Страница 220, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

1. Нарисуйте эскиз графика гауссовой кривой $\varphi(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{x^2}{2}}$.

Для построения эскиза графика функции $\phi(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{x^2}{2}}$ проведем ее полное исследование.

1. Область определения функции

Функция определена для всех действительных значений $x$, так как выражение под экспонентой и сама экспонента существуют для любого $x \in \mathbb{R}$.

$D(\phi) = (-\infty; +\infty)$.

2. Четность и симметрия

Проверим функцию на четность, подставив $-x$ вместо $x$:

$\phi(-x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{(-x)^2}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{x^2}{2}} = \phi(x)$.

Так как $\phi(-x) = \phi(x)$, функция является четной. Это означает, что ее график симметричен относительно оси ординат (оси OY).

3. Точки пересечения с осями координат

С осью OY: найдем значение функции при $x=0$.

$\phi(0) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{0^2}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^0 = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \approx \frac{1}{\sqrt{2 \cdot 3.1416}} \approx \frac{1}{2.5066} \approx 0.3989$.

Точка пересечения с осью OY (она же является вершиной кривой) имеет координаты $(0, \frac{1}{\sqrt{2\pi}})$.

С осью OX: найдем значения $x$, при которых $\phi(x) = 0$.

Уравнение $\frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{x^2}{2}} = 0$ не имеет решений, так как множитель $\frac{1}{\sqrt{2\pi}}$ - константа, а $e^z > 0$ для любого конечного $z$. Следовательно, график функции не пересекает ось OX и полностью лежит в верхней полуплоскости.

4. Асимптоты

Вертикальных асимптот нет, так как функция непрерывна на всей числовой прямой.

Найдем горизонтальные асимптоты, вычислив пределы функции при $x \to \pm\infty$.

$\lim_{x \to \pm\infty} \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{x^2}{2}}$.

При $x \to \pm\infty$, показатель степени $-\frac{x^2}{2} \to -\infty$. Тогда $e^{-\frac{x^2}{2}} \to 0$.

$\lim_{x \to \pm\infty} \phi(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \cdot 0 = 0$.

Следовательно, прямая $y=0$ (ось OX) является горизонтальной асимптотой графика при $x \to +\infty$ и $x \to -\infty$.

5. Экстремумы и интервалы монотонности

Найдем первую производную функции по правилу дифференцирования сложной функции:

$\phi'(x) = \left(\frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{x^2}{2}}\right)' = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{x^2}{2}} \cdot \left(-\frac{x^2}{2}\right)' = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{x^2}{2}} \cdot (-x) = -\frac{x}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{x^2}{2}}$.

Приравняем производную к нулю для поиска критических точек: $\phi'(x) = 0 \implies x=0$.

Определим знаки производной на интервалах, на которые точка $x=0$ делит область определения:

• При $x \in (-\infty, 0)$, $\phi'(x) > 0$, следовательно, функция возрастает.
• При $x \in (0, +\infty)$, $\phi'(x) < 0$, следовательно, функция убывает.

В точке $x=0$ происходит смена знака производной с "+" на "-", значит, это точка максимума. Максимальное значение функции: $\phi_{max} = \phi(0) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}$.

6. Точки перегиба и интервалы выпуклости/вогнутости

Найдем вторую производную, используя правило дифференцирования произведения:

$\phi''(x) = \left(-\frac{x}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{x^2}{2}}\right)' = -\frac{1}{\sqrt{2\pi}} \left( (x)' \cdot e^{-\frac{x^2}{2}} + x \cdot (e^{-\frac{x^2}{2}})' \right) = -\frac{1}{\sqrt{2\pi}} \left( 1 \cdot e^{-\frac{x^2}{2}} + x \cdot e^{-\frac{x^2}{2}} \cdot (-x) \right)$.

$\phi''(x) = -\frac{e^{-\frac{x^2}{2}}}{\sqrt{2\pi}}(1-x^2) = \frac{x^2-1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{x^2}{2}}$.

Приравняем вторую производную к нулю: $\phi''(x) = 0 \implies x^2-1=0 \implies x = \pm 1$.

Определим знаки второй производной на интервалах:

• При $x \in (-\infty, -1)$ и $x \in (1, +\infty)$, $\phi''(x) > 0$, график функции выпуклый вниз (вогнутый).
• При $x \in (-1, 1)$, $\phi''(x) < 0$, график функции выпуклый вверх.

Точки $x=-1$ и $x=1$ являются точками перегиба. Ординаты этих точек равны: $\phi(\pm 1) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-1/2} = \frac{1}{\sqrt{2\pi e}} \approx 0.2420$.

7. Эскиз графика

На основе проведенного анализа строим эскиз графика. График представляет собой знаменитую колоколообразную кривую Гаусса.

Ответ:

Эскиз графика функции $\phi(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{x^2}{2}}$ представляет собой симметричную относительно оси OY колоколообразную кривую, которая полностью расположена выше оси OX. Ключевые характеристики графика:

• Максимум в точке $(0, \frac{1}{\sqrt{2\pi}})$.
• Горизонтальная асимптота: ось OX ($y=0$).
• Точки перегиба: $(\pm 1, \frac{1}{\sqrt{2\pi e}})$.
• Симметрия: график четной функции, симметричен относительно оси OY.
• Интервалы монотонности: функция возрастает на $(-\infty, 0]$ и убывает на $[0, +\infty)$.
• Выпуклость: график выпуклый вверх (как шапка) на интервале $(-1, 1)$ и выпуклый вниз (как чаша) на интервалах $(-\infty, -1)$ и $(1, +\infty)$.

2. Вычислите приближённо наибольшее значение функции $\varphi$.

Для вычисления наибольшего значения функции `\varphi` необходимо её математическое описание (формула), которое в вопросе отсутствует. Поэтому, приведём общий алгоритм нахождения наибольшего значения функции и решим задачу на конкретном примере, который иллюстрирует, как можно найти "приближённое" значение.

Общий алгоритм нахождения наибольшего значения функции `f(x)` на отрезке `[a, b]` или на всей области определения:

1. Найти область определения функции.
2. Найти производную функции `f'(x)`.
3. Найти критические точки функции, то есть точки, в которых производная равна нулю (`f'(x) = 0`) или не существует.
4. Отобрать критические точки, которые принадлежат рассматриваемому интервалу.
5. Вычислить значения функции `f(x)` в отобранных критических точках и на концах отрезка (если он задан).
6. Сравнить все полученные значения и выбрать из них самое большое. Это и будет наибольшим значением функции на заданном интервале.

Пример решения для гипотетической функции `\varphi`

Предположим, что функция задана формулой `\varphi(x) = \frac{\ln(x)}{x}`. Найдём её наибольшее значение на всей области определения.

1. Область определения.

Логарифмическая функция `\ln(x)` определена только для `x > 0`. Знаменатель дроби не может быть равен нулю, что также приводит к условию `x \neq 0`. Объединяя эти условия, получаем, что область определения функции `D(\varphi) = (0, +\infty)`.

2. Нахождение производной.

Используем правило дифференцирования частного `\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}`. В нашем случае `u = \ln(x)` и `v = x`.

`\varphi'(x) = \frac{(\ln x)' \cdot x - \ln x \cdot (x)'}{x^2} = \frac{\frac{1}{x} \cdot x - \ln x \cdot 1}{x^2} = \frac{1 - \ln x}{x^2}`

3. Нахождение критических точек.

Приравняем производную к нулю для поиска стационарных точек:

`\frac{1 - \ln x}{x^2} = 0`

Дробь равна нулю, если её числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля. Так как `x > 0`, знаменатель `x^2` всегда больше нуля.

`1 - \ln x = 0`

`\ln x = 1`

`x = e`

Точка `x=e` — единственная критическая точка. Производная существует во всех точках области определения.

4. Определение точки максимума.

Исследуем знак производной `\varphi'(x)` слева и справа от критической точки `x=e`.

• При `0 < x < e` (например, `x=1`), `\varphi'(1) = \frac{1 - \ln 1}{1^2} = \frac{1-0}{1} = 1 > 0`. Функция возрастает.
• При `x > e` (например, `x=e^2`), `\varphi'(e^2) = \frac{1 - \ln e^2}{(e^2)^2} = \frac{1-2}{e^4} = -\frac{1}{e^4} < 0`. Функция убывает.

Поскольку при переходе через точку `x=e` знак производной меняется с плюса на минус, эта точка является точкой максимума. Так как это единственный экстремум на всей области определения, то в этой точке функция достигает своего наибольшего значения.

5. Вычисление наибольшего значения.

Теперь вычислим значение функции в точке `x=e`:

`\varphi_{max} = \varphi(e) = \frac{\ln e}{e} = \frac{1}{e}`

Задание требует найти приближённое значение. Используя известное приближение для числа Эйлера `e \approx 2.718`, получаем:

`\frac{1}{e} \approx \frac{1}{2.718} \approx 0.3678...`

Округлив до сотых, получаем `0.37`.

Ответ: Поскольку функция `\varphi` не была задана, мы рассмотрели пример `\varphi(x) = \frac{\ln(x)}{x}`. Для этой функции наибольшее значение достигается в точке `x=e` и равно `\frac{1}{e}`, что приближённо составляет `0.37`.

3. Укажите промежутки возрастания и убывания гауссовой кривой.

Гауссова кривая, также известная как кривая Гаусса или кривая нормального распределения, описывается функцией Гаусса. Общий вид этой функции:

$f(x) = a \cdot e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}$

где:

• $a$ – амплитуда, или высота пика кривой ($a > 0$).
• $\mu$ – математическое ожидание, которое определяет положение центра (пика) кривой по оси абсцисс.
• $\sigma$ – стандартное отклонение, которое определяет ширину кривой ($\sigma > 0$).

Для нахождения промежутков возрастания и убывания функции необходимо исследовать знак её первой производной, $f'(x)$.

Найдем производную функции $f(x)$ по переменной $x$, используя правило дифференцирования сложной функции:

$f'(x) = \left( a \cdot e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}} \right)' = a \cdot e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}} \cdot \left( -\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2} \right)' = a \cdot e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}} \cdot \left( -\frac{2(x-\mu)}{2\sigma^2} \right) = -\frac{a(x-\mu)}{\sigma^2} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}$

Теперь проанализируем знак производной $f'(x)$. Множители $a$, $\sigma^2$ и экспоненциальный член $e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}$ всегда положительны (так как по определению $a > 0, \sigma > 0$, а значение экспоненты всегда положительно). Следовательно, знак производной $f'(x)$ противоположен знаку выражения $(x-\mu)$.

Промежуток возрастания

Функция возрастает, когда её производная положительна: $f'(x) > 0$. Это условие выполняется, когда $-(x-\mu) > 0$, что эквивалентно $x-\mu < 0$, или $x < \mu$. Следовательно, функция возрастает на промежутке $(-\infty, \mu)$.

Промежуток убывания

Функция убывает, когда её производная отрицательна: $f'(x) < 0$. Это условие выполняется, когда $-(x-\mu) < 0$, что эквивалентно $x-\mu > 0$, или $x > \mu$. Следовательно, функция убывает на промежутке $(\mu, +\infty)$.

Точка $x = \mu$ является точкой экстремума (глобального максимума) функции, где характер монотонности меняется с возрастания на убывание.

Ответ: Гауссова кривая возрастает на промежутке $(-\infty, \mu)$ и убывает на промежутке $(\mu, +\infty)$, где $\mu$ — это координата x вершины кривой (математическое ожидание).

4. Чему равна площадь фигуры, ограниченной осью абсцисс и графиком гауссовой кривой?

Площадь фигуры, ограниченной осью абсцисс и графиком гауссовой кривой, находится путем вычисления определенного интеграла от функции, описывающей эту кривую, в пределах от $-\infty$ до $+\infty$.

Гауссова кривая является графиком функции плотности вероятности нормального распределения, которая в общем виде записывается как:$$ f(x; \mu, \sigma) = \frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}} $$где $\mu$ — математическое ожидание (среднее значение), а $\sigma$ — среднеквадратичное отклонение.

Площадь $S$ под кривой равна интегралу от этой функции по всей числовой оси:$$ S = \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}} dx $$

Этот интеграл является фундаментальным в теории вероятностей. По определению, полная вероятность любого события равна 1. Функция $f(x; \mu, \sigma)$ является функцией плотности вероятности, и ее интеграл по всему пространству возможных значений (от $-\infty$ до $+\infty$) должен быть равен 1.

Мы можем доказать это математически. Сделаем замену переменной:$$ z = \frac{x-\mu}{\sigma} $$Тогда $dz = \frac{dx}{\sigma}$, или $dx = \sigma dz$. Пределы интегрирования при этом не изменяются.

Подставим новую переменную в интеграл:$$ S = \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}} e^{-\frac{z^2}{2}} (\sigma dz) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-\frac{z^2}{2}} dz $$

Полученный интеграл $\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-\frac{z^2}{2}} dz$ является известным интегралом Пуассона (или Гаусса). Его значение равно $\sqrt{2\pi}$. Для его вычисления используется трюк с переходом к полярным координатам при вычислении квадрата интеграла.

Таким образом, получаем:$$ S = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \cdot \sqrt{2\pi} = 1 $$

Это означает, что площадь под любой гауссовой кривой, независимо от ее параметров $\mu$ и $\sigma$, всегда равна 1. Это свойство нормировки функции плотности вероятности.

Ответ: 1

5. Сформулируйте алгоритм использования функции $\varphi$ в приближённых вычислениях по схеме Бернулли.

Алгоритм использования функции $\phi(x)$ в приближенных вычислениях по схеме Бернулли основан на локальной теореме Муавра-Лапласа. Функция $\phi(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-x^2/2}$ является функцией плотности вероятности стандартного нормального распределения $N(0, 1)$. Теорема позволяет найти приближенное значение вероятности $P_n(k)$ того, что в $n$ независимых испытаниях событие A наступит ровно $k$ раз.

Точная вероятность вычисляется по формуле Бернулли: $P_n(k) = C_n^k p^k q^{n-k}$, где $p$ — вероятность "успеха", а $q = 1 - p$ — вероятность "неудачи" в одном испытании. При больших $n$ вычисления по этой формуле становятся очень трудоемкими.

Приближенная формула согласно локальной теореме Муавра-Лапласа имеет вид:

$P_n(k) \approx \frac{1}{\sqrt{npq}} \phi(x)$

где значение $x$ вычисляется как $x = \frac{k - np}{\sqrt{npq}}$.

Алгоритм использования формулы:

1. Определение параметров задачи. Из условия задачи необходимо извлечь следующие значения:
   • $n$ — общее число независимых испытаний.
   • $p$ — вероятность наступления события в каждом испытании.
   • $k$ — требуемое число наступлений события.
2. Проверка условий применимости теоремы. Аппроксимация дает хорошие результаты, когда число испытаний $n$ достаточно велико, а вероятность $p$ не слишком близка к 0 или 1. На практике используют следующие критерии:
   • $n$ велико (обычно $n > 100$).
   • Произведения $np$ и $nq$ (где $q=1-p$) должны быть достаточно большими. Обычно проверяют условия $np \ge 9$ и $nq \ge 9$. Если эти условия не выполняются, точность приближения будет низкой.
3. Расчет вспомогательных величин.
   • Вычислить вероятность "неудачи": $q = 1 - p$.
   • Найти математическое ожидание (среднее число успехов): $E(X) = np$.
   • Найти стандартное отклонение: $\sigma = \sqrt{npq}$.
4. Вычисление аргумента $x$. Рассчитать значение нормированного отклонения $x$ по формуле:

   $x = \frac{k - np}{\sqrt{npq}}$

   Полученное значение $x$ рекомендуется округлить до сотых или тысячных, в зависимости от точности доступных таблиц для функции $\phi(x)$.
5. Нахождение значения функции $\phi(x)$.
   • Используя таблицы значений для функции $\phi(x)$ (таблицы значений функции Гаусса), найти соответствующее значение.
   • Важно помнить, что функция $\phi(x)$ является четной, то есть $\phi(-x) = \phi(x)$. Если вычисленное значение $x$ отрицательно (например, $x = -1.25$), то в таблице ищут значение для положительного аргумента: $\phi(-1.25) = \phi(1.25)$.
   • При отсутствии таблиц, значение можно вычислить на калькуляторе или в программе по ее определению: $\phi(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-x^2/2}$.
6. Вычисление искомой вероятности. Подставить найденные значения $\phi(x)$ и $\sqrt{npq}$ в основную формулу:

   $P_n(k) \approx \frac{\phi(x)}{\sigma} = \frac{\phi(x)}{\sqrt{npq}}$

   Это и будет искомая приближенная вероятность.

Ответ: Для нахождения приближенной вероятности $P_n(k)$ по схеме Бернулли с помощью функции $\phi(x)$ необходимо выполнить следующий алгоритм:
1. Определить параметры $n, k, p$ из условия задачи.
2. Убедиться в выполнении условий применимости теоремы Муавра-Лапласа ($n$ велико, $np \ge 9$, $nq \ge 9$).
3. Вычислить $q = 1-p$ и стандартное отклонение $\sigma = \sqrt{npq}$.
4. Рассчитать стандартизированное значение $x = \frac{k - np}{\sigma}$.
5. Найти значение функции $\phi(x)$ по таблице или формуле, учитывая ее четность ($\phi(-x) = \phi(x)$).
6. Рассчитать искомую вероятность по формуле $P_n(k) \approx \frac{\phi(x)}{\sigma}$.

6. Сформулируйте алгоритм использования функции $Ф$ в приближённых вычислениях по схеме Бернулли.

6.

Приближенные вычисления вероятностей в схеме Бернулли при большом числе испытаний $n$ проводятся с помощью предельных теорем Муавра-Лапласа: локальной и интегральной. Функция $\Phi(x)$, упомянутая в вопросе, — это интегральная функция Лапласа, которая используется в интегральной теореме. Эта теорема позволяет с высокой точностью оценить вероятность того, что число $k$ наступлений некоторого события в $n$ независимых испытаниях окажется в заданном диапазоне.

Задача: найти вероятность $P_n(k_1 \le k \le k_2)$, то есть вероятность того, что в $n$ испытаниях схемы Бернулли (где вероятность "успеха" в одном испытании равна $p$), число "успехов" $k$ будет не меньше $k_1$ и не больше $k_2$.

Алгоритм решения этой задачи основан на интегральной теореме Муавра-Лапласа, которая гласит:

$P_n(k_1 \le k \le k_2) \approx \Phi(x_2) - \Phi(x_1)$

Здесь $\Phi(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{0}^{x} e^{-t^2/2} dt$ — это стандартная функция Лапласа, значения которой для различных $x$ приведены в специальных математических таблицах.

Алгоритм вычисления:

1. Шаг 1: Проверка условий применимости теоремы.

   Интегральная теорема Муавра-Лапласа дает хорошую аппроксимацию, когда число испытаний $n$ велико. На практике для проверки применимости теоремы используют следующий критерий: произведения $np$ и $nq$ должны быть достаточно большими. Часто используется условие $npq \ge 10$, где $q = 1-p$. Если это условие не выполняется, точность вычислений может быть неудовлетворительной.

2. Шаг 2: Вычисление вспомогательных параметров.

   Необходимо рассчитать основные числовые характеристики для данной серии испытаний:

   • Вероятность "неудачи": $q = 1 - p$.
   • Математическое ожидание (среднее число) успехов: $\mu = np$.
   • Среднеквадратическое отклонение числа успехов: $\sigma = \sqrt{npq}$.
3. Шаг 3: Стандартизация границ интервала.

   Для использования функции Лапласа $\Phi(x)$, которая определена для стандартизованной нормальной величины, необходимо преобразовать границы интервала $[k_1, k_2]$ в безразмерные величины $x_1$ и $x_2$:

   • Нижняя граница: $x_1 = \frac{k_1 - np}{\sqrt{npq}}$.
   • Верхняя граница: $x_2 = \frac{k_2 - np}{\sqrt{npq}}$.

   Примечание: для повышения точности, особенно при не очень больших значениях $n$, рекомендуется применять поправку на непрерывность. Для этого интервал $[k_1, k_2]$ заменяется на $[k_1 - 0.5, k_2 + 0.5]$. Тогда формулы для $x_1$ и $x_2$ примут вид:

   • $x_1 = \frac{(k_1 - 0.5) - np}{\sqrt{npq}}$.
   • $x_2 = \frac{(k_2 + 0.5) - np}{\sqrt{npq}}$.
4. Шаг 4: Нахождение значений функции Лапласа.

   Используя таблицы значений функции Лапласа $\Phi(x)$ (или соответствующий калькулятор), нужно найти значения $\Phi(x_1)$ и $\Phi(x_2)$ для вычисленных на предыдущем шаге $x_1$ и $x_2$. При работе с таблицами важно помнить основные свойства функции Лапласа:

   • $\Phi(x)$ является нечетной функцией, то есть $\Phi(-x) = -\Phi(x)$. Это позволяет находить значения для отрицательных аргументов.
   • При $x \to \infty$, значение $\Phi(x) \to 0.5$. На практике, уже при $x > 5$ можно считать, что $\Phi(x) \approx 0.5$.
5. Шаг 5: Вычисление итоговой вероятности.

   Подставить найденные значения $\Phi(x_1)$ и $\Phi(x_2)$ в основную формулу интегральной теоремы Муавра-Лапласа для получения искомой вероятности:

   $P_n(k_1 \le k \le k_2) \approx \Phi(x_2) - \Phi(x_1)$

Этот алгоритм позволяет эффективно вычислять вероятности для схемы Бернулли, избегая громоздких расчетов по точной формуле биномиального распределения.

Ответ: Алгоритм использования функции Лапласа $\Phi$ для приближенного вычисления вероятности $P_n(k_1 \le k \le k_2)$ в схеме Бернулли включает следующие шаги:
1. Проверить выполнение условия применимости теоремы Муавра-Лапласа (например, $npq \ge 10$).
2. Рассчитать параметры: $q = 1-p$, математическое ожидание $\mu = np$ и среднеквадратическое отклонение $\sigma = \sqrt{npq}$.
3. Стандартизировать границы интервала: вычислить $x_1 = (k_1 - np)/\sigma$ и $x_2 = (k_2 - np)/\sigma$.
4. Найти по таблицам значения функции Лапласа $\Phi(x_1)$ и $\Phi(x_2)$, используя свойство нечетности $\Phi(-x) = -\Phi(x)$ при необходимости.
5. Вычислить искомую вероятность по формуле $P_n(k_1 \le k \le k_2) \approx \Phi(x_2) - \Phi(x_1)$.

34.39. a) Сколько корней имеет уравнение $\vert\vert x \vert - 2 \vert = a$ при различных значениях параметра $a$?

b) Решите уравнение $\vert x - 1 \vert + \vert x - 3 \vert = a$.

Чтобы определить количество корней уравнения $||x| - 2| = a$ в зависимости от параметра $a$, проанализируем это уравнение. Левая часть уравнения, будучи модулем, всегда неотрицательна. Следовательно, если правая часть $a$ отрицательна, уравнение не имеет решений.

При $a \ge 0$ уравнение $||x| - 2| = a$ равносильно совокупности двух уравнений:

$|x| - 2 = a$ или $|x| - 2 = -a$.

Из этих уравнений получаем два новых, более простых уравнения относительно $|x|$:

1) $|x| = a + 2$

2) $|x| = 2 - a$

Теперь рассмотрим количество решений для различных значений $a$.

Случай 1: $a < 0$
Как было отмечено, левая часть уравнения $||x| - 2|$ неотрицательна, а правая часть $a$ отрицательна. В этом случае уравнение корней не имеет.

Случай 2: $a = 0$
Уравнение (1) принимает вид $|x| = 0 + 2 = 2$, откуда получаем два корня: $x_1 = 2$, $x_2 = -2$.
Уравнение (2) принимает вид $|x| = 2 - 0 = 2$, что дает те же самые корни.
Таким образом, при $a = 0$ исходное уравнение имеет 2 корня.

Случай 3: $0 < a < 2$
В уравнении (1) $|x| = a + 2$. Так как $a > 0$, то $a + 2 > 2$. Правая часть положительна, поэтому уравнение имеет два различных корня: $x = \pm(a+2)$.
В уравнении (2) $|x| = 2 - a$. Так как $0 < a < 2$, то $0 < 2 - a < 2$. Правая часть положительна, поэтому это уравнение также имеет два различных корня: $x = \pm(2-a)$.
Все четыре корня, $a+2$, $-(a+2)$, $2-a$, $-(2-a)$, различны, так как $a+2 \ne 2-a$ (поскольку $a \ne 0$) и $a+2 \ne -(2-a)$ (поскольку $a+2 \ne a-2$ невозможно).
Следовательно, при $0 < a < 2$ уравнение имеет 4 корня.

Случай 4: $a = 2$
Уравнение (1) принимает вид $|x| = 2 + 2 = 4$, откуда $x = \pm 4$ (два корня).
Уравнение (2) принимает вид $|x| = 2 - 2 = 0$, откуда $x = 0$ (один корень).
Всего при $a=2$ уравнение имеет 3 корня.

Случай 5: $a > 2$
В уравнении (1) $|x| = a + 2$. Так как $a > 2$, то $a + 2 > 4$. Уравнение имеет два различных корня: $x = \pm(a+2)$.
В уравнении (2) $|x| = 2 - a$. Так как $a > 2$, то $2 - a < 0$. Уравнение $|x| = 2-a$ корней не имеет, так как модуль числа не может быть отрицательным.
Следовательно, при $a > 2$ уравнение имеет 2 корня.

Ответ:
при $a < 0$ корней нет;
при $a = 0$ — 2 корня;
при $0 < a < 2$ — 4 корня;
при $a = 2$ — 3 корня;
при $a > 2$ — 2 корня.

Для решения уравнения $|x - 1| + |x - 3| = a$ используем метод интервалов. Выражения под знаком модуля, $x-1$ и $x-3$, обращаются в ноль при $x=1$ и $x=3$. Эти точки разбивают числовую прямую на три промежутка: $(-\infty, 1)$, $[1, 3]$ и $(3, +\infty)$.

Случай 1: $x < 1$
На этом промежутке оба выражения под модулем отрицательны: $x-1 < 0$ и $x-3 < 0$. Раскрываем модули со знаком минус: $|x-1| = -(x-1) = 1-x$ и $|x-3| = -(x-3) = 3-x$.
Уравнение принимает вид: $(1-x) + (3-x) = a$, что упрощается до $4 - 2x = a$.
Отсюда $2x = 4-a$, и $x = \frac{4-a}{2} = 2 - \frac{a}{2}$.
Этот корень принадлежит рассматриваемому промежутку $x < 1$, если выполнено неравенство $2 - \frac{a}{2} < 1$, откуда $1 < \frac{a}{2}$, то есть $a > 2$.

Случай 2: $1 \le x \le 3$
На этом отрезке $x-1 \ge 0$ и $x-3 \le 0$. Раскрываем модули: $|x-1| = x-1$ и $|x-3| = -(x-3) = 3-x$.
Уравнение принимает вид: $(x-1) + (3-x) = a$, что упрощается до $2 = a$.
Это означает, что если параметр $a=2$, то уравнение становится тождеством $2=2$ для любого $x$ из отрезка $[1, 3]$. Таким образом, решением является весь отрезок $x \in [1, 3]$.
Если же $a \ne 2$, то уравнение $2=a$ неверно, и на этом промежутке корней нет.

Случай 3: $x > 3$
На этом промежутке оба выражения под модулем положительны: $x-1 > 0$ и $x-3 > 0$. Раскрываем модули со знаком плюс: $|x-1| = x-1$ и $|x-3| = x-3$.
Уравнение принимает вид: $(x-1) + (x-3) = a$, что упрощается до $2x - 4 = a$.
Отсюда $2x = a+4$, и $x = \frac{a+4}{2} = 2 + \frac{a}{2}$.
Этот корень принадлежит рассматриваемому промежутку $x > 3$, если выполнено неравенство $2 + \frac{a}{2} > 3$, откуда $\frac{a}{2} > 1$, то есть $a > 2$.

Подведем итоги.
Левая часть уравнения $|x-1| + |x-3|$ представляет собой сумму расстояний от точки $x$ до точек 1 и 3 на числовой оси. Минимальное значение этой суммы равно расстоянию между точками 1 и 3, то есть $3-1=2$. Это значение достигается при $x \in [1, 3]$. Следовательно, при $a < 2$ уравнение не может иметь решений.

Ответ:
при $a < 2$ корней нет;
при $a = 2$ решением является любой $x \in [1, 3]$;
при $a > 2$ уравнение имеет два корня: $x_1 = 2 - \frac{a}{2}$ и $x_2 = 2 + \frac{a}{2}$.

34.40. При каких значениях параметра $a$ графики функций $y = a|x + 1|$ и $y = x + a^2|x|$ пересекаются в трёх точках?

Чтобы найти значения параметра $a$, при которых графики функций пересекаются в трёх точках, необходимо решить уравнение $a|x+1| = x + a^2|x|$ и найти, при каких $a$ оно имеет ровно три решения.

Для решения уравнения раскроем модули. Это разбивает числовую ось на три промежутка: $(-\infty, -1)$, $[-1, 0)$ и $[0, \infty)$.

1. При $x \ge 0$

На этом промежутке $|x| = x$ и $|x+1| = x+1$. Уравнение принимает вид:

$a(x+1) = x + a^2x$

$ax + a = x(1 + a^2)$

$a = x(a^2 - a + 1)$

Квадратный трёхчлен $a^2 - a + 1$ имеет отрицательный дискриминант ($D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = -3$) и положительный старший коэффициент, поэтому он всегда положителен. Следовательно, можно выразить $x$:

$x_1 = \frac{a}{a^2 - a + 1}$

Решение $x_1$ должно принадлежать рассматриваемому промежутку, то есть $x_1 \ge 0$. Так как знаменатель всегда положителен, это неравенство эквивалентно $a \ge 0$.Если $a=0$, исходное уравнение превращается в $0 = x$, которое имеет единственное решение. Нам требуется три решения, поэтому случай $a=0$ не подходит.Таким образом, при $a > 0$ на промежутке $[0, \infty)$ существует ровно одно решение.

2. При $-1 \le x < 0$

На этом промежутке $|x| = -x$ и $|x+1| = x+1$. Уравнение принимает вид:

$a(x+1) = x - a^2x$

$ax + a = x(1 - a^2)$

$a = x(1 - a^2 - a)$

Если $1 - a - a^2 \ne 0$ (то есть $a \ne \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{2}$), то:

$x_2 = \frac{a}{1 - a - a^2}$

Это решение должно удовлетворять условию $-1 \le x_2 < 0$. Решая систему неравенств $\begin{cases} \frac{a}{1-a-a^2} < 0 \\ \frac{a}{1-a-a^2} \ge -1 \end{cases}$ методом интервалов, находим, что решение существует при $a \in [-1, 0) \cup [1, \infty)$.

3. При $x < -1$

На этом промежутке $|x| = -x$ и $|x+1| = -(x+1)$. Уравнение принимает вид:

$-a(x+1) = x - a^2x$

$-ax - a = x(1 - a^2)$

$-a = x(1 - a^2 + a)$

Если $1 + a - a^2 \ne 0$ (то есть $a \ne \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}$), то:

$x_3 = \frac{-a}{1 + a - a^2}$

Это решение должно удовлетворять условию $x_3 < -1$. Решая неравенство $\frac{-a}{1+a-a^2} < -1$, которое после преобразований сводится к $\frac{1-a^2}{1+a-a^2} < 0$, методом интервалов находим, что решение существует при $a \in (-1, \frac{1-\sqrt{5}}{2}) \cup (1, \frac{1+\sqrt{5}}{2})$.

Сводка результатов и окончательное решение

Чтобы уравнение имело ровно три решения, необходимо, чтобы существовало по одному решению на каждом из трёх непересекающихся промежутков. Для этого найдём значения $a$, удовлетворяющие всем трём условиям одновременно:

1. $a > 0$ (для корня $x_1 \ge 0$)
2. $a \in [-1, 0) \cup [1, \infty)$ (для корня $x_2 \in [-1, 0)$)
3. $a \in (-1, \frac{1-\sqrt{5}}{2}) \cup (1, \frac{1+\sqrt{5}}{2})$ (для корня $x_3 < -1$)

Найдём пересечение этих трёх множеств.Из условия (1) следует, что $a > 0$.Тогда из условия (2) остаётся $a \in [1, \infty)$.Из условия (3) остаётся $a \in (1, \frac{1+\sqrt{5}}{2})$.Пересекая полученные множества $a \in [1, \infty)$ и $a \in (1, \frac{1+\sqrt{5}}{2})$, получаем окончательный результат.

Ответ: $a \in (1, \frac{1+\sqrt{5}}{2})$.

34.41. При каких значениях параметра a система уравнений

$\begin{cases}|x^2 - 7x + 6| + x^2 + 5x + 6 - 12|x| = 0, \\x^2 - 2(a - 2)x + a(a - 4) = 0\end{cases}$

имеет два решения?

Для того чтобы система имела два решения, необходимо найти все значения параметра $a$, при которых ровно два значения $x$ удовлетворяют обоим уравнениям системы.

1. Решим первое уравнение системы:

Рассмотрим первое уравнение, которое не зависит от параметра $a$:$|x^2 - 7x + 6| + x^2 + 5x + 6 - 12|x| = 0$Решим это уравнение, рассмотрев два случая в зависимости от знака $x$.

Случай 1: $x \ge 0$.При $x \ge 0$ имеем $|x| = x$. Уравнение принимает вид:$|x^2 - 7x + 6| + x^2 + 5x + 6 - 12x = 0$$|x^2 - 7x + 6| + (x^2 - 7x + 6) = 0$Пусть $y = x^2 - 7x + 6$. Тогда уравнение становится $|y| + y = 0$. Это равенство верно тогда и только тогда, когда $y \le 0$.Следовательно, нам нужно решить неравенство:$x^2 - 7x + 6 \le 0$Корнями квадратного трехчлена $x^2 - 7x + 6$ являются $x_1 = 1$ и $x_2 = 6$. Так как ветви параболы направлены вверх, неравенство выполняется при $x \in [1, 6]$. Все значения из этого промежутка удовлетворяют условию $x \ge 0$.

Случай 2: $x < 0$.При $x < 0$ имеем $|x| = -x$. Уравнение принимает вид:$|x^2 - 7x + 6| + x^2 + 5x + 6 - 12(-x) = 0$$|x^2 - 7x + 6| + x^2 + 17x + 6 = 0$Для $x < 0$ выражение под модулем $x^2 - 7x + 6$ всегда положительно (вершина параболы в точке $x=3.5$, и при $x=0$ значение равно 6). Поэтому $|x^2 - 7x + 6| = x^2 - 7x + 6$.Подставим это в уравнение:$(x^2 - 7x + 6) + (x^2 + 17x + 6) = 0$$2x^2 + 10x + 12 = 0$$x^2 + 5x + 6 = 0$Корнями этого уравнения являются $x_3 = -2$ и $x_4 = -3$. Оба корня удовлетворяют условию $x < 0$.

Объединив решения из обоих случаев, получаем множество решений первого уравнения: $S_1 = \{-3, -2\} \cup [1, 6]$.

2. Решим второе уравнение системы:

Рассмотрим второе уравнение:$x^2 - 2(a - 2)x + a(a - 4) = 0$Это квадратное уравнение относительно $x$. Найдем его дискриминант:$D = (-2(a - 2))^2 - 4 \cdot 1 \cdot a(a - 4) = 4(a^2 - 4a + 4) - 4(a^2 - 4a) = 4a^2 - 16a + 16 - 4a^2 + 16a = 16$.Так как $D = 16 > 0$, уравнение всегда имеет два различных корня.Найдем корни:$x = \frac{2(a - 2) \pm \sqrt{16}}{2} = \frac{2(a - 2) \pm 4}{2} = (a - 2) \pm 2$Корни второго уравнения: $x_1 = a - 2 - 2 = a - 4$ и $x_2 = a - 2 + 2 = a$.Множество решений второго уравнения: $S_2 = \{a - 4, a\}$.

3. Найдем значения параметра $a$.

Система имеет ровно два решения, если оба корня второго уравнения, $a - 4$ и $a$, принадлежат множеству решений первого уравнения $S_1$. То есть, должно выполняться условие $\{a - 4, a\} \subset S_1$.Это эквивалентно системе условий:$$\begin{cases}a \in \{-3, -2\} \cup [1, 6] \\a - 4 \in \{-3, -2\} \cup [1, 6]\end{cases}$$Рассмотрим возможные случаи для $a$.

Случай A: $a \in [1, 6]$.Тогда для $a - 4$ должны выполняться следующие условия:1) $a - 4 \in \{-3, -2\}$ - Если $a - 4 = -3$, то $a = 1$. Это значение принадлежит отрезку $[1, 6]$. Следовательно, $a=1$ является решением. При $a=1$ корни второго уравнения $x=1$ и $x=-3$ принадлежат $S_1$. - Если $a - 4 = -2$, то $a = 2$. Это значение принадлежит отрезку $[1, 6]$. Следовательно, $a=2$ является решением. При $a=2$ корни второго уравнения $x=2$ и $x=-2$ принадлежат $S_1$.2) $a - 4 \in [1, 6]$ - Это неравенство $1 \le a - 4 \le 6$ эквивалентно $5 \le a \le 10$. - Поскольку мы рассматриваем случай $a \in [1, 6]$, то пересечением является промежуток $a \in [5, 6]$. Для любого $a$ из этого промежутка оба корня $a$ и $a-4$ принадлежат отрезку $[1, 6]$, а значит и множеству $S_1$.

Случай B: $a \in \{-3, -2\}$.1) Если $a = -3$, то $a - 4 = -7$. $-3 \in S_1$, но $-7 \notin S_1$. Этот случай дает только одно решение системы ($x=-3$).2) Если $a = -2$, то $a - 4 = -6$. $-2 \in S_1$, но $-6 \notin S_1$. Этот случай также дает только одно решение системы ($x=-2$).

Объединяя все найденные значения $a$, получаем, что система имеет два решения при $a=1$, $a=2$ и $a \in [5, 6]$.

Ответ: $a \in \{1, 2\} \cup [5, 6]$.

34.42. При каких значениях параметра $a$ система уравнений $\begin{cases} ax^2 + a - 1 = y - |\sin x| \\ |\operatorname{tg} x| + |y| = 1 \end{cases}$ имеет единственное решение?

Заданная система уравнений:

$ \begin{cases} ax^2 + a - 1 = y - |\sin x| \\ |\tg x| + |y| = 1 \end{cases} $

Проанализируем систему на предмет четности. Функции $f_1(x) = x^2$, $f_2(x) = |\sin x|$ и $f_3(x) = |\tg x|$ являются четными, так как $f(-x) = f(x)$ для любой из них.

Перепишем первое уравнение в виде $y = ax^2 + |\sin x| + a - 1$.

Пусть пара $(x_0, y_0)$ является решением системы. Проверим, будет ли пара $(-x_0, y_0)$ также являться решением.

Подставим $(-x_0, y_0)$ в первое уравнение: $a(-x_0)^2 + a - 1 = y_0 - |\sin(-x_0)|$ $ax_0^2 + a - 1 = y_0 - |-\sin x_0|$ $ax_0^2 + a - 1 = y_0 - |\sin x_0|$ Это уравнение совпадает с исходным для пары $(x_0, y_0)$, значит, оно выполняется.

Подставим $(-x_0, y_0)$ во второе уравнение: $|\tg(-x_0)| + |y_0| = 1$ $|-\tg x_0| + |y_0| = 1$ $|\tg x_0| + |y_0| = 1$ Это уравнение также совпадает с исходным для пары $(x_0, y_0)$ и, следовательно, выполняется.

Таким образом, если $(x_0, y_0)$ — решение системы и $x_0 \neq 0$, то $(-x_0, y_0)$ — также решение системы. В этом случае система будет иметь как минимум два решения.

Для того чтобы система имела единственное решение, необходимо, чтобы для этого решения выполнялось условие $x_0 = -x_0$, то есть $x_0 = 0$.

Найдем, при каких значениях параметра $a$ возможно существование решения с $x=0$. Подставим $x=0$ в систему уравнений:

$ \begin{cases} a(0)^2 + a - 1 = y - |\sin 0| \\ |\tg 0| + |y| = 1 \end{cases} $

Упрощая, получаем:

$ \begin{cases} a - 1 = y \\ |y| = 1 \end{cases} $

Из этой системы следует, что $|a-1| = 1$. Это уравнение имеет два решения: $a - 1 = 1 \implies a = 2$ или $a - 1 = -1 \implies a = 0$.

Мы нашли необходимые условия для параметра $a$. Теперь нужно проверить, является ли это условие достаточным, то есть действительно ли при этих значениях $a$ система будет иметь единственное решение.

Случай 1: $a=0$

При $a=0$ система принимает вид: $ \begin{cases} -1 = y - |\sin x| \\ |\tg x| + |y| = 1 \end{cases} $

Из первого уравнения выразим $y$: $y = |\sin x| - 1$. Подставим это выражение для $y$ во второе уравнение: $|\tg x| + | |\sin x| - 1 | = 1$.

Поскольку $0 \le |\sin x| \le 1$, выражение $|\sin x| - 1$ всегда будет неположительным ($|\sin x| - 1 \le 0$). Следовательно, $||\sin x| - 1| = - (|\sin x| - 1) = 1 - |\sin x|$.

Уравнение принимает вид: $|\tg x| + 1 - |\sin x| = 1$, откуда $|\tg x| = |\sin x|$.

Решим это уравнение. Учитывая, что $|\tg x| = \frac{|\sin x|}{|\cos x|}$ (при условии $\cos x \neq 0$), получаем $\frac{|\sin x|}{|\cos x|} = |\sin x|$.

Это равенство может выполняться в двух случаях. Первый случай: $|\sin x| = 0$. Это происходит при $x = k\pi$, где $k \in \mathbb{Z}$. При этих значениях $\cos x = \pm 1 \neq 0$, так что $\tg x$ определен и равен 0. Равенство $0=0$ выполняется. Второй случай: $|\sin x| \neq 0$. Тогда можно разделить обе части на $|\sin x|$ и получить $\frac{1}{|\cos x|} = 1$, что означает $|\cos x| = 1$. Это, в свою очередь, означает, что $\sin x = 0$, что возвращает нас к первому случаю.

Таким образом, решениями уравнения $|\tg x| = |\sin x|$ являются все $x = k\pi$ для $k \in \mathbb{Z}$. Для каждого такого $x$ мы можем найти $y$: $y = |\sin(k\pi)| - 1 = 0 - 1 = -1$. Система имеет бесконечное множество решений вида $(k\pi, -1)$ для любого целого $k$. Например, $(0, -1)$, $(\pi, -1)$, $(2\pi, -1)$, и т.д. Следовательно, значение $a=0$ не подходит.

Случай 2: $a=2$

При $a=2$ система принимает вид: $ \begin{cases} 2x^2 + 2 - 1 = y - |\sin x| \\ |\tg x| + |y| = 1 \end{cases} $

Упростим первое уравнение: $y = 2x^2 + |\sin x| + 1$.

Проанализируем это выражение для $y$. Так как $x^2 \ge 0$ и $|\sin x| \ge 0$, то $y = 2x^2 + |\sin x| + 1 \ge 2(0) + 0 + 1 = 1$. Итак, $y \ge 1$. Это означает, что $y$ всегда положителен, и $|y| = y$.

Подставим $|y|=y$ во второе уравнение системы: $|\tg x| + y = 1$, откуда $y = 1 - |\tg x|$.

Теперь у нас есть два выражения для $y$, приравняем их: $2x^2 + |\sin x| + 1 = 1 - |\tg x|$ $2x^2 + |\sin x| + |\tg x| = 0$

Рассмотрим слагаемые в левой части уравнения. Слагаемое $2x^2 \ge 0$, причем равенство нулю достигается только при $x=0$. Слагаемое $|\sin x| \ge 0$, причем равенство нулю достигается при $x=k\pi$, $k \in \mathbb{Z}$. Слагаемое $|\tg x| \ge 0$, причем равенство нулю достигается при $x=k\pi$, $k \in \mathbb{Z}$ (где $\tg x$ определен). Сумма трех неотрицательных слагаемых равна нулю тогда и только тогда, когда каждое из них равно нулю.

$ \begin{cases} 2x^2 = 0 \\ |\sin x| = 0 \\ |\tg x| = 0 \end{cases} $

Единственное значение $x$, которое удовлетворяет всем трем уравнениям одновременно, это $x=0$. Таким образом, при $a=2$ система имеет решения только при $x=0$. Найдем соответствующее значение $y$. Подставим $x=0$ в любое из выражений для $y$: $y = 2(0)^2 + |\sin 0| + 1 = 1$.

Следовательно, при $a=2$ система имеет единственное решение $(0, 1)$.

Ответ: $a=2$.

34.43. При каких положительных значениях параметра $a$ неравенство $2x^2 - a \ln x < 0$ имеет хотя бы одно решение?

Задано неравенство $2x^2 - a \ln x < 0$. По условию, параметр $a$ является положительным, то есть $a > 0$. Область допустимых значений для переменной $x$ определяется наличием натурального логарифма, что требует $x > 0$.

Вопрос состоит в том, чтобы найти все такие значения $a > 0$, при которых неравенство имеет хотя бы одно решение. Это эквивалентно условию, что наименьшее значение функции $f(x) = 2x^2 - a \ln x$ на ее области определения $(0, +\infty)$ должно быть отрицательным. Если $\min_{x>0} f(x) < 0$, то найдется такое значение $x$, для которого $f(x) < 0$, и неравенство будет иметь решение.

Для нахождения наименьшего значения функции исследуем ее с помощью производной.
Найдем первую производную функции $f(x)$:
$f'(x) = (2x^2 - a \ln x)' = 4x - \frac{a}{x}$.

Найдем критические точки, приравняв производную к нулю:
$f'(x) = 0 \Rightarrow 4x - \frac{a}{x} = 0$.
Поскольку $x > 0$, мы можем умножить обе части уравнения на $x$:
$4x^2 - a = 0 \Rightarrow 4x^2 = a$.
Так как $a > 0$, получаем $x^2 = \frac{a}{4}$. Учитывая, что $x > 0$, находим единственную критическую точку:
$x_0 = \sqrt{\frac{a}{4}} = \frac{\sqrt{a}}{2}$.

Чтобы определить характер этой критической точки, воспользуемся второй производной:
$f''(x) = (4x - \frac{a}{x})' = 4 + \frac{a}{x^2}$.
Поскольку по условию $a > 0$ и из области определения $x > 0$, то $f''(x) = 4 + \frac{a}{x^2} > 0$ для всех $x \in (0, +\infty)$. Положительное значение второй производной на всей области определения означает, что функция $f(x)$ является выпуклой вниз (вогнутой), и, следовательно, найденная критическая точка $x_0 = \frac{\sqrt{a}}{2}$ является точкой глобального минимума.

Теперь вычислим наименьшее (минимальное) значение функции $f(x)$:
$f_{min} = f(x_0) = f\left(\frac{\sqrt{a}}{2}\right) = 2\left(\frac{\sqrt{a}}{2}\right)^2 - a \ln\left(\frac{\sqrt{a}}{2}\right)$
$f_{min} = 2\cdot\frac{a}{4} - a\left(\ln(\sqrt{a}) - \ln 2\right)$
$f_{min} = \frac{a}{2} - a\left(\frac{1}{2}\ln a - \ln 2\right)$
$f_{min} = \frac{a}{2} - \frac{a}{2}\ln a + a \ln 2$
Вынесем общий множитель $\frac{a}{2}$:
$f_{min} = \frac{a}{2}(1 - \ln a + 2\ln 2) = \frac{a}{2}(1 + \ln 4 - \ln a) = \frac{a}{2}\left(1 + \ln\frac{4}{a}\right)$.

Как мы установили ранее, для существования хотя бы одного решения исходного неравенства необходимо и достаточно, чтобы его минимальное значение было меньше нуля:
$f_{min} < 0 \Rightarrow \frac{a}{2}\left(1 + \ln\frac{4}{a}\right) < 0$.

Поскольку $a > 0$, множитель $\frac{a}{2}$ также положителен. Значит, мы можем разделить обе части неравенства на $\frac{a}{2}$, не меняя его знака:
$1 + \ln\frac{4}{a} < 0$
$\ln\frac{4}{a} < -1$.
Применяя к обеим частям потенцирование по основанию $e$ (так как $y=e^x$ — возрастающая функция), получаем:
$e^{\ln\frac{4}{a}} < e^{-1}$
$\frac{4}{a} < \frac{1}{e}$.
Так как $a > 0$ и $e > 0$, мы можем умножить обе части на $ae$, чтобы избавиться от знаменателей:
$4e < a$.

Следовательно, неравенство имеет хотя бы одно решение при всех положительных значениях параметра $a$, удовлетворяющих условию $a > 4e$.

Ответ: $a \in (4e, +\infty)$.

34.44. При каких значениях параметра $a$ уравнение $4^x + 2 = a \cdot 2^x \cdot \sin \pi x$ имеет единственный корень?

Преобразуем исходное уравнение. Так как $2^x > 0$ для любого действительного $x$, разделим обе части уравнения на $2^x$: $$ \frac{4^x + 2}{2^x} = \frac{a \cdot 2^x \cdot \sin(\pi x)}{2^x} $$ $$ 2^x + \frac{2}{2^x} = a \cdot \sin(\pi x) $$ $$ 2^x + 2^{1-x} = a \cdot \sin(\pi x) $$

Рассмотрим левую и правую части уравнения как функции от $x$: $f(x) = 2^x + 2^{1-x}$ и $g(x) = a \cdot \sin(\pi x)$. Задача состоит в том, чтобы найти все значения параметра $a$, при которых графики этих функций имеют ровно одну общую точку.

Исследуем функции на симметрию относительно вертикальной прямой $x=1/2$. Для функции $f(x)$: $f(1/2 + t) = 2^{1/2+t} + 2^{1-(1/2+t)} = 2^{1/2+t} + 2^{1/2-t}$. $f(1/2 - t) = 2^{1/2-t} + 2^{1-(1/2-t)} = 2^{1/2-t} + 2^{1/2+t}$. Видно, что $f(1/2+t) = f(1/2-t)$, следовательно, функция $f(x)$ симметрична относительно прямой $x=1/2$.

Для функции $g(x)$: $g(1/2 + t) = a \sin(\pi(1/2+t)) = a \sin(\pi/2 + \pi t) = a \cos(\pi t)$. $g(1/2 - t) = a \sin(\pi(1/2-t)) = a \sin(\pi/2 - \pi t) = a \cos(\pi t)$. Видно, что $g(1/2+t) = g(1/2-t)$, следовательно, функция $g(x)$ также симметрична относительно прямой $x=1/2$.

Поскольку обе функции, $f(x)$ и $g(x)$, симметричны относительно одной и той же прямой $x=1/2$, то если $x_0$ является корнем уравнения $f(x)=g(x)$, то и $1-x_0$ также является корнем. Чтобы корень был единственным, необходимо, чтобы он совпадал со своим симметричным образом: $x_0 = 1 - x_0$, откуда $2x_0=1$ и $x_0=1/2$.

Таким образом, единственным возможным корнем может быть только $x=1/2$. Подставим это значение в уравнение, чтобы найти соответствующее значение параметра $a$: $$ 2^{1/2} + 2^{1-1/2} = a \cdot \sin\left(\pi \cdot \frac{1}{2}\right) $$ $$ \sqrt{2} + \sqrt{2} = a \cdot \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) $$ $$ 2\sqrt{2} = a \cdot 1 $$ $$ a = 2\sqrt{2} $$

Теперь необходимо проверить, что при $a=2\sqrt{2}$ уравнение действительно имеет ровно один корень. Уравнение принимает вид: $$ 2^x + 2^{1-x} = 2\sqrt{2} \sin(\pi x) $$ Оценим левую и правую части. Для левой части (ЛЧ), используя неравенство о средних арифметическом и геометрическом для положительных чисел: ЛЧ = $2^x + 2^{1-x} \ge 2\sqrt{2^x \cdot 2^{1-x}} = 2\sqrt{2^1} = 2\sqrt{2}$. Равенство в этом неравенстве достигается только тогда, когда $2^x = 2^{1-x}$, то есть при $x=1/2$. Следовательно, ЛЧ $\ge 2\sqrt{2}$, причем ЛЧ $= 2\sqrt{2}$ только при $x=1/2$.

Для правой части (ПЧ): ПЧ = $2\sqrt{2} \sin(\pi x)$. Поскольку область значений функции синус $[-1, 1]$, то ПЧ $\le 2\sqrt{2} \cdot 1 = 2\sqrt{2}$. Равенство ПЧ $= 2\sqrt{2}$ достигается только тогда, когда $\sin(\pi x) = 1$, что верно при $\pi x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$ для $k \in \mathbb{Z}$, то есть $x = \frac{1}{2} + 2k$.

Равенство ЛЧ = ПЧ возможно только в том случае, когда обе части одновременно равны $2\sqrt{2}$. Это требует выполнения двух условий: 1) ЛЧ $= 2\sqrt{2} \implies x = 1/2$. 2) ПЧ $= 2\sqrt{2} \implies x = 1/2 + 2k$, $k \in \mathbb{Z}$. Единственное значение $x$, удовлетворяющее обоим условиям, — это $x=1/2$ (при $k=0$). Таким образом, при $a=2\sqrt{2}$ уравнение имеет единственный корень.

Ответ: $a = 2\sqrt{2}$.

34.45. Найдите все положительные значения параметра $a$, при которых неравенство $|2x + a|x| - 13| \ge 1$ выполняется для всех $x$ из отрезка $[-3; 3]$.

Исходное неравенство $|2x + a|x| - 13| \ge 1$ должно выполняться для всех $x$ из отрезка $[-3; 3]$.

Неравенство с модулем $|A| \ge B$ (при $B \ge 0$) равносильно совокупности двух неравенств:

$A \ge B$ или $A \le -B$.

Применительно к нашей задаче это означает, что для всех $x \in [-3; 3]$ должно выполняться одно из двух условий:

$2x + a|x| - 13 \ge 1 \quad \implies \quad 2x + a|x| \ge 14$

или

$2x + a|x| - 13 \le -1 \quad \implies \quad 2x + a|x| \le 12$

Введем функцию $f(x) = 2x + a|x|$. Условие задачи можно переформулировать так: для любого $x \in [-3; 3]$ значение функции $f(x)$ не должно попадать в интервал $(12; 14)$.

Рассмотрим функцию $f(x)$ на отрезке $[-3; 3]$. Так как $f(x)$ является непрерывной функцией на замкнутом промежутке, ее множество значений также является отрезком, концы которого – это наименьшее и наибольшее значения функции на данном промежутке. Обозначим их как $f_{min}$ и $f_{max}$.

Множество значений функции $f(x)$ на отрезке $[-3; 3]$ есть отрезок $[f_{min}; f_{max}]$. Условие, что это множество значений не пересекается с интервалом $(12; 14)$, означает, что должно выполняться одно из двух условий:

1. $f_{max} \le 12$ (тогда все значения функции будут не больше 12).

2. $f_{min} \ge 14$ (тогда все значения функции будут не меньше 14).

Найдем наименьшее и наибольшее значения функции $f(x) = 2x + a|x|$ на отрезке $[-3; 3]$. Экстремумы непрерывной функции на отрезке достигаются либо в критических точках, либо на концах отрезка. Раскроем модуль:

$f(x) = \begin{cases} 2x + ax = (2+a)x, & \text{если } x \ge 0 \\ 2x - ax = (2-a)x, & \text{если } x < 0 \end{cases}$

Производная функции при $x \ne 0$:

$f'(x) = \begin{cases} 2+a, & \text{если } x > 0 \\ 2-a, & \text{если } x < 0 \end{cases}$

По условию $a > 0$, поэтому $2+a > 0$, и на промежутке $(0; 3]$ функция возрастает. При $x=0$ производная не существует (это точка "излома"), поэтому $x=0$ является возможной точкой экстремума.

Таким образом, для нахождения $f_{min}$ и $f_{max}$ достаточно вычислить значения функции на концах отрезка $x=-3$, $x=3$ и в точке излома $x=0$.

$f(-3) = 2(-3) + a|-3| = -6 + 3a = 3a - 6$

$f(0) = 2(0) + a|0| = 0$

$f(3) = 2(3) + a|3| = 6 + 3a$

Теперь найдем $f_{min}$ и $f_{max}$ из этих трех значений. Поскольку $a > 0$, то $6+3a$ — наибольшее из трех значений. Следовательно, $f_{max} = 6+3a$.

Наименьшее значение — это меньшее из $f(-3)=3a-6$ и $f(0)=0$.

$f_{min} = \min(0, 3a-6)$.

Теперь вернемся к двум условиям, которые мы вывели ранее:

1. $f_{max} \le 12$

$6 + 3a \le 12$

$3a \le 6$

$a \le 2$

Учитывая, что по условию $a>0$, получаем $a \in (0; 2]$. При этих значениях $a$ наибольшее значение функции не превосходит 12, а значит, и все остальные значения функции не превосходят 12. Таким образом, неравенство $f(x) \le 12$ выполняется для всех $x \in [-3; 3]$, и исходное неравенство тоже выполняется.

2. $f_{min} \ge 14$

$\min(0, 3a-6) \ge 14$

Это неравенство не имеет решений, так как $\min(0, 3a-6)$ всегда меньше или равно нулю, а $14$ — положительное число. $0 \ge 14$ — ложно.

Таким образом, единственным условием, которое может выполняться, является $a \le 2$. Объединяя это с условием $a>0$, получаем итоговый ответ.

Ответ: $a \in (0; 2]$.

34.46. Найдите все значения параметра $a$, при которых области определения функции $y = (a^{x+0,5} + a^3 \sqrt{x} - x^{0,5+x \log_x a} - a^{3,5})^{0,5}$ принадлежит лишь одно целое число.

Найдем область определения функции. Она задается системой неравенств, учитывая свойства корней, степенных функций и логарифмов:

$\begin{cases} a^{x+0.5} + a^3 \sqrt{x} - x^{0.5+x \log_x a} - a^{3.5} \ge 0 \\ x > 0 \\ x \ne 1 \\ a > 0\end{cases}$

Преобразуем сложное выражение $x^{0.5+x \log_x a}$ в первом неравенстве. Воспользуемся свойствами степеней и логарифмов. Напомним, что $n^{\log_n m} = m$.

$x^{0.5+x \log_x a} = x^{0.5} \cdot x^{x \log_x a} = \sqrt{x} \cdot (x^{\log_x a})^x = \sqrt{x} \cdot a^x$.

Подставим это выражение обратно в первое неравенство системы:

$a^{x+0.5} + a^3 \sqrt{x} - \sqrt{x} a^x - a^{3.5} \ge 0$

Запишем степени с дробными показателями как корни и сгруппируем слагаемые:

$a^x \sqrt{a} - \sqrt{x} a^x + a^3 \sqrt{x} - a^3 \sqrt{a} \ge 0$

Вынесем общие множители за скобки:

$a^x(\sqrt{a} - \sqrt{x}) - a^3(\sqrt{a} - \sqrt{x}) \ge 0$

$(a^x - a^3)(\sqrt{a} - \sqrt{x}) \ge 0$

Произведение двух множителей неотрицательно, когда оба множителя имеют одинаковый знак (оба $\ge 0$ или оба $\le 0$). Рассмотрим три случая для параметра $a$.

1. Случай $a=1$

Неравенство принимает вид $(1^x - 1^3)(\sqrt{1} - \sqrt{x}) \ge 0$, что равносильно $0 \cdot (1 - \sqrt{x}) \ge 0$, то есть $0 \ge 0$. Это верное тождество для всех $x$ из первоначальной области определения. Таким образом, при $a=1$ область определения функции $D(y) = (0, 1) \cup (1, +\infty)$. Этот промежуток содержит бесконечно много целых чисел (2, 3, 4, ...), что не удовлетворяет условию задачи.

2. Случай $0 < a < 1$

В этом случае показательная функция $f(t)=a^t$ является убывающей, а функция $g(t)=\sqrt{t}$ — возрастающей.

Неравенство $(a^x - a^3)(\sqrt{a} - \sqrt{x}) \ge 0$ равносильно совокупности двух систем:

$\begin{cases} a^x - a^3 \ge 0 \\ \sqrt{a} - \sqrt{x} \ge 0 \end{cases}$ или $\begin{cases} a^x - a^3 \le 0 \\ \sqrt{a} - \sqrt{x} \le 0 \end{cases}$

$\begin{cases} x \le 3 \\ x \le a \end{cases}$ или $\begin{cases} x \ge 3 \\ x \ge a \end{cases}$

Так как $0 < a < 1$, то $x \le a$ из первой системы, и $x \ge 3$ из второй.Область определения для $x$ (с учетом $x>0, x \ne 1$): $x \in (0, a] \cup [3, +\infty)$.Интервал $(0, a]$ не содержит целых чисел. Интервал $[3, +\infty)$ содержит бесконечно много целых чисел (3, 4, 5, ...). Следовательно, значения $a \in (0, 1)$ не подходят.

3. Случай $a > 1$

В этом случае показательная функция $f(t)=a^t$ является возрастающей.

Неравенство $(a^x - a^3)(\sqrt{a} - \sqrt{x}) \ge 0$ равносильно совокупности двух систем:

$\begin{cases} a^x - a^3 \ge 0 \\ \sqrt{a} - \sqrt{x} \ge 0 \end{cases}$ или $\begin{cases} a^x - a^3 \le 0 \\ \sqrt{a} - \sqrt{x} \le 0 \end{cases}$

$\begin{cases} x \ge 3 \\ x \le a \end{cases}$ или $\begin{cases} x \le 3 \\ x \ge a \end{cases}$

Решение зависит от взаимного расположения $a$ и $3$.

• Если $1 < a < 3$, то первая система не имеет решений ($x \ge 3$ и $x \le a < 3$ одновременно невыполнимы), а вторая дает $a \le x \le 3$. Таким образом, область определения $x \in [a, 3]$. Чтобы в этом отрезке было ровно одно целое число, необходимо, чтобы это число было $3$. Это произойдет, если отрезок будет содержать $3$, но не будет содержать $2$. То есть $2 < a \le 3$. При $a=3$ отрезок вырождается в точку $\{3\}$, что нас устраивает. При $a \in (1, 2]$ в отрезок $[a, 3]$ попадают целые числа $2$ и $3$, что не подходит. Значит, для этого случая подходит $a \in (2, 3]$.
• Если $a=3$, то неравенство принимает вид $(3^x - 3^3)(\sqrt{3} - \sqrt{x}) \ge 0$. Решением является $x=3$. Область определения состоит из одного числа $x=3$, которое является целым. Это удовлетворяет условию.
• Если $a > 3$, то вторая система не имеет решений ($x \le 3$ и $x \ge a > 3$ невыполнимы), а первая дает $3 \le x \le a$. Таким образом, область определения $x \in [3, a]$. Чтобы в этом отрезке было ровно одно целое число, необходимо, чтобы это число было $3$. Это произойдет, если отрезок будет содержать $3$, но не будет содержать $4$. То есть $3 \le 3$ (верно) и $a < 4$. Значит, для этого случая подходит $a \in (3, 4)$.

Объединим все найденные решения для $a > 1$: $a \in (2, 3] \cup (3, 4)$. Это дает нам интервал $a \in (2, 4)$.

Ответ: $a \in (2, 4)$

34.47. Известно, что уравнение $(2a + 3)x^2 + ax + 3x + 1 = 0$ имеет хотя бы один корень. При каких значениях параметра $a$ число корней этого уравнения равно числу корней уравнения $\frac{21 - a}{1 + 2x} = 3 + \sqrt{x - 3}$?

Для решения задачи проанализируем каждое уравнение по отдельности, определим количество их корней в зависимости от параметра $a$, а затем найдем значения $a$, при которых это количество совпадает.

1. Анализ первого уравнения

Рассмотрим первое уравнение $(2a + 3)x^2 + ax + 3x + 1 = 0$. Перепишем его, сгруппировав коэффициенты при $x$: $(2a + 3)x^2 + (a + 3)x + 1 = 0$.

Это уравнение может быть линейным или квадратным в зависимости от коэффициента при $x^2$.

Случай 1: Уравнение линейное.
Это происходит, когда $2a + 3 = 0$, то есть $a = -1.5$.
Подставим это значение в уравнение: $0 \cdot x^2 + (-1.5 + 3)x + 1 = 0$, что дает $1.5x + 1 = 0$.
Отсюда $x = -1 / 1.5 = -2/3$.
При $a = -1.5$ уравнение имеет один корень.

Случай 2: Уравнение квадратное.
Это происходит, когда $2a + 3 \neq 0$, то есть $a \neq -1.5$.
Число корней зависит от знака дискриминанта $D$:
$D = (a + 3)^2 - 4 \cdot (2a + 3) \cdot 1 = a^2 + 6a + 9 - 8a - 12 = a^2 - 2a - 3$.
Найдем корни квадратного трехчлена $a^2 - 2a - 3 = 0$. По теореме Виета, $a_1 = 3$ и $a_2 = -1$.
• Уравнение имеет два корня, если $D > 0$, то есть $a^2 - 2a - 3 > 0$. Это выполняется при $a \in (-\infty, -1) \cup (3, \infty)$. С учетом $a \neq -1.5$, получаем, что два корня существуют при $a \in (-\infty, -1.5) \cup (-1.5, -1) \cup (3, \infty)$.
• Уравнение имеет один корень, если $D = 0$, то есть при $a = 3$ или $a = -1$.
• Уравнение не имеет корней, если $D < 0$, то есть при $a \in (-1, 3)$.

По условию задачи, первое уравнение имеет хотя бы один корень. Это означает, что мы должны исключить интервал $a \in (-1, 3)$. Таким образом, допустимые значения параметра $a$ для первого уравнения принадлежат множеству $(-\infty, -1] \cup [3, \infty)$.

Соберем информацию о числе корней первого уравнения ($N_1$):
• $N_1 = 1$ при $a \in \{-1.5, -1, 3\}$.
• $N_1 = 2$ при $a \in (-\infty, -1.5) \cup (-1.5, -1) \cup (3, \infty)$.

2. Анализ второго уравнения

Рассмотрим второе уравнение $\frac{21 - a}{1 + 2x} = 3 + \sqrt{x - 3}$.

Найдем его область допустимых значений (ОДЗ) для переменной $x$:
1. Выражение под корнем должно быть неотрицательным: $x - 3 \ge 0 \implies x \ge 3$.
2. Знаменатель дроби не должен быть равен нулю: $1 + 2x \neq 0 \implies x \neq -0.5$. Это условие автоматически выполняется, так как $x \ge 3$.
Итак, ОДЗ: $x \ge 3$.

Проанализируем поведение функций в левой и правой частях уравнения на ОДЗ.
Правая часть $g(x) = 3 + \sqrt{x - 3}$ является строго возрастающей функцией на $[3, \infty)$. Ее наименьшее значение достигается при $x=3$ и равно $g(3) = 3$.
Левая часть $f(x) = \frac{21 - a}{1 + 2x}$. На ОДЗ знаменатель $1+2x$ всегда положителен.
• Если $21 - a \le 0$ (то есть $a \ge 21$), то $f(x) \le 0$. Поскольку $g(x) \ge 3$, равенство $f(x) = g(x)$ невозможно. В этом случае уравнение не имеет корней.
• Если $21 - a > 0$ (то есть $a < 21$), то $f(x)$ является положительной и строго убывающей функцией на $[3, \infty)$, так как ее производная $f'(x) = \frac{-2(21-a)}{(1+2x)^2} < 0$.

Так как на ОДЗ одна функция ($g(x)$) строго возрастает, а другая ($f(x)$) строго убывает, уравнение может иметь не более одного корня. Корень существует тогда и только тогда, когда значение убывающей функции в начальной точке ОДЗ ($x=3$) больше или равно значению возрастающей функции в этой же точке, то есть $f(3) \ge g(3)$.
$\frac{21 - a}{1 + 2 \cdot 3} \ge 3 + \sqrt{3-3}$
$\frac{21 - a}{7} \ge 3$
$21 - a \ge 21$
$-a \ge 0 \implies a \le 0$.

Соберем информацию о числе корней второго уравнения ($N_2$):
• $N_2 = 1$ при $a \le 0$.
• $N_2 = 0$ при $a > 0$.

3. Нахождение значений параметра 𝑎

Нам нужно найти такие значения $a$, при которых число корней первого уравнения равно числу корней второго ($N_1 = N_2$), с учетом, что $a \in (-\infty, -1] \cup [3, \infty)$.

Случай 1: $N_1 = N_2 = 1$.
$N_1 = 1$ при $a \in \{-1.5, -1, 3\}$.
$N_2 = 1$ при $a \le 0$.
Пересечение этих условий дает значения $a = -1.5$ и $a = -1$. Оба этих значения принадлежат множеству допустимых значений $a$. Значит, они являются решениями.

Случай 2: $N_1 = N_2 = 2$.
Число корней второго уравнения никогда не может быть равно 2. Решений в этом случае нет.

Случай 3: $N_1 = N_2 = 0$.
Этот случай противоречит условию задачи, так как первое уравнение должно иметь хотя бы один корень.

Следовательно, единственными значениями параметра, удовлетворяющими всем условиям, являются $a = -1.5$ и $a = -1$.

Ответ: $a = -1.5; a = -1$.

34.48. Найдите все значения параметра $a$, при которых уравнения $x^2 + 2x + 7 - 2a = 0$ и $\frac{2x+1}{a-2} = \frac{3}{\sqrt[4]{x-3} + \ln(x-2)}$ одновременно не имеют корней.

Для решения задачи необходимо найти значения параметра $a$, при которых каждое из двух данных уравнений не имеет корней, а затем найти пересечение этих множеств значений.

1. Анализ первого уравнения: $x^2 + 2x + 7 - 2a = 0$

Это квадратное уравнение относительно переменной $x$. Уравнение не имеет действительных корней, если его дискриминант $D$ отрицателен.

Вычислим дискриминант. Удобнее использовать формулу для четверти дискриминанта $D/4 = (b/2)^2 - ac$, где коэффициенты $A=1$, $b=2$, $c=7-2a$.
$D/4 = 1^2 - 1 \cdot (7 - 2a) = 1 - 7 + 2a = 2a - 6$.

Условие отсутствия корней: $D/4 < 0$.
$2a - 6 < 0$
$2a < 6$
$a < 3$

Следовательно, первое уравнение не имеет корней при $a \in (-\infty; 3)$.

2. Анализ второго уравнения: $\frac{2x + 1}{a - 2} = \frac{3}{\sqrt[4]{x - 3} + \ln(x - 2)}$

Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ) для переменной $x$ в этом уравнении.

• Подкоренное выражение в знаменателе должно быть неотрицательным: $x - 3 \ge 0 \Rightarrow x \ge 3$.
• Аргумент натурального логарифма должен быть строго положительным: $x - 2 > 0 \Rightarrow x > 2$.
• Знаменатель дроби в правой части не должен быть равен нулю: $\sqrt[4]{x - 3} + \ln(x - 2) \ne 0$.
  При $x \ge 3$ имеем $\sqrt[4]{x-3} \ge 0$ и $x-2 \ge 1$, откуда $\ln(x-2) \ge \ln(1) = 0$. Сумма двух неотрицательных слагаемых равна нулю только в том случае, если оба они равны нулю одновременно. $\sqrt[4]{x-3}=0$ при $x=3$, и $\ln(x-2)=0$ (то есть $x-2=1$) также при $x=3$. Таким образом, знаменатель обращается в ноль только при $x=3$.

Объединяя все условия, получаем, что ОДЗ для $x$ во втором уравнении: $x > 3$.

Теперь проанализируем знаки обеих частей уравнения для $x \in (3; +\infty)$.
Правая часть: числитель $3$ положителен. Знаменатель $\sqrt[4]{x - 3} + \ln(x - 2)$ при $x>3$ является суммой двух положительных слагаемых ($\sqrt[4]{x-3}>0$ и $\ln(x-2)>\ln(1)=0$), следовательно, он строго положителен. Значит, вся правая часть уравнения всегда положительна при любом допустимом $x$.

Левая часть: $\frac{2x + 1}{a - 2}$. При $x > 3$ числитель $2x + 1$ всегда положителен. Для того чтобы равенство могло выполняться, левая часть уравнения также должна быть положительной. Это возможно только в том случае, если ее знаменатель тоже положителен, то есть $a - 2 > 0$, что эквивалентно $a > 2$.

Таким образом, если $a \le 2$, то левая часть уравнения будет либо отрицательной (при $a < 2$), либо не определена (при $a=2$), в то время как правая часть всегда положительна. В этом случае равенство невозможно, и уравнение не имеет решений.

Следовательно, второе уравнение не имеет корней при $a \in (-\infty; 2]$.

3. Объединение результатов

Мы ищем значения параметра $a$, при которых оба уравнения одновременно не имеют корней. Для этого найдем пересечение полученных множеств значений $a$.
- Первое уравнение не имеет корней при: $a < 3$, то есть $a \in (-\infty; 3)$.
- Второе уравнение не имеет корней при: $a \le 2$, то есть $a \in (-\infty; 2]$.

Пересечением этих двух множеств является $(-\infty; 3) \cap (-\infty; 2] = (-\infty; 2]$.

Ответ: $a \in (-\infty; 2]$.

34.49. Найдите значения параметра $a$, при каждом из которых в множестве значений функции $y = \frac{x^2 - 2x - a}{x^2 + 6}$ содержится только одно целое число.

Чтобы найти множество значений функции $y = \frac{x^2 - 2x - a}{x^2 + 6}$, рассмотрим это выражение как уравнение относительно $x$ при заданном $y$.

$y(x^2 + 6) = x^2 - 2x - a$
$yx^2 + 6y = x^2 - 2x - a$
Перегруппируем члены, чтобы получить квадратное уравнение относительно $x$:
$(y-1)x^2 + 2x + (6y + a) = 0$

Это уравнение должно иметь хотя бы одно действительное решение для $x$, чтобы значение $y$ принадлежало множеству значений функции.

Случай 1: Коэффициент при $x^2$ равен нулю.
Если $y-1=0$, то есть $y=1$, уравнение становится линейным:
$2x + (6(1) + a) = 0$
$2x + 6 + a = 0$
Это уравнение всегда имеет единственное решение $x = -\frac{a+6}{2}$. Следовательно, $y=1$ всегда принадлежит множеству значений функции при любом значении параметра $a$.

Случай 2: Коэффициент при $x^2$ не равен нулю.
Если $y \neq 1$, уравнение $(y-1)x^2 + 2x + (6y + a) = 0$ является квадратным. Оно имеет действительные корни тогда и только тогда, когда его дискриминант $D$ неотрицателен ($D \ge 0$).
$D = 2^2 - 4(y-1)(6y+a) = 4 - 4(6y^2 + ay - 6y - a) \ge 0$
$1 - (6y^2 + (a-6)y - a) \ge 0$
$1 - 6y^2 - (a-6)y + a \ge 0$
$-6y^2 - (a-6)y + (a+1) \ge 0$
Умножим обе части на -1 и изменим знак неравенства:
$6y^2 + (a-6)y - (a+1) \le 0$

Множество значений $y$ представляет собой решение этого квадратного неравенства. Графиком функции $f(y) = 6y^2 + (a-6)y - (a+1)$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Следовательно, неравенство $f(y) \le 0$ выполняется на отрезке между корнями $y_1$ и $y_2$ уравнения $f(y)=0$. Таким образом, множество значений функции $y(x)$ — это отрезок $[y_{min}, y_{max}]$.

По условию, в этом множестве значений должно содержаться только одно целое число. Так как мы выяснили, что $y=1$ всегда принадлежит множеству значений, то этим единственным целым числом должно быть 1.

Это означает, что отрезок $[y_{min}, y_{max}]$ должен содержать число 1, но не должен содержать другие целые числа, в частности 0 и 2. Это условие будет выполнено, если множество значений будет находиться строго между 0 и 2, то есть $0 < y_{min}$ и $y_{max} < 2$.

Условия $0 < y_{min}$ и $y_{max} < 2$ означают, что оба корня квадратного уравнения $6y^2 + (a-6)y - (a+1) = 0$ должны лежать в интервале $(0, 2)$.

Для того чтобы оба корня квадратного трехчлена $f(y) = 6y^2 + (a-6)y - (a+1)$ (с положительным старшим коэффициентом) лежали в интервале $(0, 2)$, должна выполняться система условий:
1. Дискриминант должен быть положительным. $D_y = (a-6)^2 - 4(6)(-(a+1)) = a^2 - 12a + 36 + 24a + 24 = a^2 + 12a + 60$. Дискриминант этого квадратного трехчлена относительно $a$ равен $12^2 - 4 \cdot 60 = 144 - 240 < 0$, значит, $a^2 + 12a + 60 > 0$ при всех $a$. Условие выполнено.
2. Вершина параболы $y_v$ должна лежать в интервале $(0, 2)$:
$y_v = -\frac{a-6}{2 \cdot 6} = \frac{6-a}{12}$
$0 < \frac{6-a}{12} < 2 \implies 0 < 6-a < 24 \implies -6 < -a < 18 \implies -18 < a < 6$.
3. Значения функции $f(y)$ на концах интервала $(0, 2)$ должны быть положительными:
$f(0) > 0 \implies 6(0)^2 + (a-6)(0) - (a+1) > 0 \implies -(a+1) > 0 \implies a < -1$.
$f(2) > 0 \implies 6(2)^2 + (a-6)(2) - (a+1) > 0 \implies 24 + 2a - 12 - a - 1 > 0 \implies a + 11 > 0 \implies a > -11$.

Теперь найдем пересечение всех полученных условий на параметр $a$:
$\begin{cases} -18 < a < 6 \\ a < -1 \\ a > -11 \end{cases}$
Решением этой системы является интервал $-11 < a < -1$.

Ответ: $a \in (-11, -1)$.