Страница 217, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

34.11. При каких значениях $a$:

a) уравнение $(\log_3 a)x^2 - (2\log_3 a - 1)x + \log_3 a - 2 = 0$ имеет единственный корень;

б) уравнение $(\log_4 a)x^2 - (2\log_4 a + 1)x + \log_4 a + 2 = 0$ не имеет корней?

а) найти значения $a$, при которых уравнение $(\log_3 a)x^2 - (2\log_3 a - 1)x + \log_3 a - 2 = 0$ имеет единственный корень.

Сначала определим область допустимых значений для параметра $a$. Так как в уравнении присутствует $\log_3 a$, должно выполняться условие $a > 0$.

Для упрощения уравнения введем замену: пусть $t = \log_3 a$. Уравнение принимает вид:

$tx^2 - (2t - 1)x + (t - 2) = 0$

Данное уравнение относительно $x$ может быть линейным или квадратным в зависимости от значения $t$. Уравнение имеет единственный корень в двух случаях.

Случай 1: Уравнение является линейным.

Это происходит, когда коэффициент при $x^2$ равен нулю, то есть $t=0$.

Если $t = 0$, то $\log_3 a = 0$, откуда $a = 3^0 = 1$. Это значение удовлетворяет условию $a > 0$.

Подставим $t=0$ в уравнение:

$0 \cdot x^2 - (2 \cdot 0 - 1)x + (0 - 2) = 0$

$-(-1)x - 2 = 0$

$x - 2 = 0$

$x = 2$

В этом случае уравнение имеет один корень, поэтому значение $a=1$ является решением.

Случай 2: Уравнение является квадратным и имеет один корень.

Это происходит, когда коэффициент при $x^2$ не равен нулю ($t \ne 0$), а дискриминант $D$ равен нулю.

Вычислим дискриминант $D$ для квадратного уравнения $tx^2 - (2t - 1)x + (t - 2) = 0$:

$D = (-(2t - 1))^2 - 4 \cdot t \cdot (t - 2) = (4t^2 - 4t + 1) - (4t^2 - 8t) = 4t^2 - 4t + 1 - 4t^2 + 8t = 4t + 1$

Приравняем дискриминант к нулю:

$D = 0 \implies 4t + 1 = 0 \implies t = -1/4$

Так как $t = -1/4 \ne 0$, этот случай является случаем квадратного уравнения.

Теперь найдем соответствующее значение $a$:

$\log_3 a = t \implies \log_3 a = -1/4 \implies a = 3^{-1/4} = \frac{1}{\sqrt[4]{3}}$

Это значение также удовлетворяет условию $a > 0$.

Объединяя результаты обоих случаев, получаем, что уравнение имеет единственный корень при $a=1$ и $a = 3^{-1/4}$.

Ответ: $a = 1, a = 3^{-1/4}$.

б) найти значения $a$, при которых уравнение $(\log_4 a)x^2 - (2\log_4 a + 1)x + \log_4 a + 2 = 0$ не имеет корней.

Область допустимых значений для параметра $a$ определяется условием $a > 0$.

Введем замену: пусть $p = \log_4 a$. Уравнение примет вид:

$px^2 - (2p + 1)x + (p + 2) = 0$

Уравнение не имеет действительных корней, если оно является квадратным и его дискриминант отрицателен.

Случай 1: Уравнение является линейным.

Это происходит, когда коэффициент при $x^2$ равен нулю, то есть $p = 0$.

Если $p = 0$, то $\log_4 a = 0$, откуда $a = 4^0 = 1$.

Подставим $p=0$ в уравнение:

$0 \cdot x^2 - (2 \cdot 0 + 1)x + (0 + 2) = 0$

$-x + 2 = 0$

$x = 2$

В этом случае уравнение имеет один корень, что не удовлетворяет условию задачи (отсутствие корней).

Случай 2: Уравнение является квадратным и не имеет корней.

Это происходит, когда коэффициент при $x^2$ не равен нулю ($p \ne 0$), а дискриминант $D$ меньше нуля.

Вычислим дискриминант $D$ для квадратного уравнения $px^2 - (2p + 1)x + (p + 2) = 0$:

$D = (-(2p + 1))^2 - 4 \cdot p \cdot (p + 2) = (4p^2 + 4p + 1) - (4p^2 + 8p) = 4p^2 + 4p + 1 - 4p^2 - 8p = -4p + 1$

Чтобы корней не было, решим неравенство $D < 0$:

$-4p + 1 < 0$

$1 < 4p$

$p > 1/4$

При таких значениях $p$ условие $p \ne 0$ выполняется автоматически.

Теперь вернемся к переменной $a$:

$\log_4 a = p \implies \log_4 a > 1/4$

Так как основание логарифма $4 > 1$, логарифмическая функция является возрастающей. Поэтому, потенцируя обе части неравенства, получаем:

$a > 4^{1/4}$

Упростим правую часть: $4^{1/4} = (2^2)^{1/4} = 2^{2/4} = 2^{1/2} = \sqrt{2}$.

Следовательно, $a > \sqrt{2}$.

Ответ: $a \in (\sqrt{2}; +\infty)$.

34.12. Решите уравнение с параметром $a$:

а) $\frac{x^2 - (a - 1)x - 2a(a + 1)}{x - 3} = 0;$

б) $\frac{x}{a(x + 1)} - \frac{2}{x + 2} = \frac{3 - a^2}{a(x + 1)(x + 2)}.$

Исходное уравнение: $ \frac{x^2 - (a - 1)x - 2a(a + 1)}{x - 3} = 0 $.

Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Это равносильно системе:

$ \begin{cases} x^2 - (a - 1)x - 2a(a + 1) = 0, \\ x - 3 \neq 0. \end{cases} $

Сначала решим квадратное уравнение $ x^2 - (a - 1)x - 2a(a + 1) = 0 $ относительно $x$.

Найдем дискриминант $D$ этого уравнения:

$ D = (-(a-1))^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2a(a+1)) = (a-1)^2 + 8a(a+1) = (a^2 - 2a + 1) + (8a^2 + 8a) = 9a^2 + 6a + 1 = (3a+1)^2 $.

Так как $ D = (3a+1)^2 \ge 0 $ при любом действительном значении $a$, квадратное уравнение всегда имеет действительные корни.

Найдем корни уравнения по формуле:

$ x = \frac{-(-(a-1)) \pm \sqrt{(3a+1)^2}}{2 \cdot 1} = \frac{a-1 \pm (3a+1)}{2} $.

Отсюда получаем два корня:

$ x_1 = \frac{a-1 + 3a+1}{2} = \frac{4a}{2} = 2a $

$ x_2 = \frac{a-1 - (3a+1)}{2} = \frac{-2a-2}{2} = -a-1 $

Теперь необходимо учесть условие $ x \neq 3 $.

Рассмотрим случаи, когда один из найденных корней равен 3:

1. Корень $ x_1 $ равен 3: $ 2a = 3 \implies a = \frac{3}{2} $.
При $ a = \frac{3}{2} $ корень $ x_1=3 $ является посторонним. Проверим второй корень: $ x_2 = -a-1 = -\frac{3}{2}-1 = -\frac{5}{2} $. Так как $ -\frac{5}{2} \neq 3 $, то при $ a = \frac{3}{2} $ уравнение имеет единственный корень $ x = -\frac{5}{2} $.

2. Корень $ x_2 $ равен 3: $ -a-1 = 3 \implies -a = 4 \implies a = -4 $.
При $ a = -4 $ корень $ x_2=3 $ является посторонним. Проверим второй корень: $ x_1 = 2a = 2(-4) = -8 $. Так как $ -8 \neq 3 $, то при $ a = -4 $ уравнение имеет единственный корень $ x = -8 $.

Если $ a \neq \frac{3}{2} $ и $ a \neq -4 $, то оба корня $ x_1 = 2a $ и $ x_2 = -a-1 $ удовлетворяют условию $ x \neq 3 $ и являются решениями исходного уравнения. (Заметим, что при $ a = -\frac{1}{3} $ корни совпадают: $ x_1 = x_2 = -\frac{2}{3} $).

Ответ:
при $ a = \frac{3}{2} $ $ x = -\frac{5}{2} $;
при $ a = -4 $ $ x = -8 $;
при $ a \in \mathbb{R} \setminus \{-4, \frac{3}{2}\} $ $ x_1 = 2a, x_2 = -a-1 $.

Исходное уравнение: $ \frac{x}{a(x+1)} - \frac{2}{x+2} = \frac{3-a^2}{a(x+1)(x+2)} $.

Область допустимых значений (ОДЗ) уравнения определяется условиями, при которых знаменатели не равны нулю: $ a \neq 0 $, $ x+1 \neq 0 $ (т.е. $x \neq -1$), и $ x+2 \neq 0 $ (т.е. $x \neq -2$).

Если $ a = 0 $, уравнение не определено, следовательно, решений нет.

При $ a \neq 0 $, $x \neq -1$ и $x \neq -2$ мы можем умножить обе части уравнения на общий знаменатель $ a(x+1)(x+2) $, чтобы избавиться от дробей:

$ x(x+2) - 2a(x+1) = 3 - a^2 $

Раскроем скобки и преобразуем уравнение к стандартному виду квадратного уравнения относительно $x$:

$ x^2 + 2x - 2ax - 2a = 3 - a^2 $

$ x^2 + (2-2a)x + (a^2 - 2a - 3) = 0 $

Решим это уравнение. Можно использовать формулу для корней с четным вторым коэффициентом $ k = \frac{2-2a}{2} = 1-a $:

$ D_1 = k^2 - ac = (1-a)^2 - 1 \cdot (a^2-2a-3) = 1-2a+a^2 - a^2+2a+3 = 4 $.

$ x = \frac{-(1-a) \pm \sqrt{4}}{1} = a-1 \pm 2 $.

Получаем два корня:

$ x_1 = a-1+2 = a+1 $

$ x_2 = a-1-2 = a-3 $

Теперь необходимо проверить, при каких значениях параметра $a$ эти корни нарушают ОДЗ ($ x \neq -1 $ и $ x \neq -2 $).

1. $ x_1 = -1 \implies a+1 = -1 \implies a = -2 $. При $a=-2$ корень $ x_1=-1 $ является посторонним. Второй корень $ x_2 = a-3 = -2-3 = -5 $. Этот корень удовлетворяет ОДЗ. Значит, при $a=-2$ есть одно решение: $x=-5$.

2. $ x_1 = -2 \implies a+1 = -2 \implies a = -3 $. При $a=-3$ корень $ x_1=-2 $ является посторонним. Второй корень $ x_2 = a-3 = -3-3 = -6 $. Этот корень удовлетворяет ОДЗ. Значит, при $a=-3$ есть одно решение: $x=-6$.

3. $ x_2 = -1 \implies a-3 = -1 \implies a = 2 $. При $a=2$ корень $ x_2=-1 $ является посторонним. Второй корень $ x_1 = a+1 = 2+1=3 $. Этот корень удовлетворяет ОДЗ. Значит, при $a=2$ есть одно решение: $x=3$.

4. $ x_2 = -2 \implies a-3 = -2 \implies a = 1 $. При $a=1$ корень $ x_2=-2 $ является посторонним. Второй корень $ x_1 = a+1 = 1+1=2 $. Этот корень удовлетворяет ОДЗ. Значит, при $a=1$ есть одно решение: $x=2$.

Корни $x_1=a+1$ и $x_2=a-3$ всегда различны. Если $ a $ не принимает ни одно из значений $ \{-3, -2, 0, 1, 2\} $, то оба корня являются решениями.

Ответ:
при $ a = 0 $ решений нет;
при $ a = 1 $ $ x=2 $;
при $ a = 2 $ $ x=3 $;
при $ a = -2 $ $ x=-5 $;
при $ a = -3 $ $ x=-6 $;
при $ a \in \mathbb{R} \setminus \{-3, -2, 0, 1, 2\} $ $ x_1 = a+1, x_2 = a-3 $.

34.13. При каком значении $a$:

a) прямая $y = 6x + a$ касается графика функции $y = x^2$;

б) прямая $y = 4x$ имеет только одну общую точку с графиком функции $y = x^2 + a$?

а)

Чтобы прямая $y = 6x + a$ касалась графика функции $y = x^2$, система уравнений, описывающая их пересечение, должна иметь ровно одно решение. Это означает, что графики имеют одну общую точку.

Приравняем выражения для $y$, чтобы найти точки пересечения:

$x^2 = 6x + a$

Перенесем все члены уравнения в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$x^2 - 6x - a = 0$

Квадратное уравнение имеет ровно один корень, когда его дискриминант ($D$) равен нулю. Дискриминант для уравнения вида $Ax^2 + Bx + C = 0$ вычисляется по формуле $D = B^2 - 4AC$.

В нашем случае коэффициенты равны: $A = 1$, $B = -6$, $C = -a$.

Найдем дискриминант:

$D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-a) = 36 + 4a$

Приравняем дискриминант к нулю:

$36 + 4a = 0$

$4a = -36$

$a = \frac{-36}{4} = -9$

Таким образом, при $a = -9$ прямая и парабола имеют одну точку касания.

Ответ: $a = -9$.

б)

Чтобы прямая $y = 4x$ имела только одну общую точку с графиком функции $y = x^2 + a$, соответствующее квадратное уравнение должно иметь один корень.

Приравняем выражения для $y$:

$x^2 + a = 4x$

Приведем уравнение к стандартному виду:

$x^2 - 4x + a = 0$

Условие единственного решения — равенство дискриминанта нулю ($D=0$).

Коэффициенты этого уравнения: $A = 1$, $B = -4$, $C = a$.

Вычислим дискриминант:

$D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot a = 16 - 4a$

Приравняем дискриминант к нулю:

$16 - 4a = 0$

$4a = 16$

$a = \frac{16}{4} = 4$

Следовательно, при $a = 4$ прямая и парабола имеют ровно одну общую точку.

Ответ: $a = 4$.

34.14. При каких значениях $b$ графики функций имеют общие точки:

а) $y = x^2 - 4x + 2$ и $y = -2x + b$;

б) $y = x^2 + 6x + 7$ и $y = 2x + b$?

а) Чтобы найти значения параметра $b$, при которых графики функций $y = x^2 - 4x + 2$ и $y = -2x + b$ имеют общие точки, нужно, чтобы система уравнений имела хотя бы одно решение. Для этого приравняем правые части уравнений, так как в точках пересечения значения $y$ совпадают:
$x^2 - 4x + 2 = -2x + b$
Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение относительно $x$:
$x^2 - 4x + 2x + 2 - b = 0$
$x^2 - 2x + (2 - b) = 0$
Данное квадратное уравнение будет иметь хотя бы один действительный корень (что соответствует наличию хотя бы одной общей точки у графиков), если его дискриминант $D$ будет больше или равен нулю ($D \ge 0$).
Дискриминант для уравнения вида $ax^2 + kx + c = 0$ вычисляется по формуле $D = k^2 - 4ac$. В нашем случае коэффициенты равны: $a=1$, $k=-2$, $c=(2-b)$.
$D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (2 - b) = 4 - 8 + 4b = 4b - 4$
Теперь решим неравенство $D \ge 0$:
$4b - 4 \ge 0$
$4b \ge 4$
$b \ge 1$
Таким образом, графики функций имеют общие точки при всех значениях $b$, удовлетворяющих этому условию.
Ответ: $b \ge 1$.

б) Аналогично поступим для функций $y = x^2 + 6x + 7$ и $y = 2x + b$. Приравняем их правые части:
$x^2 + 6x + 7 = 2x + b$
Перенесем все члены в левую часть:
$x^2 + 6x - 2x + 7 - b = 0$
$x^2 + 4x + (7 - b) = 0$
Это квадратное уравнение будет иметь хотя бы одно решение, если его дискриминант $D \ge 0$. Коэффициенты этого уравнения: $a=1$, $k=4$, $c=(7-b)$.
$D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (7 - b) = 16 - 28 + 4b = 4b - 12$
Решим неравенство $D \ge 0$:
$4b - 12 \ge 0$
$4b \ge 12$
$b \ge 3$
Следовательно, графики функций имеют общие точки при всех значениях $b$, удовлетворяющих этому условию.
Ответ: $b \ge 3$.

34.15. При каких значениях $a$:

а) ось симметрии параболы $y = 2x^2 - 3ax + 2$ пересекает ось абсцисс левее точки $(-3; 0);

б) ось симметрии параболы $y = 5x^2 - 2ax + 2$ пересекает ось абсцисс правее точки $(4; 0)?

а)

Уравнение параболы задано в общем виде $y = Ax^2 + Bx + C$. Для параболы $y = 2x^2 - 3ax + 2$ коэффициенты равны $A = 2$, $B = -3a$, $C = 2$.

Ось симметрии параболы — это вертикальная прямая, проходящая через ее вершину. Уравнение оси симметрии имеет вид $x = x_0$, где $x_0$ — абсцисса вершины параболы.

Абсцисса вершины вычисляется по формуле: $x_0 = -\frac{B}{2A}$

Подставим коэффициенты данной параболы в формулу: $x_0 = -\frac{-3a}{2 \cdot 2} = \frac{3a}{4}$

Таким образом, уравнение оси симметрии для данной параболы: $x = \frac{3a}{4}$.

Согласно условию, ось симметрии пересекает ось абсцисс левее точки $(-3; 0)$. Это значит, что абсцисса оси симметрии должна быть меньше абсциссы указанной точки, то есть меньше $-3$.

Составим и решим соответствующее неравенство: $\frac{3a}{4} < -3$

Умножим обе части неравенства на 4 (знак неравенства не меняется, так как 4 > 0): $3a < -12$

Разделим обе части на 3 (знак неравенства не меняется, так как 3 > 0): $a < -4$

Ответ: $a < -4$.

б)

Рассмотрим параболу $y = 5x^2 - 2ax + 2$. Коэффициенты здесь: $A = 5$, $B = -2a$, $C = 2$.

Найдем абсциссу вершины этой параболы, чтобы определить положение ее оси симметрии: $x_0 = -\frac{B}{2A} = -\frac{-2a}{2 \cdot 5} = \frac{2a}{10} = \frac{a}{5}$

Уравнение оси симметрии: $x = \frac{a}{5}$.

По условию, ось симметрии пересекает ось абсцисс правее точки $(4; 0)$. Это означает, что абсцисса оси симметрии должна быть больше абсциссы указанной точки, то есть больше $4$.

Составим и решим неравенство: $\frac{a}{5} > 4$

Умножим обе части неравенства на 5: $a > 20$

Ответ: $a > 20$.

34.16. При каких значениях $a$:

а) вершина параболы $y = (3a + 1)x^2 + 2x - 5$ принадлежит четвёртой координатной четверти;

б) вершина параболы $y = 3x^2 + (4a - 1)x + 3$ принадлежит первой координатной четверти (координатные оси не принадлежат координатным четвертям)?

а)

Уравнение параболы: $y = (3a + 1)x^2 + 2x - 5$. Для того чтобы данное уравнение было уравнением параболы, коэффициент при $x^2$ не должен быть равен нулю, то есть $3a + 1 \neq 0$, откуда $a \neq -1/3$.

Координаты вершины параболы $(x_v, y_v)$ для квадратичной функции $y = Ax^2+Bx+C$ определяются по формулам: $x_v = - \frac{B}{2A}$ и $y_v = y(x_v)$. В нашем случае коэффициенты: $A = 3a + 1$, $B = 2$, $C = -5$.

Находим абсциссу вершины: $x_v = - \frac{2}{2(3a + 1)} = - \frac{1}{3a + 1}$.

Находим ординату вершины, подставляя $x_v$ в уравнение параболы: $y_v = (3a + 1) \left( - \frac{1}{3a + 1} \right)^2 + 2 \left( - \frac{1}{3a + 1} \right) - 5$ $y_v = (3a + 1) \frac{1}{(3a + 1)^2} - \frac{2}{3a + 1} - 5 = \frac{1}{3a + 1} - \frac{2}{3a + 1} - 5 = - \frac{1}{3a + 1} - 5$.

Вершина параболы принадлежит четвёртой координатной четверти, если её координаты удовлетворяют условиям: $x_v > 0$ и $y_v < 0$. Получаем систему неравенств: $$ \begin{cases} - \frac{1}{3a + 1} > 0 \\ - \frac{1}{3a + 1} - 5 < 0 \end{cases} $$

Решаем первое неравенство: $- \frac{1}{3a + 1} > 0 \implies \frac{1}{3a + 1} < 0$. Дробь отрицательна, когда знаменатель отрицателен (так как числитель 1 положителен). $3a + 1 < 0 \implies 3a < -1 \implies a < - \frac{1}{3}$.

Решаем второе неравенство: $- \frac{1}{3a + 1} - 5 < 0 \implies - \frac{1}{3a + 1} < 5$. Так как из первого неравенства мы знаем, что $3a + 1 < 0$, то при умножении обеих частей неравенства на $(3a+1)$ знак неравенства меняется на противоположный: $-1 > 5(3a + 1)$ $-1 > 15a + 5$ $-6 > 15a$ $15a < -6$ $a < - \frac{6}{15} \implies a < - \frac{2}{5}$.

Находим пересечение решений двух неравенств: $a < -1/3$ и $a < -2/5$. Сравним дроби: $-2/5 = -0.4$, а $-1/3 \approx -0.333$. Следовательно, $-2/5 < -1/3$. Условие $a < -2/5$ является более строгим. Пересечением является интервал $a \in (-\infty, -2/5)$. Это решение также удовлетворяет исходному условию $a \neq -1/3$.

Ответ: $a \in (-\infty; -2/5)$.

б)

Уравнение параболы: $y = 3x^2 + (4a - 1)x + 3$. Коэффициент при $x^2$ равен 3, он отличен от нуля, поэтому это уравнение задает параболу при любом значении $a$.

Координаты вершины параболы $(x_v, y_v)$. Коэффициенты: $A = 3$, $B = 4a - 1$, $C = 3$.

Находим абсциссу вершины: $x_v = - \frac{B}{2A} = - \frac{4a - 1}{2 \cdot 3} = \frac{1 - 4a}{6}$.

Находим ординату вершины по формуле $y_v = \frac{4AC - B^2}{4A}$: $y_v = \frac{4 \cdot 3 \cdot 3 - (4a - 1)^2}{4 \cdot 3} = \frac{36 - (16a^2 - 8a + 1)}{12} = \frac{36 - 16a^2 + 8a - 1}{12} = \frac{-16a^2 + 8a + 35}{12}$.

Вершина параболы принадлежит первой координатной четверти, если $x_v > 0$ и $y_v > 0$ (по условию, координатные оси не принадлежат четвертям, поэтому неравенства строгие). Получаем систему неравенств: $$ \begin{cases} \frac{1 - 4a}{6} > 0 \\ \frac{-16a^2 + 8a + 35}{12} > 0 \end{cases} $$

Решаем первое неравенство: $\frac{1 - 4a}{6} > 0 \implies 1 - 4a > 0 \implies 1 > 4a \implies a < \frac{1}{4}$.

Решаем второе неравенство: $\frac{-16a^2 + 8a + 35}{12} > 0 \implies -16a^2 + 8a + 35 > 0$. Умножим на -1, изменив знак неравенства на противоположный: $16a^2 - 8a - 35 < 0$. Найдем корни квадратного уравнения $16a^2 - 8a - 35 = 0$. Дискриминант $D = B^2 - 4AC = (-8)^2 - 4 \cdot 16 \cdot (-35) = 64 + 2240 = 2304 = 48^2$. Корни: $a_1 = \frac{-B - \sqrt{D}}{2A} = \frac{8 - 48}{2 \cdot 16} = \frac{-40}{32} = - \frac{5}{4}$. $a_2 = \frac{-B + \sqrt{D}}{2A} = \frac{8 + 48}{2 \cdot 16} = \frac{56}{32} = \frac{7}{4}$. Поскольку ветви параболы $f(a) = 16a^2 - 8a - 35$ направлены вверх, неравенство $16a^2 - 8a - 35 < 0$ выполняется для значений $a$, находящихся между корнями: $- \frac{5}{4} < a < \frac{7}{4}$.

Теперь необходимо найти пересечение решений системы: $$ \begin{cases} a < \frac{1}{4} \\ - \frac{5}{4} < a < \frac{7}{4} \end{cases} $$ Объединяя эти два условия, получаем итоговый интервал: $- \frac{5}{4} < a < \frac{1}{4}$.

Ответ: $a \in (-5/4; 1/4)$.

34.17. Определите знаки коэффициентов $a$, $b$, $c$, если известно, что график функции $y = ax^2 + bx + c$ проходит через заданные точки:

a) (-4; 0), (0; -2), (-3; -2);

б) (0; $\sqrt{3} + 1$), (-1,7; 0), (3,3; $\sqrt{3} + 1$).

а)

1. Определение знака коэффициента $c$.
Коэффициент $c$ в уравнении параболы $y = ax^2 + bx + c$ представляет собой ординату точки пересечения графика с осью $y$. Нам дана точка $(0; -2)$, через которую проходит график. Подставив $x = 0$ в уравнение функции, получаем: $y(0) = a \cdot 0^2 + b \cdot 0 + c = c$. Следовательно, $c = -2$. Так как $-2 < 0$, то коэффициент $c$ отрицательный.

2. Определение знака коэффициента $a$.
График функции проходит через точки $(0; -2)$ и $(-3; -2)$. Эти точки симметричны относительно оси параболы, так как у них одинаковая ордината. Абсцисса вершины параболы $x_в$ находится посередине между абсциссами этих точек: $x_в = \frac{0 + (-3)}{2} = -1.5$. Также известно, что график проходит через точку $(-4; 0)$. Ордината этой точки ($y=0$) больше, чем ордината точек $(0; -2)$ и $(-3; -2)$ (где $y=-2$). Это означает, что ветви параболы направлены вверх, так как существуют точки на параболе, которые лежат выше точек, определяющих положение вершины. Если ветви параболы направлены вверх, то старший коэффициент $a$ положителен.

3. Определение знака коэффициента $b$.
Абсцисса вершины параболы связана с коэффициентами $a$ и $b$ формулой $x_в = -\frac{b}{2a}$. Мы уже определили, что $x_в = -1.5$ и $a > 0$. Подставим известные данные в формулу: $-1.5 = -\frac{b}{2a}$ $1.5 = \frac{b}{2a}$ Поскольку $a > 0$, знаменатель $2a$ также положителен. Чтобы дробь была положительной, числитель $b$ должен быть того же знака, что и знаменатель. Следовательно, $b > 0$.

Ответ: $a > 0, b > 0, c < 0$.

б)

1. Определение знака коэффициента $c$.
График проходит через точку $(0; \sqrt{3} + 1)$. Подставив $x = 0$ в уравнение функции $y = ax^2 + bx + c$, получаем: $y(0) = a \cdot 0^2 + b \cdot 0 + c = c$. Следовательно, $c = \sqrt{3} + 1$. Так как $\sqrt{3} \approx 1.732$, то $c \approx 2.732 > 0$. Коэффициент $c$ положителен.

2. Определение знака коэффициента $a$.
График функции проходит через точки $(0; \sqrt{3} + 1)$ и $(3.3; \sqrt{3} + 1)$. У этих точек одинаковая ордината, поэтому абсцисса вершины параболы $x_в$ находится посередине: $x_в = \frac{0 + 3.3}{2} = 1.65$. Известно, что график также проходит через точку $(-1.7; 0)$. Ордината этой точки ($y=0$) меньше, чем ордината точек $(0; \sqrt{3} + 1)$ и $(3.3; \sqrt{3} + 1)$ (где $y=\sqrt{3} + 1 > 0$). Это означает, что ветви параболы направлены вниз, так как существуют точки на параболе, которые лежат ниже точек, определяющих положение вершины. Если ветви параболы направлены вниз, то старший коэффициент $a$ отрицателен.

3. Определение знака коэффициента $b$.
Используем формулу для абсциссы вершины $x_в = -\frac{b}{2a}$. Мы нашли, что $x_в = 1.65$ и $a < 0$. Подставим эти значения: $1.65 = -\frac{b}{2a}$ Так как $x_в = 1.65 > 0$, то и выражение $-\frac{b}{2a}$ должно быть положительным. Поскольку $a < 0$, знаменатель $2a$ отрицателен. Чтобы вся дробь $-\frac{b}{2a}$ была положительной, числитель $-b$ должен иметь противоположный знак по отношению к знаменателю $2a$. Значит, $-b$ должен быть положительным. Если $-b > 0$, то $b < 0$. Проверим еще раз: $1.65 = \frac{-b}{2a}$. Знаменатель $2a < 0$. Чтобы частное было положительным, числитель $-b$ тоже должен быть отрицательным: $-b < 0$, откуда $b > 0$. Следовательно, $b$ положителен.

Ответ: $a < 0, b > 0, c > 0$.

34.18. При каких значениях $a$ неравенство $ax^2 + 4x - 3 + a > 0$:

a) выполняется при любых $x$;

б) не имеет решений?

Рассмотрим неравенство $ax^2 + 4x - 3 + a > 0$. Его вид зависит от параметра $a$. Если $a=0$, неравенство является линейным. Если $a \ne 0$, оно является квадратным.

Чтобы неравенство выполнялось для любого значения $x$, необходимо рассмотреть два случая.

1. Случай, когда $a = 0$. Неравенство принимает вид $0 \cdot x^2 + 4x - 3 + 0 > 0$, что упрощается до $4x - 3 > 0$. Решением этого линейного неравенства является $x > \frac{3}{4}$. Так как это условие выполняется не для всех действительных чисел $x$, значение $a=0$ не является решением задачи.

2. Случай, когда $a \ne 0$. В этом случае левая часть неравенства представляет собой квадратичную функцию $f(x) = ax^2 + 4x + a - 3$. Чтобы неравенство $f(x) > 0$ выполнялось для всех $x$, график этой функции (парабола) должен быть полностью расположен над осью абсцисс. Это возможно только при одновременном выполнении двух условий:
- ветви параболы должны быть направлены вверх, что означает, что старший коэффициент должен быть положителен: $a > 0$;
- парабола не должна пересекать ось абсцисс, то есть соответствующее квадратное уравнение $ax^2 + 4x + a - 3 = 0$ не должно иметь действительных корней. Это означает, что его дискриминант $D$ должен быть строго отрицательным: $D < 0$.

Вычислим дискриминант:
$D = 4^2 - 4 \cdot a \cdot (a - 3) = 16 - 4a^2 + 12a = -4a^2 + 12a + 16$.

Таким образом, мы приходим к системе неравенств: $\begin{cases} a > 0 \\ -4a^2 + 12a + 16 < 0 \end{cases}$

Решим второе неравенство системы. Разделим обе его части на $-4$, при этом знак неравенства изменится на противоположный: $a^2 - 3a - 4 > 0$.

Для решения этого неравенства найдем корни соответствующего уравнения $a^2 - 3a - 4 = 0$. Используя теорему Виета, находим корни: $a_1 = 4$ и $a_2 = -1$. Поскольку парабола $y = a^2 - 3a - 4$ имеет ветви, направленные вверх, неравенство $a^2 - 3a - 4 > 0$ выполняется, когда $a$ находится вне интервала между корнями, то есть $a \in (-\infty, -1) \cup (4, \infty)$.

Теперь найдем решение исходной системы, для чего найдем пересечение полученного множества с условием $a > 0$:
$a \in \left( (-\infty, -1) \cup (4, \infty) \right) \cap (0, \infty)$.
Пересечением является интервал $(4, \infty)$.

Ответ: $a \in (4, \infty)$.

Неравенство $ax^2 + 4x + a - 3 > 0$ не имеет решений тогда и только тогда, когда для всех $x$ выполняется противоположное по знаку неравенство $ax^2 + 4x + a - 3 \le 0$.

1. Случай, когда $a = 0$. Как было показано выше, неравенство $4x - 3 > 0$ имеет решения ($x > 3/4$). Следовательно, утверждение "не имеет решений" для этого случая неверно. Значит, $a=0$ не подходит.

2. Случай, когда $a \ne 0$. Чтобы парабола $f(x) = ax^2 + 4x + a - 3$ была целиком расположена не выше оси абсцисс (то есть $f(x) \le 0$ для всех $x$), необходимо и достаточно выполнение двух условий:
- ветви параболы должны быть направлены вниз, то есть $a < 0$;
- парабола может иметь не более одной общей точки с осью абсцисс (касаться ее или не пересекать вовсе), что означает, что ее дискриминант $D$ должен быть неположительным: $D \le 0$.

Составим и решим систему неравенств, используя вычисленный ранее дискриминант: $\begin{cases} a < 0 \\ -4a^2 + 12a + 16 \le 0 \end{cases}$

Решим второе неравенство. Разделим на $-4$ и изменим знак на противоположный: $a^2 - 3a - 4 \ge 0$.

Корни уравнения $a^2 - 3a - 4 = 0$ равны $4$ и $-1$. Решением неравенства $a^2 - 3a - 4 \ge 0$ является объединение промежутков $(-\infty, -1] \cup [4, \infty)$.

Найдем решение системы, взяв пересечение полученного множества с условием $a < 0$:
$a \in \left( (-\infty, -1] \cup [4, \infty) \right) \cap (-\infty, 0)$.
Пересечением является промежуток $(-\infty, -1]$.

Ответ: $a \in (-\infty, -1]$.