). Решения можно записать в виде $(k; -2k)$ для любого действительного $k \neq 0$.

Случай 2: $v = \frac{x}{y} = -\frac{1}{3}$.

Это соотношение определяет вторую серию решений: все пары $(x,y)$, где $y = -3x$. Условие $x \neq 0$ обеспечивает выполнение ОДЗ. Решения можно записать в виде $(k; -3k)$ для любого действительного $k \neq 0$.

Ответ: все пары чисел вида $(k; -2k)$ и $(k; -3k)$, где $k$ — любое действительное число, не равное нулю.

$\begin{cases} 2x^2 + xy - y^2 = 0, \\ y^2 - 3xy = 16; \end{cases}$

б) $\begin{cases} 3x^2 - xy = 10y^2, \\ x^2 - 2xy + y^2 = 4. \end{cases}$

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} 2x^2 + xy - y^2 = 0, \\ y^2 - 3xy = 16; \end{cases} $

Первое уравнение системы $2x^2 + xy - y^2 = 0$ является однородным уравнением второй степени. Разложим его левую часть на множители. Для этого решим его как квадратное уравнение относительно $x$ или $y$. Проще всего представить $xy$ как $2xy - xy$:

$2x^2 + 2xy - xy - y^2 = 0$

$2x(x+y) - y(x+y) = 0$

$(2x-y)(x+y) = 0$

Отсюда получаем два возможных случая:

1) $2x - y = 0 \implies y = 2x$

2) $x + y = 0 \implies y = -x$

Теперь подставим эти выражения для $y$ во второе уравнение системы $y^2 - 3xy = 16$.

Случай 1: $y = 2x$

Подставляем в $y^2 - 3xy = 16$:

$(2x)^2 - 3x(2x) = 16$

$4x^2 - 6x^2 = 16$

$-2x^2 = 16$

$x^2 = -8$

Это уравнение не имеет действительных решений, так как квадрат действительного числа не может быть отрицательным.

Случай 2: $y = -x$

Подставляем в $y^2 - 3xy = 16$:

$(-x)^2 - 3x(-x) = 16$

$x^2 + 3x^2 = 16$

$4x^2 = 16$

$x^2 = 4$

Отсюда получаем два значения для $x$: $x_1 = 2$ и $x_2 = -2$.

Найдем соответствующие значения $y$, используя соотношение $y = -x$:

Если $x_1 = 2$, то $y_1 = -2$.

Если $x_2 = -2$, то $y_2 = -(-2) = 2$.

Таким образом, система имеет два решения.

Ответ: $(2, -2), (-2, 2)$.

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} 3x^2 - xy = 10y^2, \\ x^2 - 2xy + y^2 = 4. \end{cases} $

Преобразуем оба уравнения. Второе уравнение представляет собой формулу квадрата разности:

$x^2 - 2xy + y^2 = (x-y)^2$

Значит, $(x-y)^2 = 4$, откуда следует, что $x-y = 2$ или $x-y = -2$.

Первое уравнение системы $3x^2 - xy - 10y^2 = 0$ является однородным. Заметим, что $y \neq 0$, так как если $y=0$, то из первого уравнения $3x^2=0 \implies x=0$. Но пара $(0,0)$ не удовлетворяет второму уравнению ($0 \neq 4$). Поэтому мы можем разделить первое уравнение на $y^2$:

$3\left(\frac{x}{y}\right)^2 - \frac{x}{y} - 10 = 0$

Сделаем замену $t = \frac{x}{y}$ и решим полученное квадратное уравнение $3t^2 - t - 10 = 0$.

Дискриминант $D = (-1)^2 - 4(3)(-10) = 1 + 120 = 121 = 11^2$.

$t = \frac{1 \pm 11}{6}$

$t_1 = \frac{1+11}{6} = \frac{12}{6} = 2$

$t_2 = \frac{1-11}{6} = \frac{-10}{6} = -\frac{5}{3}$

Возвращаясь к замене, получаем два соотношения между $x$ и $y$:

1) $\frac{x}{y} = 2 \implies x = 2y$

2) $\frac{x}{y} = -\frac{5}{3} \implies x = -\frac{5}{3}y$

Теперь рассмотрим четыре случая, комбинируя полученные соотношения.

Случай 1: $x = 2y$ и $x - y = 2$

Подставим $x=2y$ в $x-y=2$: $2y - y = 2 \implies y = 2$. Тогда $x = 2y = 4$. Получаем решение $(4, 2)$.

Случай 2: $x = 2y$ и $x - y = -2$

Подставим $x=2y$ в $x-y=-2$: $2y - y = -2 \implies y = -2$. Тогда $x = 2y = -4$. Получаем решение $(-4, -2)$.

Случай 3: $x = -\frac{5}{3}y$ и $x - y = 2$

Подставим $x = -\frac{5}{3}y$ в $x-y=2$: $-\frac{5}{3}y - y = 2 \implies -\frac{8}{3}y = 2 \implies y = -\frac{6}{8} = -\frac{3}{4}$.

Тогда $x = -\frac{5}{3}y = -\frac{5}{3}(-\frac{3}{4}) = \frac{5}{4}$. Получаем решение $(\frac{5}{4}, -\frac{3}{4})$.

Случай 4: $x = -\frac{5}{3}y$ и $x - y = -2$

Подставим $x = -\frac{5}{3}y$ в $x-y=-2$: $-\frac{5}{3}y - y = -2 \implies -\frac{8}{3}y = -2 \implies y = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}$.

Тогда $x = -\frac{5}{3}y = -\frac{5}{3}(\frac{3}{4}) = -\frac{5}{4}$. Получаем решение $(-\frac{5}{4}, \frac{3}{4})$.

Таким образом, система имеет четыре решения.

Ответ: $(4, 2), (-4, -2), (\frac{5}{4}, -\frac{3}{4}), (-\frac{5}{4}, \frac{3}{4})$.

33.16. a) $\begin{cases} x^2 + 3xy + y^2 = -1, \\ 2x^2 - 3xy - 3y^2 = -4; \end{cases}$

б) $\begin{cases} x^2 + xy + 4y^2 = 6, \\ 3x^2 + 8y^2 = 14. \end{cases}$

а) Дана система уравнений: $$ \begin{cases} x^2 + 3xy + y^2 = -1, \\ 2x^2 - 3xy - 3y^2 = -4 \end{cases} $$ Это система с однородными левыми частями. Чтобы ее решить, приведем ее к одному однородному уравнению. Для этого избавимся от свободных членов. Умножим первое уравнение на 4, чтобы свободные члены в обоих уравнениях стали равны: $$ 4(x^2 + 3xy + y^2) = 4(-1) \\ 4x^2 + 12xy + 4y^2 = -4 $$ Теперь второе уравнение системы и полученное уравнение имеют равные правые части. Приравняем их левые части: $$ 4x^2 + 12xy + 4y^2 = 2x^2 - 3xy - 3y^2 $$ Перенесем все члены в левую часть и приведем подобные слагаемые: $$ (4x^2 - 2x^2) + (12xy + 3xy) + (4y^2 + 3y^2) = 0 \\ 2x^2 + 15xy + 7y^2 = 0 $$ Мы получили однородное уравнение. Заметим, что $y \ne 0$, так как если $y=0$, то из полученного уравнения следует, что $2x^2=0$, то есть $x=0$. Пара $(0, 0)$ не является решением исходной системы (проверка: $0^2+3 \cdot 0 \cdot 0 + 0^2 = 0 \ne -1$). Разделим однородное уравнение на $y^2$: $$ 2\frac{x^2}{y^2} + 15\frac{xy}{y^2} + 7\frac{y^2}{y^2} = 0 \\ 2\left(\frac{x}{y}\right)^2 + 15\left(\frac{x}{y}\right) + 7 = 0 $$ Сделаем замену $t = \frac{x}{y}$. Получим квадратное уравнение: $$ 2t^2 + 15t + 7 = 0 $$ Найдем его корни через дискриминант: $$ D = 15^2 - 4 \cdot 2 \cdot 7 = 225 - 56 = 169 = 13^2 $$ $$ t_1 = \frac{-15 - 13}{2 \cdot 2} = \frac{-28}{4} = -7 $$ $$ t_2 = \frac{-15 + 13}{2 \cdot 2} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2} $$ Вернемся к замене. Получаем два случая: 1) $\frac{x}{y} = -7$, откуда $x = -7y$. Подставим это выражение в первое уравнение исходной системы: $$ (-7y)^2 + 3(-7y)y + y^2 = -1 \\ 49y^2 - 21y^2 + y^2 = -1 \\ 29y^2 = -1 \\ y^2 = -\frac{1}{29} $$ Это уравнение не имеет действительных решений, так как квадрат числа не может быть отрицательным. 2) $\frac{x}{y} = -\frac{1}{2}$, откуда $y = -2x$. Подставим это выражение в первое уравнение исходной системы: $$ x^2 + 3x(-2x) + (-2x)^2 = -1 \\ x^2 - 6x^2 + 4x^2 = -1 \\ -x^2 = -1 \\ x^2 = 1 $$ Отсюда $x_1 = 1$ и $x_2 = -1$. Найдем соответствующие значения $y$: Если $x_1 = 1$, то $y_1 = -2 \cdot 1 = -2$. Если $x_2 = -1$, то $y_2 = -2 \cdot (-1) = 2$. Таким образом, система имеет два решения: $(1, -2)$ и $(-1, 2)$.
Ответ: $(1, -2), (-1, 2)$.

б) Дана система уравнений: $$ \begin{cases} x^2 + xy + 4y^2 = 6, \\ 3x^2 + 8y^2 = 14 \end{cases} $$ Используем тот же метод, что и в пункте а). Избавимся от свободных членов. Для этого умножим первое уравнение на 7, а второе на 3, чтобы правые части стали равны 42: $$ \begin{cases} 7(x^2 + xy + 4y^2) = 7 \cdot 6 \\ 3(3x^2 + 8y^2) = 3 \cdot 14 \end{cases} \implies \begin{cases} 7x^2 + 7xy + 28y^2 = 42, \\ 9x^2 + 24y^2 = 42 \end{cases} $$ Приравняем левые части уравнений: $$ 7x^2 + 7xy + 28y^2 = 9x^2 + 24y^2 $$ Перенесем все члены в правую часть и приведем подобные: $$ (9x^2 - 7x^2) - 7xy + (24y^2 - 28y^2) = 0 \\ 2x^2 - 7xy - 4y^2 = 0 $$ Получили однородное уравнение. Случай $y=0$ приводит к $x=0$, что не является решением исходной системы ($0 \ne 6$). Поэтому можно разделить уравнение на $y^2$: $$ 2\left(\frac{x}{y}\right)^2 - 7\left(\frac{x}{y}\right) - 4 = 0 $$ Сделаем замену $t = \frac{x}{y}$: $$ 2t^2 - 7t - 4 = 0 $$ Решим квадратное уравнение: $$ D = (-7)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-4) = 49 + 32 = 81 = 9^2 $$ $$ t_1 = \frac{7 + 9}{2 \cdot 2} = \frac{16}{4} = 4 $$ $$ t_2 = \frac{7 - 9}{2 \cdot 2} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2} $$ Рассмотрим два случая: 1) $\frac{x}{y} = 4$, откуда $x = 4y$. Подставим это во второе уравнение исходной системы (оно проще): $$ 3(4y)^2 + 8y^2 = 14 \\ 3(16y^2) + 8y^2 = 14 \\ 48y^2 + 8y^2 = 14 \\ 56y^2 = 14 \\ y^2 = \frac{14}{56} = \frac{1}{4} $$ Отсюда $y_1 = \frac{1}{2}$ и $y_2 = -\frac{1}{2}$. Найдем соответствующие значения $x$: Если $y_1 = \frac{1}{2}$, то $x_1 = 4 \cdot \frac{1}{2} = 2$. Если $y_2 = -\frac{1}{2}$, то $x_2 = 4 \cdot (-\frac{1}{2}) = -2$. Получили два решения: $(2, \frac{1}{2})$ и $(-2, -\frac{1}{2})$. 2) $\frac{x}{y} = -\frac{1}{2}$, откуда $y = -2x$. Подставим во второе уравнение системы: $$ 3x^2 + 8(-2x)^2 = 14 \\ 3x^2 + 8(4x^2) = 14 \\ 3x^2 + 32x^2 = 14 \\ 35x^2 = 14 \\ x^2 = \frac{14}{35} = \frac{2}{5} $$ Отсюда $x_3 = \sqrt{\frac{2}{5}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{10}}{5}$ и $x_4 = -\sqrt{\frac{2}{5}} = -\frac{\sqrt{10}}{5}$. Найдем соответствующие значения $y$: Если $x_3 = \frac{\sqrt{10}}{5}$, то $y_3 = -2 \cdot \frac{\sqrt{10}}{5} = -\frac{2\sqrt{10}}{5}$. Если $x_4 = -\frac{\sqrt{10}}{5}$, то $y_4 = -2 \cdot (-\frac{\sqrt{10}}{5}) = \frac{2\sqrt{10}}{5}$. Получили еще два решения: $(\frac{\sqrt{10}}{5}, -\frac{2\sqrt{10}}{5})$ и $(-\frac{\sqrt{10}}{5}, \frac{2\sqrt{10}}{5})$.
Ответ: $(2, \frac{1}{2})$, $(-2, -\frac{1}{2})$, $(\frac{\sqrt{10}}{5}, -\frac{2\sqrt{10}}{5})$, $(-\frac{\sqrt{10}}{5}, \frac{2\sqrt{10}}{5})$.

33.17. a) $\begin{cases} x - 2xy + y = -17, \\ x^2 + y^2 = 25; \end{cases}$

б) $\begin{cases} x + y + x^2 + y^2 = 18, \\ xy + x^2 + y^2 = 19. \end{cases}$

а)

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} x - 2xy + y = -17 \\ x^2 + y^2 = 25 \end{cases} $$

Эта система является симметрической относительно переменных $x$ и $y$. Для её решения введем новые переменные (замена Виета): $S = x+y$ и $P = xy$.

Выразим уравнения системы через $S$ и $P$.

Первое уравнение: $x+y - 2xy = -17$, что в новых переменных записывается как $S - 2P = -17$.

Второе уравнение: $x^2 + y^2 = 25$. Используя тождество $x^2+y^2 = (x+y)^2 - 2xy$, получаем $S^2 - 2P = 25$.

Теперь решаем систему уравнений относительно $S$ и $P$:

$$ \begin{cases} S - 2P = -17 \\ S^2 - 2P = 25 \end{cases} $$

Из первого уравнения выразим $2P$: $2P = S + 17$.

Подставим это выражение во второе уравнение:

$S^2 - (S + 17) = 25$

$S^2 - S - 17 - 25 = 0$

$S^2 - S - 42 = 0$

Это квадратное уравнение относительно $S$. Найдем его корни по теореме Виета. Корнями являются $S_1 = 7$ и $S_2 = -6$.

Рассмотрим два случая.

Случай 1: $S = 7$.

Найдём $P$ из соотношения $2P = S + 17$: $2P = 7 + 17 = 24$, откуда $P = 12$.

Теперь нам нужно найти $x$ и $y$, зная их сумму и произведение:

$$ \begin{cases} x+y = 7 \\ xy = 12 \end{cases} $$

Согласно обратной теореме Виета, $x$ и $y$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - St + P = 0$:

$t^2 - 7t + 12 = 0$

Корни этого уравнения $t_1 = 3$ и $t_2 = 4$.

Следовательно, получаем две пары решений: $(3, 4)$ и $(4, 3)$.

Случай 2: $S = -6$.

Найдём $P$ из соотношения $2P = S + 17$: $2P = -6 + 17 = 11$, откуда $P = \frac{11}{2}$.

Теперь решаем систему:

$$ \begin{cases} x+y = -6 \\ xy = \frac{11}{2} \end{cases} $$

$x$ и $y$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - St + P = 0$:

$t^2 - (-6)t + \frac{11}{2} = 0$

$t^2 + 6t + \frac{11}{2} = 0$

Умножим на 2, чтобы избавиться от дроби: $2t^2 + 12t + 11 = 0$.

Решим это уравнение с помощью дискриминанта: $D = 12^2 - 4 \cdot 2 \cdot 11 = 144 - 88 = 56$.

Корни уравнения: $t = \frac{-12 \pm \sqrt{56}}{4} = \frac{-12 \pm 2\sqrt{14}}{4} = \frac{-6 \pm \sqrt{14}}{2}$.

Следовательно, получаем еще две пары решений: $(\frac{-6 + \sqrt{14}}{2}, \frac{-6 - \sqrt{14}}{2})$ и $(\frac{-6 - \sqrt{14}}{2}, \frac{-6 + \sqrt{14}}{2})$.

Ответ: $(3, 4); (4, 3); (\frac{-6 + \sqrt{14}}{2}, \frac{-6 - \sqrt{14}}{2}); (\frac{-6 - \sqrt{14}}{2}, \frac{-6 + \sqrt{14}}{2})$.

б)

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} x + y + x^2 + y^2 = 18 \\ xy + x^2 + y^2 = 19 \end{cases} $$

Эта система также является симметрической. Сделаем замену переменных: $S = x+y$ и $P = xy$.

Используем тождество $x^2 + y^2 = (x+y)^2 - 2xy = S^2 - 2P$.

Перепишем систему в новых переменных:

$$ \begin{cases} S + (S^2 - 2P) = 18 \\ P + (S^2 - 2P) = 19 \end{cases} $$

Упростим второе уравнение: $S^2 - P = 19$.

Отсюда выразим $P$: $P = S^2 - 19$.

Подставим это выражение для $P$ в первое уравнение системы:

$S + S^2 - 2(S^2 - 19) = 18$

$S + S^2 - 2S^2 + 38 = 18$

$-S^2 + S + 20 = 0$

Умножим на -1: $S^2 - S - 20 = 0$.

Это квадратное уравнение относительно $S$. Его корни $S_1 = 5$ и $S_2 = -4$.

Рассмотрим два случая.

Случай 1: $S = 5$.

Найдем $P$ из соотношения $P = S^2 - 19$: $P = 5^2 - 19 = 25 - 19 = 6$.

Решаем систему для $x$ и $y$:

$$ \begin{cases} x+y = 5 \\ xy = 6 \end{cases} $$

$x$ и $y$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - 5t + 6 = 0$.

Корни этого уравнения $t_1 = 2$ и $t_2 = 3$.

Получаем две пары решений: $(2, 3)$ и $(3, 2)$.

Случай 2: $S = -4$.

Найдем $P$ из соотношения $P = S^2 - 19$: $P = (-4)^2 - 19 = 16 - 19 = -3$.

Решаем систему для $x$ и $y$:

$$ \begin{cases} x+y = -4 \\ xy = -3 \end{cases} $$

$x$ и $y$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - (-4)t - 3 = 0$, то есть $t^2 + 4t - 3 = 0$.

Решим это уравнение через дискриминант: $D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 16 + 12 = 28$.

Корни уравнения: $t = \frac{-4 \pm \sqrt{28}}{2} = \frac{-4 \pm 2\sqrt{7}}{2} = -2 \pm \sqrt{7}$.

Получаем еще две пары решений: $(-2 + \sqrt{7}, -2 - \sqrt{7})$ и $(-2 - \sqrt{7}, -2 + \sqrt{7})$.

Ответ: $(2, 3); (3, 2); (-2 + \sqrt{7}, -2 - \sqrt{7}); (-2 - \sqrt{7}, -2 + \sqrt{7})$.

33.18. a) $\begin{cases} \frac{x^2}{y} + \frac{y^2}{x} = 12, \\ \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{3}; \end{cases}$

б) $\begin{cases} xy(x + y) = 20, \\ \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{5}{4}. \end{cases}$

a) Область допустимых значений для данной системы уравнений: $x \neq 0$ и $y \neq 0$.

Начнем с преобразования второго уравнения системы: $ \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{x+y}{xy} = \frac{1}{3} $. Из этого следует, что $xy = 3(x+y)$.

Теперь преобразуем первое уравнение, приведя левую часть к общему знаменателю: $ \frac{x^2}{y} + \frac{y^2}{x} = \frac{x^3+y^3}{xy} = 12 $, что дает нам $x^3+y^3 = 12xy$.

Для удобства решения введем замену переменных. Пусть $S = x+y$ и $P = xy$. Используя формулу суммы кубов $x^3+y^3=(x+y)(x^2-xy+y^2)=(x+y)((x+y)^2-3xy)$, мы можем переписать исходную систему в терминах $S$ и $P$:

$ \begin{cases} P = 3S \\ S(S^2-3P) = 12P \end{cases} $

Подставим выражение для $P$ из первого уравнения во второе:

$ S(S^2 - 3(3S)) = 12(3S) $

$ S(S^2 - 9S) = 36S $

$ S^3 - 9S^2 - 36S = 0 $

$ S(S^2 - 9S - 36) = 0 $

Это уравнение имеет три возможных решения для $S$.
Если $S=0$, то $P=3S=0$. Система $x+y=0$ и $xy=0$ приводит к $x=0$ или $y=0$, что противоречит области допустимых значений. Следовательно, $S \neq 0$.

Остается решить квадратное уравнение $S^2 - 9S - 36 = 0$. Используя формулу для корней квадратного уравнения, получаем:$ S = \frac{-(-9) \pm \sqrt{(-9)^2 - 4(1)(-36)}}{2(1)} = \frac{9 \pm \sqrt{81+144}}{2} = \frac{9 \pm \sqrt{225}}{2} = \frac{9 \pm 15}{2} $.Отсюда $S_1 = \frac{9+15}{2} = 12$ и $S_2 = \frac{9-15}{2} = -3$.

Рассмотрим оба случая:

1. Если $S=12$, то $P=3S=36$. Нам нужно найти $x$ и $y$ из системы $\begin{cases} x+y=12 \\ xy=36 \end{cases}$. По теореме Виета, $x$ и $y$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - 12t + 36 = 0$, или $(t-6)^2=0$. Единственный корень $t=6$, значит, $x=6$ и $y=6$.

2. Если $S=-3$, то $P=3S=-9$. Решаем систему $\begin{cases} x+y=-3 \\ xy=-9 \end{cases}$. $x$ и $y$ являются корнями уравнения $t^2 - (-3)t - 9 = 0$, то есть $t^2+3t-9=0$. Корни этого уравнения: $t = \frac{-3 \pm \sqrt{3^2 - 4(1)(-9)}}{2} = \frac{-3 \pm \sqrt{45}}{2} = \frac{-3 \pm 3\sqrt{5}}{2}$. Это дает нам две пары решений.

Ответ: $(6; 6)$, $(\frac{-3+3\sqrt{5}}{2}; \frac{-3-3\sqrt{5}}{2})$, $(\frac{-3-3\sqrt{5}}{2}; \frac{-3+3\sqrt{5}}{2})$.

б) Область допустимых значений: $x \neq 0$ и $y \neq 0$.

Преобразуем второе уравнение: $ \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{x+y}{xy} = \frac{5}{4} $, откуда $4(x+y) = 5xy$.

Введем замену $S=x+y$ и $P=xy$. Система уравнений принимает вид:

$ \begin{cases} PS = 20 \\ 4S = 5P \end{cases} $

Из второго уравнения выразим $S$: $S = \frac{5}{4}P$. Подставим это в первое уравнение:

$ P(\frac{5}{4}P) = 20 $

$ \frac{5}{4}P^2 = 20 $

$ P^2 = 20 \cdot \frac{4}{5} = 16 $

Следовательно, $P=4$ или $P=-4$.

Рассмотрим оба случая:

1. Если $P=4$, то $S=\frac{5}{4}(4) = 5$. Решаем систему $\begin{cases} x+y=5 \\ xy=4 \end{cases}$. По теореме Виета, $x$ и $y$ — корни уравнения $t^2 - 5t + 4 = 0$. Факторизуя, получаем $(t-1)(t-4)=0$, откуда $t_1=1$, $t_2=4$. Это дает две пары решений: $(1; 4)$ и $(4; 1)$.

2. Если $P=-4$, то $S=\frac{5}{4}(-4) = -5$. Решаем систему $\begin{cases} x+y=-5 \\ xy=-4 \end{cases}$. $x$ и $y$ — корни уравнения $t^2 - (-5)t - 4 = 0$, то есть $t^2+5t-4=0$. Найдем корни по формуле: $t = \frac{-5 \pm \sqrt{5^2 - 4(1)(-4)}}{2} = \frac{-5 \pm \sqrt{25+16}}{2} = \frac{-5 \pm \sqrt{41}}{2}$. Это дает еще две пары решений.

Ответ: $(1; 4)$, $(4; 1)$, $(\frac{-5+\sqrt{41}}{2}; \frac{-5-\sqrt{41}}{2})$, $(\frac{-5-\sqrt{41}}{2}; \frac{-5+\sqrt{41}}{2})$.

33.19. a) $\begin{cases} \sqrt{x - y} + \sqrt{x + 3y} = 4, \\ 2x - y = 4; \end{cases}$

б) $\begin{cases} 6x + 2y = 10, \\ \sqrt{2x + y} + \sqrt{6x - 3y} = 2. \end{cases}$

a)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} \sqrt{x - y} + \sqrt{x + 3y} = 4, \\ 2x - y = 4; \end{cases} $

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Подкоренные выражения должны быть неотрицательными:

$x - y \ge 0$

$x + 3y \ge 0$

Из второго уравнения системы выразим y через x:

$y = 2x - 4$

Подставим это выражение в первое уравнение и в неравенства ОДЗ.

Проверка ОДЗ:

1) $x - (2x - 4) \ge 0 \implies x - 2x + 4 \ge 0 \implies -x + 4 \ge 0 \implies x \le 4$.

2) $x + 3(2x - 4) \ge 0 \implies x + 6x - 12 \ge 0 \implies 7x \ge 12 \implies x \ge \frac{12}{7}$.

Таким образом, ОДЗ для переменной x: $\frac{12}{7} \le x \le 4$.

Теперь подставим выражение для y в первое уравнение системы:

$\sqrt{x - (2x - 4)} + \sqrt{x + 3(2x - 4)} = 4$

$\sqrt{4 - x} + \sqrt{7x - 12} = 4$

Это иррациональное уравнение. Чтобы решить его, уединим один из корней и возведем обе части в квадрат:

$\sqrt{7x - 12} = 4 - \sqrt{4 - x}$

Возводим в квадрат:

$(\sqrt{7x - 12})^2 = (4 - \sqrt{4 - x})^2$

$7x - 12 = 16 - 8\sqrt{4 - x} + (4 - x)$

$7x - 12 = 20 - x - 8\sqrt{4 - x}$

Сгруппируем члены и уединим оставшийся корень:

$7x + x - 12 - 20 = -8\sqrt{4 - x}$

$8x - 32 = -8\sqrt{4 - x}$

Разделим обе части уравнения на 8:

$x - 4 = -\sqrt{4 - x}$

Чтобы решить это уравнение, возведем его в квадрат, предварительно заметив, что левая часть должна быть неположительной, так как правая часть неположительна. То есть $x - 4 \le 0 \implies x \le 4$, что соответствует нашей ОДЗ.

$(x - 4)^2 = (-\sqrt{4 - x})^2$

$x^2 - 8x + 16 = 4 - x$

$x^2 - 7x + 12 = 0$

По теореме Виета, корни уравнения $x_1=3$ и $x_2=4$.

Оба корня удовлетворяют условию $x \le 4$ и входят в ОДЗ $\frac{12}{7} \le x \le 4$.

Найдем соответствующие значения y:

1) Если $x = 3$, то $y = 2(3) - 4 = 6 - 4 = 2$. Получаем пару (3, 2).

2) Если $x = 4$, то $y = 2(4) - 4 = 8 - 4 = 4$. Получаем пару (4, 4).

Проведем проверку найденных решений, подставив их в исходную систему.

Для (3, 2):

$\sqrt{3 - 2} + \sqrt{3 + 3(2)} = \sqrt{1} + \sqrt{9} = 1 + 3 = 4$ (верно).

$2(3) - 2 = 6 - 2 = 4$ (верно).

Для (4, 4):

$\sqrt{4 - 4} + \sqrt{4 + 3(4)} = \sqrt{0} + \sqrt{16} = 0 + 4 = 4$ (верно).

$2(4) - 4 = 8 - 4 = 4$ (верно).

Оба решения подходят.

Ответ: (3, 2), (4, 4).

б)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} 6x + 2y = 10, \\ \sqrt{2x + y} + \sqrt{6x - 3y} = 2. \end{cases} $

Упростим первое уравнение, разделив обе его части на 2:

$3x + y = 5$

Отсюда выразим y:

$y = 5 - 3x$

Определим ОДЗ из второго уравнения:

$2x + y \ge 0$

$6x - 3y \ge 0$

Подставим выражение для y в неравенства ОДЗ:

1) $2x + (5 - 3x) \ge 0 \implies 5 - x \ge 0 \implies x \le 5$.

2) $6x - 3(5 - 3x) \ge 0 \implies 6x - 15 + 9x \ge 0 \implies 15x - 15 \ge 0 \implies x \ge 1$.

ОДЗ для x: $1 \le x \le 5$.

Подставим $y = 5 - 3x$ во второе уравнение системы:

$\sqrt{2x + (5 - 3x)} + \sqrt{6x - 3(5 - 3x)} = 2$

$\sqrt{5 - x} + \sqrt{6x - 15 + 9x} = 2$

$\sqrt{5 - x} + \sqrt{15x - 15} = 2$

Введем новые переменные: $a = \sqrt{5 - x}$ и $b = \sqrt{15x - 15}$. Учитывая, что корень арифметический, $a \ge 0$ и $b \ge 0$.

Уравнение принимает вид $a + b = 2$.

Найдем связь между $a$ и $b$ через их квадраты:

$a^2 = 5 - x \implies x = 5 - a^2$

$b^2 = 15x - 15 = 15(x - 1)$

Подставим $x = 5 - a^2$ в выражение для $b^2$:

$b^2 = 15((5 - a^2) - 1) = 15(4 - a^2)$

Получаем систему для a и b:

$ \begin{cases} a + b = 2, \\ b^2 = 15(4 - a^2). \end{cases} $

Из первого уравнения $b = 2 - a$. Так как $b \ge 0$, то $2 - a \ge 0$, то есть $a \le 2$. С учетом $a \ge 0$, имеем $0 \le a \le 2$.

Подставим $b = 2 - a$ во второе уравнение:

$(2 - a)^2 = 15(4 - a^2)$

$4 - 4a + a^2 = 60 - 15a^2$

$16a^2 - 4a - 56 = 0$

Разделим на 4: $4a^2 - a - 14 = 0$.

Решим это квадратное уравнение относительно a. Дискриминант $D = (-1)^2 - 4(4)(-14) = 1 + 224 = 225$.

$a = \frac{1 \pm \sqrt{225}}{8} = \frac{1 \pm 15}{8}$

Получаем два корня: $a_1 = \frac{1 + 15}{8} = 2$ и $a_2 = \frac{1 - 15}{8} = -\frac{7}{4}$.

Так как $a \ge 0$, корень $a_2 = -7/4$ является посторонним. Остается $a = 2$.

Вернемся к переменной x:

$\sqrt{5 - x} = 2$

$5 - x = 4 \implies x = 1$.

Это значение входит в ОДЗ $1 \le x \le 5$.

Найдем y: $y = 5 - 3x = 5 - 3(1) = 2$.

Проверим решение (1, 2) в исходной системе:

$6(1) + 2(2) = 6 + 4 = 10$ (верно).

$\sqrt{2(1) + 2} + \sqrt{6(1) - 3(2)} = \sqrt{4} + \sqrt{0} = 2 + 0 = 2$ (верно).

Решение единственное.

Ответ: (1, 2).

33.20. a) $\begin{cases} \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{y} = 5, \\ xy = 216; \end{cases}$

б) $\begin{cases} \sqrt[4]{x} - \sqrt[4]{y} = 1, \\ \sqrt{xy} = 4. \end{cases}$

а)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{y} = 5, \\ xy = 216 \end{cases}$

Введем замену переменных. Пусть $u = \sqrt[3]{x}$ и $v = \sqrt[3]{y}$. Тогда $x = u^3$ и $y = v^3$.

Подставим эти выражения в систему, она примет вид:

$\begin{cases} u + v = 5, \\ u^3 v^3 = 216 \end{cases}$

Упростим второе уравнение:

$(uv)^3 = 216$

Извлекая кубический корень из обеих частей, получаем:

$uv = \sqrt[3]{216}$

$uv = 6$

Теперь у нас есть новая, более простая система для $u$ и $v$:

$\begin{cases} u + v = 5, \\ uv = 6 \end{cases}$

Согласно обратной теореме Виета, $u$ и $v$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - (u+v)t + uv = 0$, то есть $t^2 - 5t + 6 = 0$.

Решим это уравнение. Можно разложить на множители: $(t-2)(t-3) = 0$.

Корни уравнения: $t_1 = 2$ и $t_2 = 3$.

Это дает нам два возможных набора значений для $u$ и $v$:

1) $u = 2, v = 3$

2) $u = 3, v = 2$

Теперь вернемся к исходным переменным $x$ и $y$.

Случай 1: $u = 2, v = 3$.

$x = u^3 = 2^3 = 8$

$y = v^3 = 3^3 = 27$

Получаем решение $(8, 27)$.

Случай 2: $u = 3, v = 2$.

$x = u^3 = 3^3 = 27$

$y = v^3 = 2^3 = 8$

Получаем решение $(27, 8)$.

Оба решения удовлетворяют исходной системе.

Ответ: $(8, 27), (27, 8)$.

б)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} \sqrt[4]{x} - \sqrt[4]{y} = 1, \\ \sqrt{xy} = 4 \end{cases}$

Прежде всего, определим область допустимых значений (ОДЗ). Поскольку мы имеем дело с корнями четной степени, должно выполняться $x \ge 0$ и $y \ge 0$.

Из второго уравнения, возведя обе части в квадрат, получаем:

$xy = 4^2 = 16$

Введем замену переменных. Пусть $u = \sqrt[4]{x}$ и $v = \sqrt[4]{y}$. Учитывая ОДЗ, $u \ge 0$ и $v \ge 0$.

Тогда $x = u^4$ и $y = v^4$.

Подставим эти выражения в систему:

$\begin{cases} u - v = 1, \\ \sqrt{u^4 v^4} = 4 \end{cases}$

Упростим второе уравнение:

$\sqrt{(uv)^4} = 4$

$(uv)^2 = 16$

Так как $u \ge 0$ и $v \ge 0$, то $uv \ge 0$. Поэтому, извлекая квадратный корень, получаем:

$uv = 4$

Ой, извините, ошибка в рассуждениях. Давайте вернемся к уравнению $xy=16$.

$u^4 v^4 = 16 \implies (uv)^4 = 16$.

Так как $u \ge 0$ и $v \ge 0$, то $uv \ge 0$. Извлекая корень четвертой степени, получаем:

$uv = \sqrt[4]{16} = 2$.

Теперь решаем систему для $u$ и $v$:

$\begin{cases} u - v = 1, \\ uv = 2 \end{cases}$

Из первого уравнения выразим $u$: $u = v + 1$.

Подставим это во второе уравнение:

$(v + 1)v = 2$

$v^2 + v - 2 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Его можно разложить на множители: $(v+2)(v-1)=0$.

Корни: $v_1 = -2$ и $v_2 = 1$.

Поскольку мы определили, что $v = \sqrt[4]{y} \ge 0$, корень $v = -2$ является посторонним.

Следовательно, единственное подходящее значение $v = 1$.

Теперь найдем $u$:

$u = v + 1 = 1 + 1 = 2$.

Значение $u=2$ удовлетворяет условию $u \ge 0$.

Вернемся к исходным переменным $x$ и $y$:

$x = u^4 = 2^4 = 16$

$y = v^4 = 1^4 = 1$

Проверим найденное решение $(16, 1)$ в исходной системе:

$\sqrt[4]{16} - \sqrt[4]{1} = 2 - 1 = 1$ (верно)

$\sqrt{16 \cdot 1} = \sqrt{16} = 4$ (верно)

Ответ: $(16, 1)$.