Страница 212, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

Решите систему уравнений:

33.21. а) $ \begin{cases} \sqrt{\frac{x + 3y}{y + 5}} + 2 = 3 \cdot \sqrt{\frac{y + 5}{x + 3y}}, \\ xy + 2x = 13 - 4y; \end{cases} $

б) $ \begin{cases} x^2 + 4x - y^2 - 3y = 0, \\ \sqrt{\frac{x + y}{x - y}} + 3 \cdot \sqrt{\frac{x - y}{x + y}} = 4. \end{cases} $

a)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} \sqrt{\frac{x + 3y}{y + 5}} + 2 = 3 \cdot \sqrt{\frac{y + 5}{x + 3y}} \\ xy + 2x = 13 - 4y \end{cases} $

Рассмотрим первое уравнение. Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условиями $y + 5 \neq 0$, $x + 3y \neq 0$ и $\frac{x + 3y}{y + 5} \ge 0$. Так как в уравнении присутствует и корень из обратной дроби, то выражение под корнем должно быть строго положительным: $\frac{x + 3y}{y + 5} > 0$.

Сделаем замену переменной. Пусть $t = \sqrt{\frac{x + 3y}{y + 5}}$. Учитывая ОДЗ, $t > 0$. Тогда первое уравнение принимает вид:

$t + 2 = 3 \cdot \frac{1}{t}$

Умножим обе части уравнения на $t$ (так как $t \neq 0$):

$t^2 + 2t = 3$

$t^2 + 2t - 3 = 0$

Это квадратное уравнение относительно $t$. Решим его, например, по теореме Виета или через дискриминант. Корни уравнения: $t_1 = 1$ и $t_2 = -3$.

Так как по условию $t > 0$, нам подходит только корень $t = 1$.

Выполним обратную замену:

$\sqrt{\frac{x + 3y}{y + 5}} = 1$

Возведем обе части в квадрат:

$\frac{x + 3y}{y + 5} = 1$

$x + 3y = y + 5$

$x = 5 - 2y$

Теперь подставим полученное выражение для $x$ во второе уравнение системы $xy + 2x = 13 - 4y$:

$(5 - 2y)y + 2(5 - 2y) = 13 - 4y$

$5y - 2y^2 + 10 - 4y = 13 - 4y$

$-2y^2 + y + 10 = 13 - 4y$

Перенесем все члены в левую часть и приведем подобные:

$-2y^2 + 5y - 3 = 0$

$2y^2 - 5y + 3 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение для $y$. Дискриминант $D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 3 = 25 - 24 = 1$.

Корни уравнения:

$y_1 = \frac{5 - \sqrt{1}}{2 \cdot 2} = \frac{4}{4} = 1$

$y_2 = \frac{5 + \sqrt{1}}{2 \cdot 2} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$

Теперь найдем соответствующие значения $x$, используя формулу $x = 5 - 2y$:

При $y_1 = 1$: $x_1 = 5 - 2(1) = 3$.

При $y_2 = \frac{3}{2}$: $x_2 = 5 - 2(\frac{3}{2}) = 5 - 3 = 2$.

Мы получили две пары решений: $(3, 1)$ и $(2, \frac{3}{2})$. Проверим их на соответствие ОДЗ $\frac{x + 3y}{y + 5} > 0$.

Для пары $(3, 1)$: $\frac{3 + 3 \cdot 1}{1 + 5} = \frac{6}{6} = 1 > 0$. Решение подходит.

Для пары $(2, \frac{3}{2})$: $\frac{2 + 3 \cdot \frac{3}{2}}{\frac{3}{2} + 5} = \frac{\frac{4}{2} + \frac{9}{2}}{\frac{3}{2} + \frac{10}{2}} = \frac{13/2}{13/2} = 1 > 0$. Решение подходит.

Ответ: $(3, 1), (2, \frac{3}{2})$.

б)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} x^2 + 4x - y^2 - 3y = 0 \\ \sqrt{\frac{x + y}{x - y}} + 3 \cdot \sqrt{\frac{x - y}{x + y}} = 4 \end{cases} $

Рассмотрим второе уравнение. ОДЗ: $x - y \neq 0$, $x + y \neq 0$ и $\frac{x + y}{x - y} > 0$.

Сделаем замену. Пусть $t = \sqrt{\frac{x + y}{x - y}}$. Тогда $t > 0$. Уравнение примет вид:

$t + \frac{3}{t} = 4$

Умножим обе части на $t$:

$t^2 + 3 = 4t$

$t^2 - 4t + 3 = 0$

Корни этого квадратного уравнения: $t_1 = 1$ и $t_2 = 3$. Оба корня положительны, поэтому рассмотрим оба случая.

Случай 1: $t = 1$.

$\sqrt{\frac{x + y}{x - y}} = 1 \implies \frac{x + y}{x - y} = 1 \implies x + y = x - y \implies 2y = 0 \implies y = 0$.

Подставим $y = 0$ в первое уравнение системы $x^2 + 4x - y^2 - 3y = 0$:

$x^2 + 4x - 0 - 0 = 0 \implies x(x + 4) = 0$.

Отсюда $x_1 = 0$ или $x_2 = -4$.

Проверим получившиеся пары по ОДЗ. Пара $(0, 0)$ не подходит, так как $x - y = 0$. Пара $(-4, 0)$ подходит, так как $x-y = -4 \ne 0$ и $\frac{-4+0}{-4-0} = 1 > 0$.

Случай 2: $t = 3$.

$\sqrt{\frac{x + y}{x - y}} = 3 \implies \frac{x + y}{x - y} = 9 \implies x + y = 9(x - y) \implies x + y = 9x - 9y \implies 10y = 8x \implies y = \frac{4}{5}x$.

Подставим $y = \frac{4}{5}x$ в первое уравнение системы:

$x^2 + 4x - \left(\frac{4}{5}x\right)^2 - 3\left(\frac{4}{5}x\right) = 0$

$x^2 + 4x - \frac{16}{25}x^2 - \frac{12}{5}x = 0$

Умножим уравнение на 25, чтобы избавиться от дробей:

$25x^2 + 100x - 16x^2 - 60x = 0$

$9x^2 + 40x = 0$

$x(9x + 40) = 0$

Отсюда $x_3 = 0$ или $x_4 = -\frac{40}{9}$.

Если $x_3 = 0$, то $y_3 = \frac{4}{5} \cdot 0 = 0$. Получаем пару $(0, 0)$, которая не удовлетворяет ОДЗ.

Если $x_4 = -\frac{40}{9}$, то $y_4 = \frac{4}{5} \cdot \left(-\frac{40}{9}\right) = -\frac{32}{9}$.

Проверим пару $(-\frac{40}{9}, -\frac{32}{9})$ на соответствие ОДЗ.

$x-y = -\frac{40}{9} - (-\frac{32}{9}) = -\frac{8}{9} \ne 0$.

$\frac{x+y}{x-y} = \frac{-\frac{40}{9} - \frac{32}{9}}{-\frac{8}{9}} = \frac{-72/9}{-8/9} = \frac{-8}{-8/9} = 9 > 0$. Решение подходит.

Таким образом, система имеет два решения.

Ответ: $(-4, 0), (-\frac{40}{9}, -\frac{32}{9})$.

33.22. a) $\begin{cases} \sqrt{\frac{x}{y}} + \sqrt{\frac{y}{x}} = \frac{3}{\sqrt{2}}, \\ \sqrt{x} + \sqrt{y} = \sqrt{2} + 1; \end{cases}$

б) $\begin{cases} \sqrt{\frac{y}{x}} - 2\sqrt{\frac{x}{y}} = 1, \\ \sqrt{5x + y} + \sqrt{5x - y} = 4. \end{cases}$

Дана система уравнений: $$ \begin{cases} \sqrt{\frac{x}{y}} + \sqrt{\frac{y}{x}} = \frac{3}{\sqrt{2}} \\ \sqrt{x} + \sqrt{y} = \sqrt{2} + 1 \end{cases} $$ Область допустимых значений (ОДЗ) определяется из условий подкоренных выражений: $x > 0$ и $y > 0$.

Преобразуем первое уравнение. Приведем левую часть к общему знаменателю: $$ \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{y}} + \frac{\sqrt{y}}{\sqrt{x}} = \frac{(\sqrt{x})^2 + (\sqrt{y})^2}{\sqrt{y}\sqrt{x}} = \frac{x+y}{\sqrt{xy}} $$ Таким образом, первое уравнение принимает вид: $$ \frac{x+y}{\sqrt{xy}} = \frac{3}{\sqrt{2}} $$ Отсюда выразим $x+y$: $$ x+y = \frac{3}{\sqrt{2}}\sqrt{xy} $$

Теперь рассмотрим второе уравнение и возведем обе его части в квадрат: $$ (\sqrt{x} + \sqrt{y})^2 = (\sqrt{2} + 1)^2 $$ $$ x + 2\sqrt{xy} + y = (\sqrt{2})^2 + 2\sqrt{2} \cdot 1 + 1^2 $$ $$ x + y + 2\sqrt{xy} = 3 + 2\sqrt{2} $$

Подставим в полученное уравнение выражение для $x+y$, найденное из первого уравнения: $$ \frac{3}{\sqrt{2}}\sqrt{xy} + 2\sqrt{xy} = 3 + 2\sqrt{2} $$ Вынесем $\sqrt{xy}$ за скобки в левой части: $$ \sqrt{xy} \left(\frac{3}{\sqrt{2}} + 2\right) = 3 + 2\sqrt{2} $$ $$ \sqrt{xy} \left(\frac{3+2\sqrt{2}}{\sqrt{2}}\right) = 3 + 2\sqrt{2} $$ Так как $3+2\sqrt{2} \neq 0$, мы можем разделить обе части уравнения на это выражение: $$ \frac{\sqrt{xy}}{\sqrt{2}} = 1 $$ $$ \sqrt{xy} = \sqrt{2} $$

Теперь мы можем составить новую, более простую систему, используя второе исходное уравнение и полученное нами соотношение: $$ \begin{cases} \sqrt{x} + \sqrt{y} = \sqrt{2} + 1 \\ \sqrt{xy} = \sqrt{2} \end{cases} $$ Введем замену: пусть $a = \sqrt{x}$ и $b = \sqrt{y}$. Так как $x>0, y>0$, то $a > 0, b > 0$. Система примет вид: $$ \begin{cases} a + b = \sqrt{2} + 1 \\ ab = \sqrt{2} \end{cases} $$ Согласно обратной теореме Виета, $a$ и $b$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - (\sqrt{2} + 1)t + \sqrt{2} = 0$. Найдем корни этого уравнения, разложив его на множители: $$ t^2 - \sqrt{2}t - t + \sqrt{2} = 0 $$ $$ t(t - \sqrt{2}) - 1(t - \sqrt{2}) = 0 $$ $$ (t-1)(t-\sqrt{2}) = 0 $$ Отсюда корни уравнения: $t_1 = 1$, $t_2 = \sqrt{2}$.

Это дает нам две пары значений для $(a, b)$:
1) $a=1, b=\sqrt{2}$. Выполняем обратную замену: $$ \sqrt{x}=1 \implies x=1 $$ $$ \sqrt{y}=\sqrt{2} \implies y=2 $$ Получаем решение $(1, 2)$.
2) $a=\sqrt{2}, b=1$. Выполняем обратную замену: $$ \sqrt{x}=\sqrt{2} \implies x=2 $$ $$ \sqrt{y}=1 \implies y=1 $$ Получаем решение $(2, 1)$.
Оба решения удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $(1; 2), (2; 1)$.

Дана система уравнений: $$ \begin{cases} \sqrt{\frac{y}{x}} - 2\sqrt{\frac{x}{y}} = 1 \\ \sqrt{5x+y} + \sqrt{5x-y} = 4 \end{cases} $$ ОДЗ: $x > 0$, $y > 0$ (из-за дробей под корнем), и $5x-y \geq 0$, что эквивалентно $5x \geq y$.

Рассмотрим первое уравнение. Сделаем замену $t = \sqrt{\frac{y}{x}}$. Так как $x>0, y>0$, то $t>0$. Тогда $\sqrt{\frac{x}{y}} = \frac{1}{t}$. Уравнение принимает вид: $$ t - \frac{2}{t} = 1 $$ Умножим обе части на $t$ (поскольку $t>0$, то $t \neq 0$): $$ t^2 - 2 = t $$ $$ t^2 - t - 2 = 0 $$ Решим это квадратное уравнение. По теореме Виета (или через дискриминант), корни равны $t_1=2$ и $t_2=-1$. Так как по условию замены $t>0$, нам подходит только корень $t=2$.

Возвращаемся к исходным переменным: $$ \sqrt{\frac{y}{x}} = 2 $$ Возведем обе части в квадрат: $$ \frac{y}{x} = 4 $$ $$ y = 4x $$ Проверим выполнение условия ОДЗ $5x \geq y$. Подставляя $y=4x$, получаем $5x \geq 4x$, что упрощается до $x \geq 0$. С учетом условия $x>0$, это соотношение допустимо.

Теперь подставим выражение $y = 4x$ во второе уравнение системы: $$ \sqrt{5x+4x} + \sqrt{5x-4x} = 4 $$ $$ \sqrt{9x} + \sqrt{x} = 4 $$ $$ 3\sqrt{x} + \sqrt{x} = 4 $$ $$ 4\sqrt{x} = 4 $$ $$ \sqrt{x} = 1 $$ Возводим обе части в квадрат: $$ x = 1 $$

Теперь находим значение $y$: $$ y = 4x = 4 \cdot 1 = 4 $$ Таким образом, мы получили решение $(1, 4)$. Проверим его на соответствие ОДЗ: $x=1>0$, $y=4>0$, и $5x \geq y \implies 5 \cdot 1 \geq 4 \implies 5 \geq 4$. Все условия выполнены.

Ответ: $(1; 4)$.

33.23. a) $\begin{cases} \sqrt{x} + \sqrt{y} + \frac{1}{\sqrt{x} + \sqrt{y}} = \frac{10}{3}, \\ x + 2y = 9; \end{cases}$

б) $\begin{cases} 3x - y = 3, \\ \sqrt{x} + 2\sqrt{y} + \frac{1}{\sqrt{x} + 2\sqrt{y}} = \frac{65}{8}. \end{cases}$

а)

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} \sqrt{x} + \sqrt{y} + \frac{1}{\sqrt{x} + \sqrt{y}} = \frac{10}{3} \\ x + 2y = 9 \end{cases} $$

Определим область допустимых значений: $x \ge 0, y \ge 0$.

В первом уравнении введем замену: $t = \sqrt{x} + \sqrt{y}$. Поскольку $x$ и $y$ не могут быть одновременно равны нулю (иначе знаменатель обратится в ноль), то $t > 0$.

Уравнение принимает вид:

$t + \frac{1}{t} = \frac{10}{3}$

Умножим обе части на $3t$, чтобы избавиться от дробей:

$3t^2 + 3 = 10t$

$3t^2 - 10t + 3 = 0$

Это квадратное уравнение относительно $t$. Найдем его корни. Дискриминант $D = (-10)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 3 = 100 - 36 = 64$.

Корни уравнения: $t_{1,2} = \frac{10 \pm \sqrt{64}}{2 \cdot 3} = \frac{10 \pm 8}{6}$.

$t_1 = \frac{10 + 8}{6} = \frac{18}{6} = 3$

$t_2 = \frac{10 - 8}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$

Оба значения $t$ положительны, поэтому рассмотрим два случая.

Случай 1: $\sqrt{x} + \sqrt{y} = 3$.

Получаем систему:

$$ \begin{cases} \sqrt{x} + \sqrt{y} = 3 \\ x + 2y = 9 \end{cases} $$

Из первого уравнения выразим $\sqrt{x} = 3 - \sqrt{y}$. Из условия $\sqrt{x} \ge 0$ следует, что $3 - \sqrt{y} \ge 0$, то есть $\sqrt{y} \le 3$, а значит $0 \le y \le 9$.

Возведем в квадрат выражение для $\sqrt{x}$: $x = (3 - \sqrt{y})^2 = 9 - 6\sqrt{y} + y$.

Подставим это выражение для $x$ во второе уравнение системы:

$(9 - 6\sqrt{y} + y) + 2y = 9$

$9 - 6\sqrt{y} + 3y = 9$

$3y - 6\sqrt{y} = 0$

$3\sqrt{y}(\sqrt{y} - 2) = 0$

Отсюда получаем два возможных значения для $\sqrt{y}$: $\sqrt{y} = 0$ или $\sqrt{y} = 2$.

Если $\sqrt{y} = 0$, то $y=0$. Тогда $\sqrt{x} = 3 - 0 = 3$, откуда $x=9$. Получаем решение $(9, 0)$.

Если $\sqrt{y} = 2$, то $y=4$. Тогда $\sqrt{x} = 3 - 2 = 1$, откуда $x=1$. Получаем решение $(1, 4)$.

Случай 2: $\sqrt{x} + \sqrt{y} = \frac{1}{3}$.

Получаем систему:

$$ \begin{cases} \sqrt{x} + \sqrt{y} = \frac{1}{3} \\ x + 2y = 9 \end{cases} $$

Из первого уравнения $\sqrt{x} = \frac{1}{3} - \sqrt{y}$. Из $\sqrt{x} \ge 0$ следует $\frac{1}{3} - \sqrt{y} \ge 0$, то есть $\sqrt{y} \le \frac{1}{3}$.

Возведем в квадрат: $x = (\frac{1}{3} - \sqrt{y})^2 = \frac{1}{9} - \frac{2}{3}\sqrt{y} + y$.

Подставим во второе уравнение: $(\frac{1}{9} - \frac{2}{3}\sqrt{y} + y) + 2y = 9$.

$3y - \frac{2}{3}\sqrt{y} + \frac{1}{9} - 9 = 0 \implies 3y - \frac{2}{3}\sqrt{y} - \frac{80}{9} = 0$.

Умножим на 9: $27y - 6\sqrt{y} - 80 = 0$.

Пусть $u = \sqrt{y}$. Тогда $27u^2 - 6u - 80 = 0$. Положительный корень этого уравнения $u = \frac{6 + \sqrt{36 - 4 \cdot 27 \cdot (-80)}}{2 \cdot 27} = \frac{6 + \sqrt{8676}}{54}$.

Проверим условие $u \le \frac{1}{3}$: $\frac{6 + \sqrt{8676}}{54} \le \frac{1}{3} \implies 6 + \sqrt{8676} \le 18 \implies \sqrt{8676} \le 12 \implies 8676 \le 144$. Это неверно.

Таким образом, во втором случае решений нет.

Ответ: $(9, 0), (1, 4)$.

б)

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} 3x - y = 3 \\ \sqrt{x} + 2\sqrt{y} + \frac{1}{\sqrt{x} + 2\sqrt{y}} = \frac{65}{8} \end{cases} $$

Область допустимых значений: $x \ge 0, y \ge 0$.

Во втором уравнении введем замену $t = \sqrt{x} + 2\sqrt{y}$. Так как $x, y \ge 0$ и не могут быть нулями одновременно, $t > 0$.

Уравнение принимает вид:

$t + \frac{1}{t} = \frac{65}{8}$

Умножим обе части на $8t$: $8t^2 + 8 = 65t$, что равносильно $8t^2 - 65t + 8 = 0$.

Дискриминант $D = (-65)^2 - 4 \cdot 8 \cdot 8 = 4225 - 256 = 3969 = 63^2$.

Корни: $t_{1,2} = \frac{65 \pm 63}{16}$.

$t_1 = \frac{65 + 63}{16} = \frac{128}{16} = 8$

$t_2 = \frac{65 - 63}{16} = \frac{2}{16} = \frac{1}{8}$

Рассмотрим два случая.

Случай 1: $\sqrt{x} + 2\sqrt{y} = 8$.

Получаем систему:

$$ \begin{cases} 3x - y = 3 \\ \sqrt{x} + 2\sqrt{y} = 8 \end{cases} $$

Из второго уравнения $\sqrt{x} = 8 - 2\sqrt{y}$. Из $\sqrt{x} \ge 0$ следует $8 - 2\sqrt{y} \ge 0$, то есть $2\sqrt{y} \le 8$ или $\sqrt{y} \le 4$.

Возведем в квадрат: $x = (8 - 2\sqrt{y})^2 = 64 - 32\sqrt{y} + 4y$.

Подставим $x$ в первое уравнение: $3(64 - 32\sqrt{y} + 4y) - y = 3$.

$192 - 96\sqrt{y} + 12y - y = 3$

$11y - 96\sqrt{y} + 189 = 0$

Пусть $u = \sqrt{y}$. Тогда $11u^2 - 96u + 189 = 0$.

Дискриминант $D = (-96)^2 - 4 \cdot 11 \cdot 189 = 9216 - 8316 = 900 = 30^2$.

Корни: $u_{1,2} = \frac{96 \pm 30}{22}$.

$u_1 = \frac{126}{22} = \frac{63}{11}$. Этот корень не удовлетворяет условию $u \le 4$, так как $\frac{63}{11} > 4$.

$u_2 = \frac{66}{22} = 3$. Этот корень удовлетворяет условию $u \le 4$.

Итак, $\sqrt{y} = 3 \implies y = 9$. Тогда $\sqrt{x} = 8 - 2(3) = 2 \implies x = 4$.

Получаем решение $(4, 9)$.

Случай 2: $\sqrt{x} + 2\sqrt{y} = \frac{1}{8}$.

$$ \begin{cases} 3x - y = 3 \\ \sqrt{x} + 2\sqrt{y} = \frac{1}{8} \end{cases} $$

Из второго уравнения $\sqrt{x} = \frac{1}{8} - 2\sqrt{y}$. Из $\sqrt{x} \ge 0$ следует $\frac{1}{8} - 2\sqrt{y} \ge 0 \implies 2\sqrt{y} \le \frac{1}{8} \implies \sqrt{y} \le \frac{1}{16}$.

Из первого уравнения системы $y = 3x - 3$. Так как $y \ge 0$, то $3x - 3 \ge 0 \implies x \ge 1$.

Тогда $\sqrt{x} \ge 1$.

Имеем $\sqrt{x} = \frac{1}{8} - 2\sqrt{y}$. Так как $2\sqrt{y} \ge 0$, то $\sqrt{x} \le \frac{1}{8}$.

Получили противоречие: $\sqrt{x} \ge 1$ и $\sqrt{x} \le \frac{1}{8}$. Следовательно, в этом случае решений нет.

Ответ: $(4, 9)$.

33.24. a) $$\begin{cases} 2\sqrt{3y+x} - \sqrt{6y-x} = x, \\ \sqrt{3y+x} + \sqrt{6y-x} = 3y; \end{cases}$$

б) $$\begin{cases} \sqrt{2x-3y} + \sqrt{4x+3y} = 2x, \\ 2\sqrt{2x-3y} = \sqrt{4x+3y} - 3y. \end{cases}$$

а)

Дана система уравнений: $$ \begin{cases} 2\sqrt{3y + x} - \sqrt{6y - x} = x, \\ \sqrt{3y + x} + \sqrt{6y - x} = 3y \end{cases} $$ Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условиями неотрицательности подкоренных выражений: $3y + x \ge 0$ и $6y - x \ge 0$.

Для упрощения введем новые переменные: пусть $a = \sqrt{3y + x}$ и $b = \sqrt{6y - x}$. По определению арифметического квадратного корня, $a \ge 0$ и $b \ge 0$. После замены система принимает вид: $$ \begin{cases} 2a - b = x, \\ a + b = 3y \end{cases} $$

Решим полученную систему линейных уравнений относительно $a$ и $b$. Сложим первое и второе уравнения: $(2a - b) + (a + b) = x + 3y$ $3a = x + 3y \implies a = \frac{x + 3y}{3}$.

Теперь вычтем из второго уравнения, умноженного на 2, первое уравнение: $2(a + b) - (2a - b) = 2(3y) - x$ $2a + 2b - 2a + b = 6y - x$ $3b = 6y - x \implies b = \frac{6y - x}{3}$.

Вернемся к исходным переменным, подставив полученные выражения для $a$ и $b$: $$ \sqrt{3y + x} = \frac{3y + x}{3} $$ $$ \sqrt{6y - x} = \frac{6y - x}{3} $$

Оба уравнения имеют вид $\sqrt{Z} = \frac{Z}{3}$. Решим это уравнение в общем виде. Пусть $t = \sqrt{Z}$, где $t \ge 0$. Тогда $Z = t^2$, и уравнение становится $t = \frac{t^2}{3}$. $t^2 - 3t = 0 \implies t(t-3) = 0$. Решения: $t=0$ или $t=3$. Следовательно, $\sqrt{Z}=0$ (т.е. $Z=0$) или $\sqrt{Z}=3$ (т.е. $Z=9$).

Применяя это к нашей задаче, получаем четыре возможные системы линейных уравнений:

1. $3y + x = 0$ и $6y - x = 0$
2. $3y + x = 0$ и $6y - x = 9$
3. $3y + x = 9$ и $6y - x = 0$
4. $3y + x = 9$ и $6y - x = 9$

Решим каждую систему:
1) $\begin{cases} 3y + x = 0 \\ 6y - x = 0 \end{cases} \implies 9y=0 \implies y=0, x=0$. Решение: $(0; 0)$.
2) $\begin{cases} 3y + x = 0 \\ 6y - x = 9 \end{cases} \implies 9y=9 \implies y=1, x=-3$. Решение: $(-3; 1)$.
3) $\begin{cases} 3y + x = 9 \\ 6y - x = 0 \end{cases} \implies 9y=9 \implies y=1, x=6$. Решение: $(6; 1)$.
4) $\begin{cases} 3y + x = 9 \\ 6y - x = 9 \end{cases} \implies 9y=18 \implies y=2, x=3$. Решение: $(3; 2)$.

Все полученные пары чисел удовлетворяют условиям $a \ge 0$ и $b \ge 0$, а также ОДЗ.
Ответ: $(-3; 1)$, $(0; 0)$, $(3; 2)$, $(6; 1)$.

б)

Дана система уравнений: $$ \begin{cases} \sqrt{2x - 3y} + \sqrt{4x + 3y} = 2x, \\ 2\sqrt{2x - 3y} = \sqrt{4x + 3y} - 3y \end{cases} $$ ОДЗ: $2x - 3y \ge 0$ и $4x + 3y \ge 0$.

Введем переменные $u = \sqrt{2x - 3y}$ и $v = \sqrt{4x + 3y}$, где $u \ge 0, v \ge 0$. Система примет вид: $$ \begin{cases} u + v = 2x, \\ 2u = v - 3y \end{cases} $$ Перепишем второе уравнение как $v - 2u = 3y$.

Решим систему относительно $u$ и $v$. Вычтем второе уравнение из первого: $(u + v) - (v - 2u) = 2x - 3y$ $3u = 2x - 3y \implies u = \frac{2x - 3y}{3}$.

Сложим первое уравнение, умноженное на 2, и второе: $2(u + v) + (v - 2u) = 2(2x) + 3y$ $3v = 4x + 3y \implies v = \frac{4x + 3y}{3}$.

Подставив обратно определения $u$ и $v$, получим: $$ \sqrt{2x - 3y} = \frac{2x - 3y}{3} $$ $$ \sqrt{4x + 3y} = \frac{4x + 3y}{3} $$

Как и в задании а), уравнения вида $\sqrt{Z} = \frac{Z}{3}$ приводят к решениям $Z=0$ или $Z=9$. Следовательно, получаем четыре системы линейных уравнений:

1. $2x - 3y = 0$ и $4x + 3y = 0$
2. $2x - 3y = 0$ и $4x + 3y = 9$
3. $2x - 3y = 9$ и $4x + 3y = 0$
4. $2x - 3y = 9$ и $4x + 3y = 9$

Решим каждую систему:
1) $\begin{cases} 2x - 3y = 0 \\ 4x + 3y = 0 \end{cases} \implies 6x=0 \implies x=0, y=0$. Решение: $(0; 0)$.
2) $\begin{cases} 2x - 3y = 0 \\ 4x + 3y = 9 \end{cases} \implies 6x=9 \implies x=\frac{3}{2}, y=1$. Решение: $(\frac{3}{2}; 1)$.
3) $\begin{cases} 2x - 3y = 9 \\ 4x + 3y = 0 \end{cases} \implies 6x=9 \implies x=\frac{3}{2}, y=-2$. Решение: $(\frac{3}{2}; -2)$.
4) $\begin{cases} 2x - 3y = 9 \\ 4x + 3y = 9 \end{cases} \implies 6x=18 \implies x=3, y=-1$. Решение: $(3; -1)$.

Все найденные решения удовлетворяют ОДЗ и условиям $u \ge 0, v \ge 0$.
Ответ: $(0; 0)$, $(\frac{3}{2}; -2)$, $(\frac{3}{2}; 1)$, $(3; -1)$.

33.25. Решите систему уравнений:

а) $\begin{cases} \frac{y}{9} = \left(\frac{1}{3}\right)^x \\ y = \log_2 x \end{cases}$

б) $\begin{cases} \sqrt{x+1} - y = 2 \\ \log_7 (4-x) = y \end{cases}$

в) $\begin{cases} 2^{y+x} - 3^{x-y} = 1 \\ 2^{x+y} + 3^{x-y} = 3 \end{cases}$

г) $\begin{cases} y + x = 1 \\ 2^{x-y} = \left(\frac{1}{4}\right)^{-1} \cdot \frac{8^{\frac{2}{3}}}{2} \end{cases}$

a) Дана система уравнений: $ \begin{cases} \frac{y}{9} = (\frac{1}{3})^x \\ y = \log_2 x \end{cases} $

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Из второго уравнения $y = \log_2 x$ следует, что $x > 0$.

Преобразуем первое уравнение:
$y = 9 \cdot (\frac{1}{3})^x$
$y = 3^2 \cdot (3^{-1})^x$
$y = 3^2 \cdot 3^{-x}$
$y = 3^{2-x}$

Теперь приравняем выражения для $y$ из обоих уравнений:
$3^{2-x} = \log_2 x$

Рассмотрим функции в левой и правой частях уравнения.
Функция $f(x) = 3^{2-x}$ является показательной функцией с основанием $3 > 1$ и убывающим показателем $2-x$, следовательно, $f(x)$ является убывающей функцией на всей своей области определения.
Функция $g(x) = \log_2 x$ является логарифмической функцией с основанием $2 > 1$, следовательно, $g(x)$ является возрастающей функцией на своей области определения ($x>0$).

Убывающая и возрастающая функции могут пересекаться не более одного раза. Это означает, что уравнение имеет не более одного решения. Найдем это решение методом подбора.
Проверим значение $x=2$:
Левая часть: $3^{2-2} = 3^0 = 1$.
Правая часть: $\log_2 2 = 1$.
Так как $1=1$, то $x=2$ является решением уравнения.

Теперь найдем соответствующее значение $y$:
$y = \log_2 x = \log_2 2 = 1$.
Проверим по первому уравнению: $\frac{1}{9} = (\frac{1}{3})^2$, что верно.
Решение системы: $(2, 1)$.
Ответ: $(2, 1)$

б) Дана система уравнений: $ \begin{cases} \sqrt{x+1} - y = 2 \\ \log_7(4-x) = y \end{cases} $

Найдем область допустимых значений (ОДЗ):
Из первого уравнения: $x+1 \ge 0 \Rightarrow x \ge -1$.
Из второго уравнения: $4-x > 0 \Rightarrow x < 4$.
Объединяя условия, получаем: $-1 \le x < 4$.

Подставим выражение для $y$ из второго уравнения в первое:
$\sqrt{x+1} - \log_7(4-x) = 2$
$\sqrt{x+1} = 2 + \log_7(4-x)$

Рассмотрим функции в левой и правой частях.
Функция $f(x) = \sqrt{x+1}$ является возрастающей на ОДЗ.
Функция $g(x) = 2 + \log_7(4-x)$ является убывающей, так как логарифмическая функция с основанием $7 > 1$ возрастает, но ее аргумент $(4-x)$ является убывающей функцией.

Так как одна функция возрастает, а другая убывает, они могут иметь не более одной точки пересечения. Найдем решение подбором, пытаясь подобрать $x$ так, чтобы выражение под логарифмом было степенью 7.
Пусть $4-x = 1$, тогда $x=3$. Это значение входит в ОДЗ.
Проверим $x=3$:
Левая часть: $\sqrt{3+1} = \sqrt{4} = 2$.
Правая часть: $2 + \log_7(4-3) = 2 + \log_7(1) = 2 + 0 = 2$.
Так как $2=2$, то $x=3$ является решением.

Найдем $y$:
$y = \log_7(4-x) = \log_7(4-3) = \log_7(1) = 0$.
Решение системы: $(3, 0)$.
Ответ: $(3, 0)$

в) Дана система уравнений: $ \begin{cases} 2^{y+x} - 3^{x-y} = 1 \\ 2^{x+y} + 3^{x-y} = 3 \end{cases} $

Введем замену переменных. Пусть $a = 2^{x+y}$ и $b = 3^{x-y}$. Заметим, что $a > 0$ и $b > 0$.
Система примет вид: $ \begin{cases} a - b = 1 \\ a + b = 3 \end{cases} $

Сложим два уравнения:
$(a - b) + (a + b) = 1 + 3$
$2a = 4$
$a = 2$

Подставим значение $a$ в любое из уравнений, например, во второе:
$2 + b = 3$
$b = 1$

Теперь выполним обратную замену:
$a = 2^{x+y} = 2 \Rightarrow 2^{x+y} = 2^1 \Rightarrow x+y = 1$
$b = 3^{x-y} = 1 \Rightarrow 3^{x-y} = 3^0 \Rightarrow x-y = 0$

Получили новую систему линейных уравнений: $ \begin{cases} x+y = 1 \\ x-y = 0 \end{cases} $

Из второго уравнения следует, что $x=y$. Подставим это в первое уравнение:
$x+x = 1 \Rightarrow 2x = 1 \Rightarrow x = \frac{1}{2}$.
Так как $x=y$, то $y=\frac{1}{2}$.
Решение системы: $(\frac{1}{2}, \frac{1}{2})$.
Ответ: $(\frac{1}{2}, \frac{1}{2})$

г) Дана система уравнений: $ \begin{cases} y+x = 1 \\ 2^{x-y} = (\frac{1}{4})^{-1} \cdot \frac{8^{2/3}}{2} \end{cases} $

Упростим правую часть второго уравнения:
$(\frac{1}{4})^{-1} = 4 = 2^2$.
$8^{2/3} = (2^3)^{2/3} = 2^{3 \cdot \frac{2}{3}} = 2^2 = 4$.
Тогда вся правая часть равна:
$2^2 \cdot \frac{4}{2} = 4 \cdot 2 = 8$.

Второе уравнение принимает вид:
$2^{x-y} = 8$
$2^{x-y} = 2^3$
$x-y = 3$

Теперь решаем систему линейных уравнений: $ \begin{cases} x+y = 1 \\ x-y = 3 \end{cases} $

Сложим два уравнения:
$(x+y) + (x-y) = 1 + 3$
$2x = 4$
$x = 2$

Подставим $x=2$ в первое уравнение:
$2 + y = 1$
$y = 1 - 2 = -1$.
Решение системы: $(2, -1)$.
Ответ: $(2, -1)$