Страница 213, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

Решите систему уравнений:

33.26. a) $\begin{cases} 2x + 3y = 12, \\ \log_6^2 xy + 1 = 2 \log_6 xy; \end{cases}$

б) $\begin{cases} 3 \log_{\frac{1}{2}} x + 2^{y+1} = 5, \\ 2^y + \log_2 x = 5; \end{cases}$

в) $\begin{cases} 3\sqrt[3]{x} + y = \log_2 16x^2, \\ \log_2 x^2 + 2\sqrt[3]{x} + y = 6; \end{cases}$

г) $\begin{cases} 3^{x-y} - 7|2y - x| = 2, \\ |2y - x| - 3^{x-y-1} = -2. \end{cases}$

Данная система уравнений: $$ \begin{cases} 2x + 3y = 12 \\ \log_6^2 xy + 1 = 2 \log_6 xy \end{cases} $$ Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Для существования логарифма необходимо, чтобы его аргумент был положителен: $xy > 0$. Это означает, что $x$ и $y$ должны быть одного знака (оба положительны или оба отрицательны). Из первого уравнения $2x + 3y = 12$. Если предположить, что $x < 0$ и $y < 0$, то $2x < 0$ и $3y < 0$, и их сумма $2x + 3y$ также будет отрицательной, что противоречит равенству 12. Следовательно, $x > 0$ и $y > 0$.

Рассмотрим второе уравнение. Сделаем замену $t = \log_6 xy$. Уравнение примет вид: $t^2 + 1 = 2t$ $t^2 - 2t + 1 = 0$ $(t - 1)^2 = 0$ Отсюда $t = 1$.

Возвращаемся к исходной переменной: $\log_6 xy = 1$ $xy = 6^1$ $xy = 6$

Теперь система уравнений стала проще: $$ \begin{cases} 2x + 3y = 12 \\ xy = 6 \end{cases} $$ Из второго уравнения выразим $y = \frac{6}{x}$ (мы знаем, что $x \ne 0$) и подставим в первое: $2x + 3 \left( \frac{6}{x} \right) = 12$ $2x + \frac{18}{x} = 12$ Умножим обе части на $x$: $2x^2 + 18 = 12x$ $2x^2 - 12x + 18 = 0$ Разделим на 2: $x^2 - 6x + 9 = 0$ $(x - 3)^2 = 0$ $x = 3$.

Теперь найдем $y$: $y = \frac{6}{x} = \frac{6}{3} = 2$. Полученное решение $(3, 2)$ удовлетворяет ОДЗ ($x>0, y>0$).

Ответ: $(3, 2)$.

Данная система уравнений: $$ \begin{cases} 3 \log_{1/2} x + 2^{y+1} = 5 \\ 2^y + \log_2 x = 5 \end{cases} $$ ОДЗ: $x > 0$. Упростим первое уравнение, используя свойство логарифма $\log_{a^k} b = \frac{1}{k} \log_a b$: $\log_{1/2} x = \log_{2^{-1}} x = -1 \cdot \log_2 x = -\log_2 x$. Также $2^{y+1} = 2 \cdot 2^y$. Первое уравнение принимает вид: $-3 \log_2 x + 2 \cdot 2^y = 5$.

Сделаем замену переменных. Пусть $a = \log_2 x$ и $b = 2^y$. Так как $y$ может быть любым действительным числом, $b > 0$. Система примет вид: $$ \begin{cases} -3a + 2b = 5 \\ a + b = 5 \end{cases} $$ Из второго уравнения выразим $a = 5 - b$ и подставим в первое: $-3(5 - b) + 2b = 5$ $-15 + 3b + 2b = 5$ $5b = 20$ $b = 4$.

Теперь найдем $a$: $a = 5 - b = 5 - 4 = 1$. Возвращаемся к исходным переменным: $\log_2 x = a \implies \log_2 x = 1 \implies x = 2^1 = 2$. $2^y = b \implies 2^y = 4 \implies 2^y = 2^2 \implies y = 2$. Решение $(2, 2)$ удовлетворяет ОДЗ ($x>0$).

Ответ: $(2, 2)$.

Данная система уравнений: $$ \begin{cases} 3\sqrt[3]{x} + y = \log_2 16x^2 \\ \log_2 x^2 + 2\sqrt[3]{x} + y = 6 \end{cases} $$ ОДЗ: Аргумент логарифма должен быть положителен: $x^2 > 0$, что означает $x \ne 0$. Упростим логарифмическое выражение в первом уравнении, используя свойства логарифма: $\log_2 16x^2 = \log_2 16 + \log_2 x^2 = 4 + \log_2 x^2$. Система принимает вид: $$ \begin{cases} 3\sqrt[3]{x} + y = 4 + \log_2 x^2 \\ \log_2 x^2 + 2\sqrt[3]{x} + y = 6 \end{cases} $$

Для решения системы вычтем первое уравнение из второго: $(\log_2 x^2 + 2\sqrt[3]{x} + y) - (3\sqrt[3]{x} + y) = 6 - (4 + \log_2 x^2)$ $\log_2 x^2 - \sqrt[3]{x} = 2 - \log_2 x^2$ $2\log_2 x^2 - \sqrt[3]{x} = 2$ Используя свойство $\log_a b^c = c \log_a |b|$, получаем: $2 \cdot (2 \log_2|x|) - \sqrt[3]{x} = 2$ $4\log_2|x| - \sqrt[3]{x} = 2$

Мы получили трансцендентное уравнение для нахождения $x$. Такое уравнение не имеет простых целых или рациональных решений, и его корни могут быть найдены только с помощью численных методов. Тем не менее, мы можем выразить $y$ через $x$. Из второго уравнения исходной системы: $y = 6 - 2\sqrt[3]{x} - \log_2 x^2$. Из полученного нами уравнения $2\log_2 x^2 - \sqrt[3]{x} = 2$ выразим $\log_2 x^2 = 1 + \frac{1}{2}\sqrt[3]{x}$. Подставим это выражение для $\log_2 x^2$ в формулу для $y$: $y = 6 - 2\sqrt[3]{x} - \left(1 + \frac{1}{2}\sqrt[3]{x}\right) = 5 - \frac{5}{2}\sqrt[3]{x}$.

Ответ: Решениями системы являются пары $(x, y)$, где $x$ является корнем уравнения $4\log_2|x| - \sqrt[3]{x} = 2$, а $y = 5 - \frac{5}{2}\sqrt[3]{x}$.

Данная система уравнений: $$ \begin{cases} 3^{x-y} - 7|2y-x| = 2 \\ |2y-x| - 3^{x-y-1} = -2 \end{cases} $$ Сделаем замену переменных. Пусть $a = 3^{x-y}$ и $b = |2y-x|$. Заметим, что $a > 0$ и $b \ge 0$. Также преобразуем $3^{x-y-1} = 3^{x-y} \cdot 3^{-1} = \frac{1}{3} a$. Система в новых переменных: $$ \begin{cases} a - 7b = 2 \\ b - \frac{a}{3} = -2 \end{cases} $$

Решим эту линейную систему. Из второго уравнения выразим $b = \frac{a}{3} - 2$. Подставим в первое уравнение: $a - 7\left(\frac{a}{3} - 2\right) = 2$ $a - \frac{7a}{3} + 14 = 2$ Умножим на 3, чтобы избавиться от дроби: $3a - 7a + 42 = 6$ $-4a = -36$ $a = 9$.

Найдем $b$: $b = \frac{a}{3} - 2 = \frac{9}{3} - 2 = 3 - 2 = 1$. Значения $a=9$ и $b=1$ удовлетворяют условиям $a>0, b \ge 0$.

Теперь вернемся к исходным переменным $x$ и $y$: $a = 3^{x-y} = 9 \implies 3^{x-y} = 3^2 \implies x - y = 2$. $b = |2y-x| = 1$. Из первого полученного уравнения $x = y+2$. Подставим это во второе уравнение: $|2y - (y+2)| = 1$ $|y - 2| = 1$.

Это уравнение с модулем распадается на два случая: 1) $y - 2 = 1 \implies y = 3$. Тогда $x = y+2 = 3+2 = 5$. Получаем решение $(5, 3)$. 2) $y - 2 = -1 \implies y = 1$. Тогда $x = y+2 = 1+2 = 3$. Получаем решение $(3, 1)$. Оба решения являются верными.

Ответ: $(5, 3)$, $(3, 1)$.

33.27. a) $ \begin{cases} 2^{6x-2y} = 4^{x+y+10}, \\ 3^{x^2} = 3^{11+y}; \end{cases} $

б) $ \begin{cases} \frac{343^y}{7^{x-y}} = 49, \\ \frac{5^x}{25^{x-y}} = 1. \end{cases} $

а)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} 2^{6x-2y} = 4^{x+y+10} \\ 3^{x^2} = 3^{11+y} \end{cases} $

Преобразуем первое уравнение, приведя обе стороны к основанию 2, так как $4 = 2^2$:

$2^{6x-2y} = (2^2)^{x+y+10}$

$2^{6x-2y} = 2^{2(x+y+10)}$

$2^{6x-2y} = 2^{2x+2y+20}$

Так как основания степеней равны, приравниваем их показатели:

$6x - 2y = 2x + 2y + 20$

$6x - 2x - 2y - 2y = 20$

$4x - 4y = 20$

Разделим обе части на 4:

$x - y = 5$

Теперь рассмотрим второе уравнение. Основания степеней уже равны (3), поэтому приравниваем показатели:

$x^2 = 11 + y$

Теперь у нас есть система из двух более простых уравнений:

$ \begin{cases} x - y = 5 \\ x^2 = 11 + y \end{cases} $

Из первого уравнения выразим $y$ через $x$:

$y = x - 5$

Подставим это выражение для $y$ во второе уравнение:

$x^2 = 11 + (x - 5)$

$x^2 = x + 6$

Получили квадратное уравнение. Перенесем все члены в левую часть:

$x^2 - x - 6 = 0$

Решим его. Можно использовать теорему Виета или формулу для корней. По теореме Виета, сумма корней равна 1, а произведение равно -6. Корнями являются $x_1=3$ и $x_2=-2$.

Теперь найдем соответствующие значения $y$ для каждого корня $x$:

1. Если $x_1 = 3$, то $y_1 = x_1 - 5 = 3 - 5 = -2$.

2. Если $x_2 = -2$, то $y_2 = x_2 - 5 = -2 - 5 = -7$.

Таким образом, система имеет два решения.

Ответ: $(3; -2)$, $(-2; -7)$.

б)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} \frac{343^{\frac{x}{y}}}{7^{x-y}} = 49 \\ \frac{5^{\frac{x}{y}}}{25^{x-y}} = 1 \end{cases} $

Преобразуем первое уравнение. Заметим, что $343 = 7^3$ и $49 = 7^2$. Приведем все к основанию 7:

$\frac{(7^3)^{\frac{x}{y}}}{7^{x-y}} = 7^2$

$\frac{7^{\frac{3x}{y}}}{7^{x-y}} = 7^2$

По свойству степеней $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:

$7^{\frac{3x}{y} - (x-y)} = 7^2$

Приравниваем показатели:

$\frac{3x}{y} - (x-y) = 2$

Теперь преобразуем второе уравнение. Заметим, что $25 = 5^2$ и $1 = 5^0$. Приведем все к основанию 5:

$\frac{5^{\frac{x}{y}}}{(5^2)^{x-y}} = 5^0$

$\frac{5^{\frac{x}{y}}}{5^{2(x-y)}} = 5^0$

$5^{\frac{x}{y} - 2(x-y)} = 5^0$

Приравниваем показатели:

$\frac{x}{y} - 2(x-y) = 0$

Для упрощения решения введем замену: пусть $A = \frac{x}{y}$ и $B = x-y$. Тогда система уравнений примет вид:

$ \begin{cases} 3A - B = 2 \\ A - 2B = 0 \end{cases} $

Из второго уравнения выразим $A$: $A = 2B$.

Подставим это выражение в первое уравнение:

$3(2B) - B = 2$

$6B - B = 2$

$5B = 2$

$B = \frac{2}{5}$

Теперь найдем $A$:

$A = 2B = 2 \cdot \frac{2}{5} = \frac{4}{5}$

Вернемся к исходным переменным $x$ и $y$:

$ \begin{cases} \frac{x}{y} = \frac{4}{5} \\ x - y = \frac{2}{5} \end{cases} $

Из первого уравнения выразим $x$: $x = \frac{4}{5}y$.

Подставим это во второе уравнение:

$\frac{4}{5}y - y = \frac{2}{5}$

$-\frac{1}{5}y = \frac{2}{5}$

Умножим обе части на -5:

$y = -2$

Теперь найдем $x$:

$x = \frac{4}{5}y = \frac{4}{5} \cdot (-2) = -\frac{8}{5}$

Проверим, что $y \neq 0$, что требуется по условию (деление на $y$ в показателе степени). Условие выполняется, так как $y=-2$.

Ответ: $(-\frac{8}{5}; -2)$.

33.28. a) $\begin{cases}5^{\sqrt[3]{x}} = 5^{3 - \sqrt[3]{y}}, \\(0,25^x)^y = \frac{1}{2^{16}};\end{cases}$

б) $\begin{cases}32^{\sqrt[3]{x-2y}} \cdot 8^{\sqrt[3]{x+y}} = 2^{13}, \\\frac{8^{\sqrt[3]{x-2y}}}{16^{\sqrt[3]{x+y}}} = 4.\end{cases}$

Рассмотрим данную систему уравнений:
$ \begin{cases} 5^{\sqrt[3]{x}} = 5^{3-\sqrt[3]{y}} \\ (0,25^x)^y = \frac{1}{2^{16}} \end{cases} $
Преобразуем первое уравнение. Так как основания степеней равны, то можем приравнять их показатели:
$\sqrt[3]{x} = 3 - \sqrt[3]{y}$
$\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{y} = 3$
Теперь преобразуем второе уравнение. Представим 0,25 в виде степени с основанием 2: $0,25 = \frac{1}{4} = \frac{1}{2^2} = 2^{-2}$.
$((2^{-2})^x)^y = \frac{1}{2^{16}}$
$2^{-2xy} = 2^{-16}$
Приравниваем показатели степеней:
$-2xy = -16$
$xy = 8$
В итоге мы получили новую, более простую систему:
$ \begin{cases} \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{y} = 3 \\ xy = 8 \end{cases} $
Для решения введем новые переменные. Пусть $a = \sqrt[3]{x}$ и $b = \sqrt[3]{y}$. Тогда $x = a^3$ и $y = b^3$.
Подставим это в нашу систему:
$ \begin{cases} a + b = 3 \\ a^3 b^3 = 8 \end{cases} $
Из второго уравнения получаем: $(ab)^3 = 2^3$, откуда $ab = 2$.
Теперь система для $a$ и $b$ выглядит так:
$ \begin{cases} a + b = 3 \\ ab = 2 \end{cases} $
Согласно теореме Виета, $a$ и $b$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - (a+b)t + ab = 0$.
$t^2 - 3t + 2 = 0$
Корни этого уравнения: $t_1 = 1$ и $t_2 = 2$.
Следовательно, у нас есть два возможных случая:
1) $a = 1, b = 2$. Возвращаемся к переменным $x$ и $y$:
$x = a^3 = 1^3 = 1$
$y = b^3 = 2^3 = 8$
Получили решение $(1, 8)$.
2) $a = 2, b = 1$. Возвращаемся к переменным $x$ и $y$:
$x = a^3 = 2^3 = 8$
$y = b^3 = 1^3 = 1$
Получили решение $(8, 1)$.

Ответ: $(1, 8), (8, 1)$.

Рассмотрим данную систему уравнений:
$ \begin{cases} 32^{\sqrt[3]{x-2y}} \cdot 8^{\sqrt[3]{x+y}} = 2^{13} \\ \frac{8^{\sqrt[3]{x-2y}}}{16^{\sqrt[3]{x+y}}} = 4 \end{cases} $
Представим все числовые основания в виде степеней числа 2: $32=2^5$, $8=2^3$, $16=2^4$, $4=2^2$.
Подставим эти значения в систему.
Первое уравнение:
$(2^5)^{\sqrt[3]{x-2y}} \cdot (2^3)^{\sqrt[3]{x+y}} = 2^{13}$
$2^{5\sqrt[3]{x-2y}} \cdot 2^{3\sqrt[3]{x+y}} = 2^{13}$
$2^{5\sqrt[3]{x-2y} + 3\sqrt[3]{x+y}} = 2^{13}$
Приравняем показатели: $5\sqrt[3]{x-2y} + 3\sqrt[3]{x+y} = 13$.
Второе уравнение:
$\frac{(2^3)^{\sqrt[3]{x-2y}}}{(2^4)^{\sqrt[3]{x+y}}} = 2^2$
$2^{3\sqrt[3]{x-2y} - 4\sqrt[3]{x+y}} = 2^2$
Приравняем показатели: $3\sqrt[3]{x-2y} - 4\sqrt[3]{x+y} = 2$.
Введем новые переменные для упрощения. Пусть $u = \sqrt[3]{x-2y}$ и $v = \sqrt[3]{x+y}$.
Получим систему линейных уравнений относительно $u$ и $v$:
$ \begin{cases} 5u + 3v = 13 \\ 3u - 4v = 2 \end{cases} $
Решим эту систему. Умножим первое уравнение на 4, а второе на 3:
$ \begin{cases} 20u + 12v = 52 \\ 9u - 12v = 6 \end{cases} $
Сложим два уравнения: $29u = 58$, откуда $u = 2$.
Подставим $u=2$ в первое уравнение исходной линейной системы: $5(2) + 3v = 13 \implies 10 + 3v = 13 \implies 3v = 3$, откуда $v = 1$.
Теперь вернемся к переменным $x$ и $y$:
$u = \sqrt[3]{x-2y} = 2 \implies x - 2y = 2^3 = 8$
$v = \sqrt[3]{x+y} = 1 \implies x + y = 1^3 = 1$
Получили новую систему линейных уравнений:
$ \begin{cases} x - 2y = 8 \\ x + y = 1 \end{cases} $
Вычтем первое уравнение из второго: $(x+y) - (x-2y) = 1 - 8 \implies 3y = -7 \implies y = -\frac{7}{3}$.
Подставим значение $y$ во второе уравнение: $x + (-\frac{7}{3}) = 1 \implies x = 1 + \frac{7}{3} = \frac{3}{3} + \frac{7}{3} = \frac{10}{3}$.
Решением системы является пара чисел $(\frac{10}{3}, -\frac{7}{3})$.

Ответ: $(\frac{10}{3}; -\frac{7}{3})$.

33.29. a) $\left\{ \begin{array}{l} 2^x \cdot 0,25^{-y} = 512, \\ \sqrt{x} + 2\sqrt{y} = 5; \end{array} \right.$

б) $\left\{ \begin{array}{l} 9^x \cdot 3^{y-3} = 729, \\ \sqrt{x} - \sqrt{y} = 1. \end{array} \right.$

а)Решим систему уравнений:$\begin{cases}2^x \cdot 0,25^{-y} = 512, \\\sqrt{x} + 2\sqrt{y} = 5;\end{cases}$
Сначала преобразуем первое уравнение, приведя все его части к основанию 2.
Мы знаем, что $0,25 = \frac{1}{4} = 2^{-2}$ и $512 = 2^9$.
Подставим эти значения в первое уравнение:
$2^x \cdot (2^{-2})^{-y} = 2^9$
$2^x \cdot 2^{2y} = 2^9$
$2^{x+2y} = 2^9$
Приравнивая показатели степени, получаем линейное уравнение:
$x + 2y = 9$
Теперь система имеет вид:$\begin{cases}x + 2y = 9, \\\sqrt{x} + 2\sqrt{y} = 5;\end{cases}$
Область допустимых значений (ОДЗ) для второго уравнения: $x \ge 0$ и $y \ge 0$.
Выразим $x$ из первого уравнения: $x = 9 - 2y$.
Подставим это выражение во второе уравнение:
$\sqrt{9 - 2y} + 2\sqrt{y} = 5$
Уединим один из корней:
$\sqrt{9 - 2y} = 5 - 2\sqrt{y}$
Возведем обе части уравнения в квадрат:
$(\sqrt{9 - 2y})^2 = (5 - 2\sqrt{y})^2$
$9 - 2y = 25 - 20\sqrt{y} + 4y$
Приведем подобные слагаемые и выразим член с корнем:
$20\sqrt{y} = 25 - 9 + 4y + 2y$
$20\sqrt{y} = 16 + 6y$
Разделим обе части на 2 для упрощения:
$10\sqrt{y} = 8 + 3y$
Сделаем замену переменной. Пусть $t = \sqrt{y}$, при этом $t \ge 0$.
$10t = 8 + 3t^2$
Получаем квадратное уравнение:
$3t^2 - 10t + 8 = 0$
Решим его через дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = (-10)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 8 = 100 - 96 = 4$
$t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{10 + 2}{2 \cdot 3} = \frac{12}{6} = 2$
$t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{10 - 2}{2 \cdot 3} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}$
Оба корня положительны, поэтому рассматриваем оба случая.
1) Если $t = 2$, то $\sqrt{y} = 2$, откуда $y = 4$.
Найдем $x$: $x = 9 - 2y = 9 - 2 \cdot 4 = 9 - 8 = 1$.
Получили пару $(1, 4)$. Проверим по ОДЗ: $1 \ge 0$ и $4 \ge 0$. Верно.
2) Если $t = \frac{4}{3}$, то $\sqrt{y} = \frac{4}{3}$, откуда $y = (\frac{4}{3})^2 = \frac{16}{9}$.
Найдем $x$: $x = 9 - 2y = 9 - 2 \cdot \frac{16}{9} = 9 - \frac{32}{9} = \frac{81-32}{9} = \frac{49}{9}$.
Получили пару $(\frac{49}{9}, \frac{16}{9})$. Проверим по ОДЗ: $\frac{49}{9} \ge 0$ и $\frac{16}{9} \ge 0$. Верно.
Обе пары являются решениями системы.
Ответ: $(1, 4)$, $(\frac{49}{9}, \frac{16}{9})$.

б)Решим систему уравнений:$\begin{cases}9^x \cdot 3^{y-3} = 729, \\\sqrt{x} - \sqrt{y} = 1.\end{cases}$
Преобразуем первое уравнение, приведя все его части к основанию 3.
Мы знаем, что $9 = 3^2$ и $729 = 3^6$.
Подставим эти значения в первое уравнение:
$(3^2)^x \cdot 3^{y-3} = 3^6$
$3^{2x} \cdot 3^{y-3} = 3^6$
$3^{2x+y-3} = 3^6$
Приравнивая показатели степени, получаем:
$2x + y - 3 = 6$
$2x + y = 9$
Теперь система имеет вид:$\begin{cases}2x + y = 9, \\\sqrt{x} - \sqrt{y} = 1.\end{cases}$
ОДЗ: $x \ge 0$ и $y \ge 0$.
Для удобства решения введем новые переменные. Пусть $u = \sqrt{x}$ и $v = \sqrt{y}$, где $u \ge 0, v \ge 0$.
Тогда $x = u^2$ и $y = v^2$.
Подставим это в систему:$\begin{cases}2u^2 + v^2 = 9, \\u - v = 1.\end{cases}$
Из второго уравнения выразим $u$: $u = 1 + v$.
Подставим это выражение в первое уравнение:
$2(1+v)^2 + v^2 = 9$
$2(1 + 2v + v^2) + v^2 = 9$
$2 + 4v + 2v^2 + v^2 = 9$
$3v^2 + 4v - 7 = 0$
Решим полученное квадратное уравнение для $v$:
$D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-7) = 16 + 84 = 100$
$v_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-4 + 10}{2 \cdot 3} = \frac{6}{6} = 1$
$v_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-4 - 10}{2 \cdot 3} = \frac{-14}{6} = -\frac{7}{3}$
Так как по условию замены $v = \sqrt{y} \ge 0$, корень $v_2 = -\frac{7}{3}$ является посторонним.
Остается единственное решение $v=1$.
Найдем $u$: $u = 1 + v = 1 + 1 = 2$.
Теперь вернемся к исходным переменным $x$ и $y$:
$\sqrt{x} = u = 2 \Rightarrow x = 4$
$\sqrt{y} = v = 1 \Rightarrow y = 1$
Получили пару $(4, 1)$. Проверим по ОДЗ: $4 \ge 0$ и $1 \ge 0$. Верно.
Ответ: $(4, 1)$.

33.30. a) $ \begin{cases} 6^{2x} + 6^x \cdot y = 12, \\ y^2 + y \cdot 6^x = -8; \end{cases} $

б) $ \begin{cases} 7^{2y} - 7^y \cdot x = 28, \\ x^2 - x \cdot 7^y = -12. \end{cases} $

a)

Дана система уравнений: $$ \begin{cases} 6^{2x} + 6^x \cdot y = 12 \\ y^2 + y \cdot 6^x = -8 \end{cases} $$ Сделаем замену переменных. Пусть $u = 6^x$ и $v = y$. Так как показательная функция $a^z > 0$ для любого действительного $z$ при $a>0$, то $u > 0$. Система примет вид: $$ \begin{cases} u^2 + uv = 12 \\ v^2 + vu = -8 \end{cases} $$ Сложим два уравнения системы: $$(u^2 + uv) + (v^2 + vu) = 12 + (-8)$$ $$u^2 + 2uv + v^2 = 4$$ $$(u+v)^2 = 4$$ Отсюда следует, что $u+v = 2$ или $u+v = -2$.

Рассмотрим оба случая.

Случай 1: $u+v=2$.
Подставим это выражение в первое уравнение системы $u^2+uv=12$. Вынесем $u$ за скобки: $u(u+v) = 12$. Получим $u \cdot 2 = 12$, откуда $u=6$.
Так как $u+v=2$, то $v = 2 - u = 2 - 6 = -4$.
Проверим условие $u > 0$. $6 > 0$, условие выполняется.
Проверим найденную пару $(u, v) = (6, -4)$ во втором уравнении $v^2+vu = -8$: $(-4)^2 + (-4) \cdot 6 = 16 - 24 = -8$. Равенство верно. Следовательно, пара $(u, v) = (6, -4)$ является решением.

Случай 2: $u+v=-2$.
Аналогично подставляем в уравнение $u(u+v) = 12$. Получим $u \cdot (-2) = 12$, откуда $u=-6$.
Это значение не удовлетворяет условию $u>0$, поэтому этот случай не дает решений.

Итак, единственное решение для $(u,v)$ это $(6, -4)$.
Вернемся к исходным переменным $x$ и $y$: $$u = 6^x = 6 \implies 6^x = 6^1 \implies x=1$$ $$v = y = -4$$ Таким образом, решение системы: $(1, -4)$.

Ответ: $(1, -4)$.

б)

Дана система уравнений: $$ \begin{cases} 7^{2y} - 7^y \cdot x = 28 \\ x^2 - x \cdot 7^y = -12 \end{cases} $$ Сделаем замену переменных. Пусть $u = 7^y$ и $v = x$. Так как показательная функция $a^z > 0$ для любого действительного $z$ при $a>0$, то $u > 0$. Система примет вид: $$ \begin{cases} u^2 - uv = 28 \\ v^2 - vu = -12 \end{cases} $$ Сложим два уравнения системы: $$(u^2 - uv) + (v^2 - vu) = 28 - 12$$ $$u^2 - 2uv + v^2 = 16$$ $$(u-v)^2 = 16$$ Отсюда следует, что $u-v = 4$ или $u-v = -4$.

Рассмотрим оба случая. Для этого преобразуем уравнения системы, вынеся общий множитель: $$ \begin{cases} u(u-v) = 28 \\ v(v-u) = -12 \implies -v(u-v) = -12 \implies v(u-v) = 12 \end{cases} $$

Случай 1: $u-v=4$.
Подставим это выражение в первое преобразованное уравнение $u(u-v) = 28$. Получим $u \cdot 4 = 28$, откуда $u=7$.
Так как $u-v=4$, то $v = u - 4 = 7 - 4 = 3$.
Проверим условие $u > 0$. $7 > 0$, условие выполняется.
Проверим найденную пару $(u, v) = (7, 3)$ во втором преобразованном уравнении $v(u-v) = 12$: $3 \cdot (7-3) = 3 \cdot 4 = 12$. Равенство верно. Следовательно, пара $(u, v) = (7, 3)$ является решением.

Случай 2: $u-v=-4$.
Аналогично подставляем в уравнение $u(u-v) = 28$. Получим $u \cdot (-4) = 28$, откуда $u=-7$.
Это значение не удовлетворяет условию $u>0$, поэтому этот случай не дает решений.

Итак, единственное решение для $(u,v)$ это $(7, 3)$.
Вернемся к исходным переменным $x$ и $y$: $$u = 7^y = 7 \implies 7^y = 7^1 \implies y=1$$ $$v = x = 3$$ Таким образом, решение системы: $(3, 1)$.

Ответ: $(3, 1)$.

33.31. a) $\begin{cases} \log_{13} (x^2 + y^2) = 0,5 \log_{\pi} \pi^2, \\ \log_3 x - 1 = \log_3 2 - \log_3 y; \end{cases}$

б) $\begin{cases} \log_7 (x + y) = 4 \log_7 (x - y), \\ \log_7 (x + y) = 5 \log_7 3 - \log_7 (x - y). \end{cases}$

а)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} \log_{13} (x^2 + y^2) = 0,5 \log_{\pi} \pi^2, \\ \log_3 x - 1 = \log_3 2 - \log_3 y; \end{cases} $

Найдем область допустимых значений (ОДЗ): аргументы логарифмов должны быть строго положительными.

$ \begin{cases} x^2 + y^2 > 0, \\ x > 0, \\ y > 0. \end{cases} $

Условие $x^2 + y^2 > 0$ выполняется автоматически при $x > 0$ и $y > 0$.

Рассмотрим первое уравнение. Упростим его правую часть, используя свойство логарифма $\log_a a^b = b$:

$0,5 \log_{\pi} \pi^2 = 0,5 \cdot 2 = 1$.

Тогда первое уравнение принимает вид:

$\log_{13} (x^2 + y^2) = 1$.

По определению логарифма, это означает:

$x^2 + y^2 = 13^1 = 13$.

Теперь преобразуем второе уравнение системы. Сгруппируем слагаемые с логарифмами:

$\log_3 x + \log_3 y = \log_3 2 + 1$.

Представим $1$ как логарифм по основанию 3: $1 = \log_3 3$. Используя свойство суммы логарифмов $\log_a b + \log_a c = \log_a (bc)$, получим:

$\log_3 (xy) = \log_3 2 + \log_3 3$,

$\log_3 (xy) = \log_3 (2 \cdot 3)$,

$\log_3 (xy) = \log_3 6$.

Из равенства логарифмов следует равенство их аргументов:

$xy = 6$.

Таким образом, исходная система равносильна системе алгебраических уравнений с учетом ОДЗ:

$ \begin{cases} x^2 + y^2 = 13, \\ xy = 6. \end{cases} $

Из второго уравнения выразим $y = \frac{6}{x}$ и подставим в первое:

$x^2 + \left(\frac{6}{x}\right)^2 = 13$,

$x^2 + \frac{36}{x^2} = 13$.

Умножим обе части на $x^2$ (что допустимо, так как из ОДЗ $x \neq 0$):

$x^4 + 36 = 13x^2$,

$x^4 - 13x^2 + 36 = 0$.

Это биквадратное уравнение. Сделаем замену $t = x^2$. Так как по ОДЗ $x > 0$, то $t > 0$.

$t^2 - 13t + 36 = 0$.

Решим квадратное уравнение. По теореме Виета, корни уравнения $t_1 = 4$ и $t_2 = 9$. Оба корня положительны и удовлетворяют условию $t > 0$.

Вернемся к переменной $x$:

1. Если $x^2 = 4$, то, учитывая ОДЗ ($x>0$), получаем $x = 2$. Тогда $y = \frac{6}{x} = \frac{6}{2} = 3$. Пара $(2; 3)$ удовлетворяет ОДЗ ($2 > 0, 3 > 0$).

2. Если $x^2 = 9$, то, учитывая ОДЗ ($x>0$), получаем $x = 3$. Тогда $y = \frac{6}{x} = \frac{6}{3} = 2$. Пара $(3; 2)$ удовлетворяет ОДЗ ($3 > 0, 2 > 0$).

Ответ: $(2; 3), (3; 2)$.

б)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} \log_7 (x + y) = 4 \log_7 (x - y), \\ \log_7 (x + y) = 5 \log_7 3 - \log_7 (x - y). \end{cases} $

Найдем область допустимых значений (ОДЗ):

$ \begin{cases} x + y > 0, \\ x - y > 0. \end{cases} $

Для удобства решения введем замены: $A = \log_7 (x + y)$ и $B = \log_7 (x - y)$.

Система примет вид:

$ \begin{cases} A = 4B, \\ A = 5 \log_7 3 - B. \end{cases} $

Поскольку левые части уравнений равны, приравняем их правые части:

$4B = 5 \log_7 3 - B$,

$5B = 5 \log_7 3$,

$B = \log_7 3$.

Теперь найдем $A$ из первого уравнения системы: $A = 4B$.

$A = 4 \log_7 3$.

Выполним обратную замену:

Из $B = \log_7 3$ следует, что $\log_7 (x - y) = \log_7 3$, откуда $x - y = 3$.

Из $A = 4 \log_7 3$ следует, что $\log_7 (x + y) = 4 \log_7 3$.

Используя свойство логарифма $k \log_a b = \log_a b^k$, преобразуем правую часть:

$\log_7 (x + y) = \log_7 3^4$,

$\log_7 (x + y) = \log_7 81$, откуда $x + y = 81$.

Получили систему линейных уравнений:

$ \begin{cases} x - y = 3, \\ x + y = 81. \end{cases} $

Сложим два уравнения:

$(x - y) + (x + y) = 3 + 81$,

$2x = 84$,

$x = 42$.

Подставим значение $x$ во второе уравнение системы:

$42 + y = 81$,

$y = 81 - 42$,

$y = 39$.

Проверим, удовлетворяет ли найденное решение $(42; 39)$ ОДЗ:

$x + y = 42 + 39 = 81 > 0$.

$x - y = 42 - 39 = 3 > 0$.

Оба условия выполнены, следовательно, решение верно.

Ответ: $(42; 39)$.

33.32. a) $\begin{cases} \log_x y + \log_y x = \frac{5}{2}, \\ 4\sqrt{x} - 3\sqrt{y} = 1; \end{cases}$

б) $\begin{cases} \log_y x - 2\log_x y = 1, \\ x^2 + 2y^2 = 3. \end{cases}$

a)

Рассмотрим систему уравнений:

1) $ \log_x y + \log_y x = \frac{5}{2} $

2) $ 4\sqrt{x} - 3\sqrt{y} = 1 $

Область допустимых значений (ОДЗ) для данной системы определяется условиями существования логарифмов и квадратных корней. Аргументы логарифмов и их основания должны быть положительными, а основания не должны равняться единице. Положительность подкоренных выражений также требуется.

Из логарифмов: $ x > 0 $, $ y > 0 $, $ x \neq 1 $, $ y \neq 1 $.

Из квадратных корней: $ x \ge 0 $, $ y \ge 0 $.

Объединяя условия, получаем ОДЗ: $ x > 0, y > 0, x \neq 1, y \neq 1 $.

Преобразуем первое уравнение. Используем свойство логарифмов $ \log_y x = \frac{1}{\log_x y} $.

Введем замену $ t = \log_x y $. Тогда первое уравнение примет вид:

$ t + \frac{1}{t} = \frac{5}{2} $

Умножим обе части уравнения на $ 2t $ (где $ t \neq 0 $, так как иначе $ y=x^0=1 $, что противоречит ОДЗ):

$ 2t^2 + 2 = 5t $

$ 2t^2 - 5t + 2 = 0 $

Это квадратное уравнение относительно $ t $. Найдем его корни. Дискриминант $ D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 - 16 = 9 = 3^2 $.

Корни уравнения:

$ t_1 = \frac{5 - 3}{2 \cdot 2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} $

$ t_2 = \frac{5 + 3}{2 \cdot 2} = \frac{8}{4} = 2 $

Рассмотрим два случая.

Случай 1: $ \log_x y = \frac{1}{2} $.

Из этого следует, что $ y = x^{1/2} $, или $ y = \sqrt{x} $.

Подставим это выражение во второе уравнение системы $ 4\sqrt{x} - 3\sqrt{y} = 1 $:

$ 4\sqrt{x} - 3\sqrt{\sqrt{x}} = 1 $

$ 4\sqrt{x} - 3\sqrt[4]{x} - 1 = 0 $

Сделаем замену $ a = \sqrt[4]{x} $. Так как $ x > 0 $, то $ a > 0 $. Тогда $ \sqrt{x} = a^2 $.

$ 4a^2 - 3a - 1 = 0 $

Решим это квадратное уравнение относительно $ a $. Дискриминант $ D = (-3)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-1) = 9 + 16 = 25 = 5^2 $.

$ a_1 = \frac{3 - 5}{8} = -\frac{1}{4} $. Этот корень не подходит, так как $ a > 0 $.

$ a_2 = \frac{3 + 5}{8} = 1 $. Этот корень подходит.

Тогда $ \sqrt[4]{x} = 1 $, откуда $ x = 1 $. Однако, согласно ОДЗ, $ x \neq 1 $. Следовательно, в этом случае решений нет.

Случай 2: $ \log_x y = 2 $.

Из этого следует, что $ y = x^2 $.

Подставим это выражение во второе уравнение системы $ 4\sqrt{x} - 3\sqrt{y} = 1 $:

$ 4\sqrt{x} - 3\sqrt{x^2} = 1 $

Поскольку по ОДЗ $ x > 0 $, то $ \sqrt{x^2} = x $.

$ 4\sqrt{x} - 3x = 1 $

Сделаем замену $ v = \sqrt{x} $. Так как $ x > 0 $, то $ v > 0 $. Тогда $ x = v^2 $.

$ 4v - 3v^2 = 1 $

$ 3v^2 - 4v + 1 = 0 $

Решим это квадратное уравнение относительно $ v $. Дискриминант $ D = (-4)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 1 = 16 - 12 = 4 = 2^2 $.

$ v_1 = \frac{4 - 2}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} $. Этот корень подходит, так как $ v > 0 $.

$ v_2 = \frac{4 + 2}{6} = 1 $. Этот корень подходит.

Если $ v = 1 $, то $ \sqrt{x} = 1 $, откуда $ x = 1 $. Это значение не входит в ОДЗ.

Если $ v = \frac{1}{3} $, то $ \sqrt{x} = \frac{1}{3} $, откуда $ x = \left(\frac{1}{3}\right)^2 = \frac{1}{9} $.

Найдем соответствующее значение $ y $: $ y = x^2 = \left(\frac{1}{9}\right)^2 = \frac{1}{81} $.

Проверим найденную пару $ (1/9; 1/81) $ на соответствие ОДЗ. $ x = 1/9 > 0 $ и $ x \neq 1 $. $ y = 1/81 > 0 $ и $ y \neq 1 $. Условия ОДЗ выполнены.

Таким образом, система имеет единственное решение.

Ответ: $ (1/9; 1/81) $.

б)

Рассмотрим систему уравнений:

1) $ \log_y x - 2\log_x y = 1 $

2) $ x^2 + 2y^2 = 3 $

Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условиями существования логарифмов: $ x > 0 $, $ y > 0 $, $ x \neq 1 $, $ y \neq 1 $. Второе уравнение не накладывает дополнительных ограничений.

Преобразуем первое уравнение, используя свойство $ \log_x y = \frac{1}{\log_y x} $.

Введем замену $ t = \log_y x $. Тогда первое уравнение примет вид:

$ t - \frac{2}{t} = 1 $

Умножим обе части на $ t $ (где $ t \neq 0 $, так как иначе $ x=y^0=1 $, что противоречит ОДЗ):

$ t^2 - 2 = t $

$ t^2 - t - 2 = 0 $

Это квадратное уравнение относительно $ t $. Найдем его корни, например, по теореме Виета: $ t_1 + t_2 = 1 $, $ t_1 \cdot t_2 = -2 $. Корни: $ t_1 = 2 $ и $ t_2 = -1 $.

Рассмотрим два случая.

Случай 1: $ \log_y x = 2 $.

Из этого следует, что $ x = y^2 $.

Подставим это выражение во второе уравнение системы $ x^2 + 2y^2 = 3 $:

$ (y^2)^2 + 2y^2 = 3 $

$ y^4 + 2y^2 - 3 = 0 $

Сделаем замену $ z = y^2 $. Так как $ y > 0 $, то $ z > 0 $.

$ z^2 + 2z - 3 = 0 $

По теореме Виета, корни этого уравнения $ z_1 = 1 $ и $ z_2 = -3 $.

Корень $ z_2 = -3 $ не подходит, так как $ z > 0 $.

Остается $ z = 1 $, то есть $ y^2 = 1 $. Поскольку по ОДЗ $ y > 0 $, получаем $ y = 1 $. Это значение не входит в ОДЗ ($ y \neq 1 $). Следовательно, в этом случае решений нет.

Случай 2: $ \log_y x = -1 $.

Из этого следует, что $ x = y^{-1} $, или $ x = \frac{1}{y} $.

Подставим это выражение во второе уравнение системы $ x^2 + 2y^2 = 3 $:

$ \left(\frac{1}{y}\right)^2 + 2y^2 = 3 $

$ \frac{1}{y^2} + 2y^2 = 3 $

Умножим обе части на $ y^2 $ (где $ y \neq 0 $ по ОДЗ):

$ 1 + 2y^4 = 3y^2 $

$ 2y^4 - 3y^2 + 1 = 0 $

Сделаем замену $ w = y^2 $. Так как $ y > 0 $, то $ w > 0 $.

$ 2w^2 - 3w + 1 = 0 $

Решим это квадратное уравнение относительно $ w $. Дискриминант $ D = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 9 - 8 = 1 = 1^2 $.

$ w_1 = \frac{3 - 1}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} $. Этот корень подходит, так как $ w > 0 $.

$ w_2 = \frac{3 + 1}{4} = 1 $. Этот корень подходит.

Если $ w = 1 $, то $ y^2 = 1 $. Поскольку $ y > 0 $, получаем $ y=1 $. Это значение не входит в ОДЗ.

Если $ w = \frac{1}{2} $, то $ y^2 = \frac{1}{2} $. Поскольку $ y > 0 $, получаем $ y = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} $.

Найдем соответствующее значение $ x $: $ x = \frac{1}{y} = \frac{1}{\frac{1}{\sqrt{2}}} = \sqrt{2} $.

Проверим найденную пару $ (\sqrt{2}; \sqrt{2}/2) $ на соответствие ОДЗ. $ x = \sqrt{2} > 0 $ и $ x \neq 1 $. $ y = \frac{\sqrt{2}}{2} > 0 $ и $ y \neq 1 $. Условия ОДЗ выполнены.

Таким образом, система имеет единственное решение.

Ответ: $ (\sqrt{2}; \frac{\sqrt{2}}{2}) $.