Страница 209, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

33.2. a) $ \begin{cases} x + y = \frac{\pi}{4}, \\ \sin x \sin y = -\frac{1}{2\sqrt{2}}; \end{cases} $

б) $ \begin{cases} 3x = y + 1, \\ 7^{y-2x+2} = 7^{y-4x+1} + 6; \end{cases} $

в) $ \begin{cases} x = 2y, \\ \log_{\frac{1}{3}}(2y + x) + \log_{\frac{1}{3}}(x - y + 1) = \log_3 \frac{1}{y + 1}; \end{cases} $

г) $ \begin{cases} \sqrt{7 - 6x - y^2} = y + 5, \\ y = x - 1. \end{cases} $

a)

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} x + y = \frac{\pi}{4} \\ \sin x \sin y = -\frac{1}{2\sqrt{2}} \end{cases} $$

Воспользуемся формулой произведения синусов: $ \sin \alpha \sin \beta = \frac{1}{2}(\cos(\alpha-\beta) - \cos(\alpha+\beta)) $.

Применим эту формулу ко второму уравнению системы:

$ \frac{1}{2}(\cos(x-y) - \cos(x+y)) = -\frac{1}{2\sqrt{2}} $.

Из первого уравнения системы известно, что $ x + y = \frac{\pi}{4} $. Найдем косинус этой суммы:

$ \cos(x+y) = \cos\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2} $.

Подставим это значение в преобразованное второе уравнение:

$ \frac{1}{2}\left(\cos(x-y) - \frac{\sqrt{2}}{2}\right) = -\frac{1}{2\sqrt{2}} $.

Умножим обе части уравнения на 2:

$ \cos(x-y) - \frac{\sqrt{2}}{2} = -\frac{1}{\sqrt{2}} $.

Упростим правую часть: $ -\frac{1}{\sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{2} $.

$ \cos(x-y) - \frac{\sqrt{2}}{2} = -\frac{\sqrt{2}}{2} $.

Отсюда получаем $ \cos(x-y) = 0 $.

Решением этого уравнения является $ x - y = \frac{\pi}{2} + \pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $.

Теперь решим систему из двух линейных уравнений относительно $x$ и $y$:

$$ \begin{cases} x + y = \frac{\pi}{4} \\ x - y = \frac{\pi}{2} + \pi k \end{cases} $$

Сложим эти два уравнения:

$ 2x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{2} + \pi k = \frac{3\pi}{4} + \pi k $.

$ x = \frac{3\pi}{8} + \frac{\pi k}{2} $.

Вычтем второе уравнение из первого:

$ 2y = \frac{\pi}{4} - \left(\frac{\pi}{2} + \pi k\right) = \frac{\pi}{4} - \frac{2\pi}{4} - \pi k = -\frac{\pi}{4} - \pi k $.

$ y = -\frac{\pi}{8} - \frac{\pi k}{2} $.

Ответ: $ \left( \frac{3\pi}{8} + \frac{\pi k}{2}; -\frac{\pi}{8} - \frac{\pi k}{2} \right) $, где $ k \in \mathbb{Z} $.

б)

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} 3x = y + 1 \\ 7y - 2x + 2 = 7y - 4x + 1 + 6 \end{cases} $$

Упростим второе уравнение системы:

$ 7y - 2x + 2 = 7y - 4x + 7 $.

Сократим $7y$ в обеих частях уравнения:

$ -2x + 2 = -4x + 7 $.

Перенесем слагаемые с $x$ в левую часть, а константы — в правую:

$ -2x + 4x = 7 - 2 $.

$ 2x = 5 $.

$ x = \frac{5}{2} $.

Теперь подставим найденное значение $x$ в первое уравнение системы, чтобы найти $y$:

$ 3x = y + 1 $.

$ 3 \cdot \frac{5}{2} = y + 1 $.

$ \frac{15}{2} = y + 1 $.

$ y = \frac{15}{2} - 1 = \frac{15}{2} - \frac{2}{2} = \frac{13}{2} $.

Ответ: $ \left(\frac{5}{2}; \frac{13}{2}\right) $.

в)

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} x = 2y \\ \log_{\frac{1}{3}}(2y+x) + \log_{\frac{1}{3}}(x-y+1) = \log_3 \frac{1}{y+1} \end{cases} $$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргументы логарифмов должны быть строго положительными:

$$ \begin{cases} 2y + x > 0 \\ x - y + 1 > 0 \\ \frac{1}{y+1} > 0 \end{cases} $$

Из третьего неравенства следует, что $ y+1 > 0 $, то есть $ y > -1 $.

Преобразуем второе уравнение системы. Сначала приведем логарифм в правой части к основанию $ \frac{1}{3} $.

$ \log_3 \frac{1}{y+1} = \log_3 (y+1)^{-1} = -\log_3(y+1) $.

Используя свойство $ \log_{1/a} b = -\log_a b $, получаем $ -\log_3(y+1) = \log_{1/3}(y+1) $.

Теперь уравнение имеет вид:

$ \log_{\frac{1}{3}}(2y+x) + \log_{\frac{1}{3}}(x-y+1) = \log_{\frac{1}{3}}(y+1) $.

Воспользуемся свойством суммы логарифмов $ \log_a M + \log_a N = \log_a (MN) $:

$ \log_{\frac{1}{3}}((2y+x)(x-y+1)) = \log_{\frac{1}{3}}(y+1) $.

Так как основания логарифмов равны, мы можем приравнять их аргументы:

$ (2y+x)(x-y+1) = y+1 $.

Теперь подставим $ x = 2y $ из первого уравнения системы в полученное уравнение:

$ (2y+2y)(2y-y+1) = y+1 $.

$ (4y)(y+1) = y+1 $.

Перенесем все члены в левую часть:

$ 4y(y+1) - (y+1) = 0 $.

Вынесем общий множитель $ (y+1) $ за скобки:

$ (y+1)(4y-1) = 0 $.

Это уравнение дает два возможных значения для $y$:

1) $ y+1 = 0 \implies y = -1 $.

2) $ 4y-1 = 0 \implies y = \frac{1}{4} $.

Проверим найденные значения $y$ на соответствие ОДЗ.

Для $ y = -1 $: это значение не удовлетворяет условию ОДЗ $ y > -1 $, следовательно, это посторонний корень.

Для $ y = \frac{1}{4} $: это значение удовлетворяет условию $ y > -1 $. Найдем соответствующее значение $x$:

$ x = 2y = 2 \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{2} $.

Проверим оставшиеся условия ОДЗ для пары $ \left(\frac{1}{2}; \frac{1}{4}\right) $:

$ 2y+x = 2\left(\frac{1}{4}\right) + \frac{1}{2} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1 > 0 $ (верно).

$ x-y+1 = \frac{1}{2} - \frac{1}{4} + 1 = \frac{2}{4} - \frac{1}{4} + \frac{4}{4} = \frac{5}{4} > 0 $ (верно).

Таким образом, единственным решением системы является пара $ \left(\frac{1}{2}; \frac{1}{4}\right) $.

Ответ: $ \left(\frac{1}{2}; \frac{1}{4}\right) $.

г)

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} \sqrt{7-6x-y^2} = y+5 \\ y = x-1 \end{cases} $$

Определим область допустимых значений (ОДЗ).

1. Выражение под корнем должно быть неотрицательным: $ 7-6x-y^2 \ge 0 $.

2. Правая часть первого уравнения должна быть неотрицательной, так как она равна значению арифметического квадратного корня: $ y+5 \ge 0 \implies y \ge -5 $.

Выразим $x$ из второго уравнения: $ x = y+1 $.

Подставим это выражение для $x$ в первое уравнение системы:

$ \sqrt{7-6(y+1)-y^2} = y+5 $.

$ \sqrt{7-6y-6-y^2} = y+5 $.

$ \sqrt{1-6y-y^2} = y+5 $.

Поскольку мы уже установили, что $ y+5 \ge 0 $, мы можем возвести обе части уравнения в квадрат:

$ 1-6y-y^2 = (y+5)^2 $.

$ 1-6y-y^2 = y^2 + 10y + 25 $.

Перенесем все слагаемые в правую часть, чтобы получить квадратное уравнение:

$ 0 = y^2 + 10y + 25 - (1-6y-y^2) $.

$ 0 = y^2 + 10y + 25 - 1 + 6y + y^2 $.

$ 2y^2 + 16y + 24 = 0 $.

Разделим уравнение на 2:

$ y^2 + 8y + 12 = 0 $.

Решим это квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна -8, а произведение равно 12. Корнями являются $ y_1 = -2 $ и $ y_2 = -6 $.

Теперь проверим найденные корни на соответствие ОДЗ, в частности, условию $ y \ge -5 $.

1. Для $ y_1 = -2 $: $ -2 \ge -5 $. Это верно.

2. Для $ y_2 = -6 $: $ -6 \ge -5 $. Это неверно. Следовательно, $ y=-6 $ является посторонним корнем.

Единственный подходящий корень - $ y = -2 $.

Найдем соответствующее значение $x$ из уравнения $ x = y+1 $:

$ x = -2 + 1 = -1 $.

Итак, решение системы - пара $ (-1; -2) $.

Проверим также первое условие ОДЗ $ 7-6x-y^2 \ge 0 $ для этой пары:

$ 7 - 6(-1) - (-2)^2 = 7 + 6 - 4 = 9 \ge 0 $. Условие выполнено.

Ответ: $ (-1; -2) $.

Решите систему уравнений методом алгебраического сложения:

33.3. а) $\begin{cases} 3x + 2y = 1 \\ x - y = -3 \end{cases}$

б) $\begin{cases} 2\sqrt{x} - 3\sqrt{y} = 1 \\ 3\sqrt{x} - 2\sqrt{y} = 4 \end{cases}$

в) $\begin{cases} x + y^2 = 2 \\ 2y^2 + x^2 = 3 \end{cases}$

г) $\begin{cases} \sqrt[3]{x} + \sqrt[4]{y} = 3 \\ 3\sqrt[3]{x} - 5\sqrt[4]{y} = 1 \end{cases}$

а) Дана система уравнений:
$ \begin{cases} 3x + 2y = 1, \\ x - y = -3; \end{cases} $
Чтобы применить метод алгебраического сложения, умножим второе уравнение на 2. Это позволит нам получить противоположные коэффициенты при переменной $y$.
$2 \cdot (x - y) = 2 \cdot (-3)$
$2x - 2y = -6$
Теперь сложим первое уравнение ($3x + 2y = 1$) с полученным новым вторым уравнением ($2x - 2y = -6$):
$(3x + 2y) + (2x - 2y) = 1 + (-6)$
$5x = -5$
$x = -1$
Теперь подставим найденное значение $x = -1$ во второе исходное уравнение ($x - y = -3$):
$(-1) - y = -3$
$-y = -3 + 1$
$-y = -2$
$y = 2$
Таким образом, решением системы является пара чисел $(-1; 2)$.
Ответ: $(-1; 2)$.

б) Дана система уравнений:
$ \begin{cases} 2\sqrt{x} - 3\sqrt{y} = 1, \\ 3\sqrt{x} - 2\sqrt{y} = 4; \end{cases} $
Для упрощения введем замену переменных. Пусть $a = \sqrt{x}$ и $b = \sqrt{y}$, где по определению корня $a \ge 0, b \ge 0$. Система примет вид:
$ \begin{cases} 2a - 3b = 1, \\ 3a - 2b = 4; \end{cases} $
Умножим первое уравнение на 3, а второе на -2, чтобы коэффициенты при переменной $a$ стали противоположными.
$3(2a - 3b) = 3 \cdot 1 \implies 6a - 9b = 3$
$-2(3a - 2b) = -2 \cdot 4 \implies -6a + 4b = -8$
Сложим полученные уравнения:
$(6a - 9b) + (-6a + 4b) = 3 + (-8)$
$-5b = -5$
$b = 1$
Подставим $b=1$ в первое уравнение новой системы ($2a - 3b = 1$):
$2a - 3(1) = 1$
$2a = 4$
$a = 2$
Выполним обратную замену:
$\sqrt{x} = a = 2 \implies x = 4$
$\sqrt{y} = b = 1 \implies y = 1$
Оба значения неотрицательны, что соответствует условиям.
Ответ: $(4; 1)$.

в) Дана система уравнений:
$ \begin{cases} x + y^2 = 2, \\ 2y^2 + x^2 = 3; \end{cases} $
Умножим первое уравнение на -2, чтобы при сложении уравнений исключить член $y^2$.
$-2(x + y^2) = -2 \cdot 2 \implies -2x - 2y^2 = -4$
Сложим полученное уравнение со вторым уравнением системы ($2y^2 + x^2 = 3$):
$(-2x - 2y^2) + (2y^2 + x^2) = -4 + 3$
$x^2 - 2x = -1$
$x^2 - 2x + 1 = 0$
Это полный квадрат разности: $(x-1)^2 = 0$.
Отсюда следует, что $x - 1 = 0$, то есть $x = 1$.
Подставим $x=1$ в первое исходное уравнение ($x + y^2 = 2$):
$1 + y^2 = 2$
$y^2 = 1$
$y = 1$ или $y = -1$.
Мы получили две пары решений: $(1; 1)$ и $(1; -1)$.
Ответ: $(1; 1)$, $(1; -1)$.

г) Дана система уравнений:
$ \begin{cases} \sqrt[3]{x} + \sqrt[4]{y} = 3, \\ 3\sqrt[3]{x} - 5\sqrt[4]{y} = 1; \end{cases} $
Введем замену переменных. Пусть $a = \sqrt[3]{x}$ и $b = \sqrt[4]{y}$ (где $b \ge 0$). Система перепишется в виде:
$ \begin{cases} a + b = 3, \\ 3a - 5b = 1; \end{cases} $
Умножим первое уравнение на -3, чтобы исключить переменную $a$ при сложении.
$-3(a + b) = -3 \cdot 3 \implies -3a - 3b = -9$
Сложим это уравнение со вторым уравнением системы ($3a - 5b = 1$):
$(-3a - 3b) + (3a - 5b) = -9 + 1$
$-8b = -8$
$b = 1$
Подставим $b=1$ в первое уравнение новой системы ($a + b = 3$):
$a + 1 = 3$
$a = 2$
Произведем обратную замену:
$\sqrt[3]{x} = a = 2 \implies x = 2^3 = 8$
$\sqrt[4]{y} = b = 1 \implies y = 1^4 = 1$
Значение $b=1$ удовлетворяет условию $b \ge 0$.
Ответ: $(8; 1)$.

33.4. a) $$\begin{cases} \log_2 x - \log_3 y = -5, \\ 2 \log_2 x + 3 \log_3 y = 0; \end{cases}$$

б) $$\begin{cases} \cos x + \cos 2y = -0,5, \\ 3 \cos 2y - \cos x = 2,5; \end{cases}$$

в) $$\begin{cases} 2^{x+2y} - \sqrt{2x + y} = 6, \\ 3\sqrt{2x + y} - 2^{x+2y} = -2; \end{cases}$$

г) $$\begin{cases} 2 \sin 2x + \operatorname{tg} 3y = 2, \\ 6 \sin 2x - 2 \operatorname{tg} 3y = 1. \end{cases}$$

а)
Дана система уравнений:$$ \begin{cases} \log_2 x - \log_3 y = -5, \\ 2 \log_2 x + 3 \log_3 y = 0; \end{cases} $$Введем замену переменных. Пусть $u = \log_2 x$ и $v = \log_3 y$. Система примет вид:$$ \begin{cases} u - v = -5, \\ 2u + 3v = 0. \end{cases} $$Из первого уравнения выразим $u$: $u = v - 5$.
Подставим это выражение во второе уравнение:$2(v - 5) + 3v = 0$
$2v - 10 + 3v = 0$
$5v = 10$
$v = 2$
Теперь найдем $u$:$u = 2 - 5 = -3$
Вернемся к исходным переменным $x$ и $y$:
Из $u = \log_2 x = -3$ следует, что $x = 2^{-3} = \frac{1}{8}$.
Из $v = \log_3 y = 2$ следует, что $y = 3^2 = 9$.
Область допустимых значений для логарифмов: $x > 0$ и $y > 0$. Найденные значения $x = 1/8$ и $y = 9$ удовлетворяют этим условиям.
Ответ: $(\frac{1}{8}; 9)$.

б)
Дана система уравнений:$$ \begin{cases} \cos x + \cos 2y = -0,5, \\ 3 \cos 2y - \cos x = 2,5. \end{cases} $$Введем замену переменных. Пусть $a = \cos x$ и $b = \cos 2y$. Система примет вид:$$ \begin{cases} a + b = -0,5, \\ 3b - a = 2,5. \end{cases} $$Сложим два уравнения системы:$(a + b) + (3b - a) = -0,5 + 2,5$
$4b = 2$
$b = 0,5$
Подставим найденное значение $b$ в первое уравнение:$a + 0,5 = -0,5$
$a = -1$
Вернемся к исходным переменным:
$\cos x = a = -1 \implies x = \pi + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
$\cos 2y = b = 0,5 \implies 2y = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Разделив второе уравнение на 2, получим $y$:$y = \pm \frac{\pi}{6} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = \pi + 2\pi k, y = \pm \frac{\pi}{6} + \pi n$, где $k, n \in \mathbb{Z}$.

в)
Дана система уравнений:$$ \begin{cases} 2^{x+2y} - \sqrt{2x+y} = 6, \\ 3\sqrt{2x+y} - 2^{x+2y} = -2. \end{cases} $$Введем замену переменных. Пусть $a = 2^{x+2y}$ и $b = \sqrt{2x+y}$. Заметим, что по определению корня $b \ge 0$. Система примет вид:$$ \begin{cases} a - b = 6, \\ 3b - a = -2. \end{cases} $$Сложим два уравнения системы:$(a - b) + (3b - a) = 6 - 2$
$2b = 4$
$b = 2$
Подставим значение $b$ в первое уравнение:$a - 2 = 6$
$a = 8$
Вернемся к исходным переменным:
$\sqrt{2x+y} = b = 2$. Возведя в квадрат, получаем $2x+y = 4$.
$2^{x+2y} = a = 8$. Так как $8=2^3$, то $x+2y = 3$.
Теперь решим полученную систему линейных уравнений:$$ \begin{cases} 2x + y = 4, \\ x + 2y = 3. \end{cases} $$Из первого уравнения выразим $y$: $y = 4 - 2x$.
Подставим это выражение во второе уравнение:$x + 2(4 - 2x) = 3$
$x + 8 - 4x = 3$
$-3x = -5$
$x = \frac{5}{3}$
Найдем $y$:$y = 4 - 2 \cdot \frac{5}{3} = 4 - \frac{10}{3} = \frac{12-10}{3} = \frac{2}{3}$.
Проверим условие $2x+y \ge 0$: $2(\frac{5}{3}) + \frac{2}{3} = \frac{10}{3} + \frac{2}{3} = \frac{12}{3} = 4 \ge 0$. Условие выполнено.
Ответ: $(\frac{5}{3}; \frac{2}{3})$.

г)
Дана система уравнений:$$ \begin{cases} 2 \sin 2x + \tg 3y = 2, \\ 6 \sin 2x - 2 \tg 3y = 1. \end{cases} $$Введем замену переменных. Пусть $a = \sin 2x$ и $b = \tg 3y$. Система примет вид:$$ \begin{cases} 2a + b = 2, \\ 6a - 2b = 1. \end{cases} $$Умножим первое уравнение на 2, чтобы при сложении убрать переменную $b$:$4a + 2b = 4$
Теперь сложим это уравнение со вторым уравнением системы:$(4a + 2b) + (6a - 2b) = 4 + 1$
$10a = 5$
$a = 0,5$
Подставим значение $a$ в первое уравнение $2a+b=2$:$2(0,5) + b = 2$
$1 + b = 2$
$b = 1$
Вернемся к исходным переменным:
$\sin 2x = a = 0,5 \implies 2x = (-1)^k \frac{\pi}{6} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
$x = (-1)^k \frac{\pi}{12} + \frac{\pi k}{2}$, где $k \in \mathbb{Z}$.
$\tg 3y = b = 1 \implies 3y = \frac{\pi}{4} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
$y = \frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{3}$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Область определения тангенса $3y \neq \frac{\pi}{2} + \pi m$. Наши решения $3y = \frac{\pi}{4} + \pi n$ не совпадают с ограничениями, поэтому они являются верными.
Ответ: $x = (-1)^k \frac{\pi}{12} + \frac{\pi k}{2}, y = \frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{3}$, где $k, n \in \mathbb{Z}$.

33.5. Решите систему уравнений методом введения новых переменных:

a) $\begin{cases} \frac{5}{3x - y} + \frac{3}{x - 3y} = -2, \\ \frac{15}{3x - y} + \frac{2}{x - 3y} = 1;\end{cases}$

б) $\begin{cases} \frac{3}{x + y} + \frac{6}{x - y} = -1, \\ \frac{5}{x + y} + \frac{9}{x - y} = -2.\end{cases}$

а)

Исходная система уравнений:

$ \begin{cases} \frac{5}{3x - y} + \frac{3}{x - 3y} = -2, \\ \frac{15}{3x - y} + \frac{2}{x - 3y} = 1; \end{cases} $

Введем новые переменные. Пусть $u = \frac{1}{3x - y}$ и $v = \frac{1}{x - 3y}$. С учетом этих замен система примет вид:

$ \begin{cases} 5u + 3v = -2, \\ 15u + 2v = 1. \end{cases} $

Решим эту систему. Умножим первое уравнение на -3, чтобы исключить переменную $u$:

$ \begin{cases} -15u - 9v = 6, \\ 15u + 2v = 1. \end{cases} $

Сложим два уравнения системы:

$(-15u - 9v) + (15u + 2v) = 6 + 1$

$-7v = 7$

$v = -1$

Подставим найденное значение $v$ в первое уравнение системы $5u + 3v = -2$:

$5u + 3(-1) = -2$

$5u - 3 = -2$

$5u = 1$

$u = \frac{1}{5}$

Теперь выполним обратную замену:

$ \begin{cases} \frac{1}{3x - y} = \frac{1}{5}, \\ \frac{1}{x - 3y} = -1. \end{cases} $

Из этого следует:

$ \begin{cases} 3x - y = 5, \\ x - 3y = -1. \end{cases} $

Выразим $x$ из второго уравнения: $x = 3y - 1$. Подставим это выражение в первое уравнение:

$3(3y - 1) - y = 5$

$9y - 3 - y = 5$

$8y = 8$

$y = 1$

Найдем $x$:

$x = 3(1) - 1 = 2$

Таким образом, решение системы — пара чисел $(2; 1)$.

Ответ: $(2; 1)$.

б)

Исходная система уравнений:

$ \begin{cases} \frac{3}{x + y} + \frac{6}{x - y} = -1, \\ \frac{5}{x + y} + \frac{9}{x - y} = -2. \end{cases} $

Введем новые переменные. Пусть $a = \frac{1}{x + y}$ и $b = \frac{1}{x - y}$. Система примет вид:

$ \begin{cases} 3a + 6b = -1, \\ 5a + 9b = -2. \end{cases} $

Решим эту систему. Умножим первое уравнение на 3, а второе на -2, чтобы исключить переменную $b$:

$ \begin{cases} 9a + 18b = -3, \\ -10a - 18b = 4. \end{cases} $

Сложим два уравнения системы:

$(9a + 18b) + (-10a - 18b) = -3 + 4$

$-a = 1$

$a = -1$

Подставим найденное значение $a$ в первое уравнение системы $3a + 6b = -1$:

$3(-1) + 6b = -1$

$-3 + 6b = -1$

$6b = 2$

$b = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$

Выполним обратную замену:

$ \begin{cases} \frac{1}{x + y} = -1, \\ \frac{1}{x - y} = \frac{1}{3}. \end{cases} $

Из этого следует:

$ \begin{cases} x + y = -1, \\ x - y = 3. \end{cases} $

Сложим эти два уравнения:

$(x + y) + (x - y) = -1 + 3$

$2x = 2$

$x = 1$

Подставим значение $x$ в первое уравнение $x + y = -1$:

$1 + y = -1$

$y = -2$

Таким образом, решение системы — пара чисел $(1; -2)$.

Ответ: $(1; -2)$.