Страница 210, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

1. Опишите, в чём состоит упорядочивание и группировка данных.

Упорядочивание и группировка — это две фундаментальные операции по организации данных, которые служат разным целям, но часто используются вместе для эффективного анализа и представления информации.

Упорядочивание данных (сортировка)

Упорядочивание, или сортировка, — это процесс расположения элементов набора данных в определённой последовательности на основе значения одного или нескольких полей (атрибутов). Основная цель упорядочивания — облегчить поиск, чтение и анализ данных человеком или компьютерной программой.

Основные виды упорядочивания:

• По возрастанию (ascending): от меньшего значения к большему. Например, числа от 1 до 100, даты от самых ранних к самым поздним, слова в алфавитном порядке от А до Я.
• По убыванию (descending): от большего значения к меньшему. Например, список товаров, отсортированный по убыванию цены, или рейтинг студентов по убыванию среднего балла.

Пример: Имеется список учеников с их итоговыми оценками: [Иванов: 4, Петров: 5, Сидорова: 3, Козлов: 5].

Упорядочивание этого списка по оценкам по убыванию (первичная сортировка) даст следующий результат: [Петров: 5, Козлов: 5, Иванов: 4, Сидорова: 3].

Если нужно дополнительно упорядочить по алфавиту учеников с одинаковыми оценками (вторичная сортировка), результат будет: [Козлов: 5, Петров: 5, Иванов: 4, Сидорова: 3].

Группировка данных

Группировка — это процесс объединения записей из набора данных в группы на основе одинаковых значений в одном или нескольких полях. В отличие от сортировки, которая меняет порядок записей, группировка фактически разделяет весь набор данных на подмножества.

Основная цель группировки — агрегация данных, то есть вычисление итоговых (сводных) показателей для каждой группы. Для этого используются агрегатные функции, такие как:

• SUM — вычисление суммы значений.
• COUNT — подсчёт количества записей в группе.
• AVG — вычисление среднего значения.
• MIN / MAX — нахождение минимального или максимального значения.

Пример: Имеется таблица продаж товаров в разных городах:

Группировка этих данных по полю «Город» с применением агрегатной функции SUM для поля «Продано (шт.)» позволит узнать общее количество проданных товаров в каждом городе:

• Москва: $100 + 200 = 300$ шт.
• Санкт-Петербург: $50 + 80 = 130$ шт.

Таким образом, группировка помогает получить обобщённую информацию из детализированных данных.

Ключевое различие

Упорядочивание изменяет последовательность отдельных записей, в то время как группировка объединяет множество записей в сводные группы для вычисления итоговых показателей.

Ответ: Упорядочивание (сортировка) — это расположение данных в определённом порядке (например, по возрастанию, убыванию или алфавиту) для удобства их поиска и анализа. Группировка — это объединение данных в группы по общему признаку с целью вычисления для каждой группы итоговых (агрегированных) значений, таких как сумма, количество или среднее, что позволяет анализировать данные на более высоком уровне абстракции.

2. Дайте определение частоты варианты. Почему частота не может быть больше 1?

Дайте определение частоты варианты.

В статистике варианта ($x_i$) — это одно из возможных значений, которое может принимать изучаемый признак в выборке (например, оценка "4", рост 175 см, синий цвет глаз).

Различают два вида частоты:

1. Абсолютная частота ($n_i$) — это число, показывающее, сколько раз данная варианта встречается в исследуемой совокупности данных. Это всегда целое неотрицательное число.

2. Относительная частота ($w_i$), которую для краткости часто называют просто частотой, — это отношение абсолютной частоты варианты к общему числу наблюдений в выборке. Она показывает, какую долю или часть от общего числа составляет данная варианта.

Относительная частота вычисляется по формуле: $w_i = \frac{n_i}{N}$ где $n_i$ — абсолютная частота i-ой варианты, а $N$ — общий объем выборки (общее число всех наблюдений).

Ответ: Частота (относительная частота) варианты — это безразмерная величина, равная отношению количества наблюдений данной варианты к общему объему выборки.

Почему частота не может быть больше 1?

Вопрос касается относительной частоты, поскольку абсолютная частота (число повторений) может быть больше 1, если объем выборки достаточно велик.

Относительная частота $w_i$ вычисляется как отношение абсолютной частоты $n_i$ к общему объему выборки $N$: $w_i = \frac{n_i}{N}$

Здесь $n_i$ — это количество раз, которое конкретная варианта встретилась в выборке (часть), а $N$ — это общее количество всех наблюдений в выборке (целое).

По определению, количество появлений одного конкретного значения ($n_i$) не может быть больше, чем общее количество всех имеющихся значений ($N$). Часть не может быть больше целого. Например, в классе из 30 учеников не может быть 31 отличника.

Следовательно, для любой варианты всегда справедливо неравенство: $0 \le n_i \le N$

Разделив все части этого неравенства на $N$ (положительное число, так как объем выборки не может быть нулевым или отрицательным), получаем: $\frac{0}{N} \le \frac{n_i}{N} \le \frac{N}{N}$

Это можно упростить до: $0 \le w_i \le 1$

Таким образом, относительная частота всегда находится в пределах от 0 до 1. Она равна 0, если варианта не встречается в выборке, и равна 1, если все элементы выборки одинаковы и равны данной варианте. Превысить значение 1 она не может.

Ответ: Частота (относительная) представляет собой отношение части (число появлений варианты $n_i$) к целому (общий объем выборки $N$). Поскольку часть не может быть больше целого ($n_i \le N$), то и результат их деления ($w_i$) не может быть больше 1.

3. Как по сгруппированному ряду данных составить таблицу распределения частот?

Таблица распределения частот — это инструмент в статистике, который наглядно показывает, как часто значения из набора данных попадают в определённые интервалы (или группы). Чтобы составить такую таблицу на основе уже сгруппированного ряда данных, необходимо выполнить подсчет элементов, попадающих в каждую группу, и систематизировать результаты.

Рассмотрим процесс на конкретном примере. Предположим, у нас есть данные о времени (в минутах), которое 30 сотрудников тратят на дорогу до работы. Данные уже разделены на интервалы.

Исходные данные:

• Общее количество наблюдений (сотрудников): $N=30$.
• Интервалы времени (в минутах): [10–20), [20–30), [30–40), [40–50), [50–60).
• Необработанный ряд данных (нужен для подсчета частот): 15, 22, 38, 45, 51, 12, 28, 31, 49, 18, 25, 33, 41, 58, 24, 35, 42, 19, 29, 30, 48, 55, 36, 21, 14, 39, 44, 27, 34, 46.

Пошаговая инструкция

1. Шаг 1: Подготовка структуры таблицы

   Создайте основу таблицы. В ней как минимум должно быть два столбца: один для интервалов (групп), другой для частоты (количества элементов в группе). Часто таблицу дополняют столбцами для относительной и накопленной частоты для более полного анализа.

2. Шаг 2: Подсчет абсолютной частоты (f)

   Абсолютная частота — это количество наблюдений, попадающих в каждый конкретный интервал. Пройдитесь по всему ряду исходных данных и подсчитайте, сколько значений попадает в каждую группу.

   • Интервал [10–20): 15, 12, 18, 19, 14. Итого: 5
   • Интервал [20–30): 22, 28, 25, 24, 29, 21, 27. Итого: 7
   • Интервал [30–40): 38, 31, 33, 35, 30, 36, 39, 34. Итого: 8
   • Интервал [40–50): 45, 49, 41, 42, 48, 44, 46. Итого: 7
   • Интервал [50–60): 51, 58, 55. Итого: 3

   В качестве проверки убедитесь, что сумма всех частот равна общему количеству наблюдений: $5 + 7 + 8 + 7 + 3 = 30$. Это совпадает с нашим $N$.

3. Шаг 3: Вычисление относительной частоты (w)

   Относительная частота показывает долю (или процент) каждой группы в общем объеме данных. Она вычисляется по формуле:

   $w_i = \frac{f_i}{N}$

   где $f_i$ — частота i-го интервала, а $N$ — общее число наблюдений.

   • [10–20): $w = 5 / 30 \approx 0.167$
   • [20–30): $w = 7 / 30 \approx 0.233$
   • [30–40): $w = 8 / 30 \approx 0.267$
   • [40–50): $w = 7 / 30 \approx 0.233$
   • [50–60): $w = 3 / 30 = 0.100$

   Сумма всех относительных частот должна быть равна 1 (или очень близка к 1 в случае округлений). В нашем примере: $0.167 + 0.233 + 0.267 + 0.233 + 0.100 = 1.000$.

4. Шаг 4: Вычисление накопленной частоты

   Накопленная (кумулятивная) частота для каждого интервала — это сумма его собственной частоты и частот всех предыдущих интервалов. Она показывает, сколько данных имеют значение, меньшее верхней границы текущего интервала.

   • [10–20): 5
   • [20–30): $5 + 7 = 12$
   • [30–40): $12 + 8 = 20$
   • [40–50): $20 + 7 = 27$
   • [50–60): $27 + 3 = 30$

   Значение накопленной частоты для последнего интервала всегда равно общему числу наблюдений $N$.

5. Шаг 5: Заполнение итоговой таблицы

   Теперь, когда все расчеты выполнены, мы можем заполнить итоговую таблицу распределения частот.

Итоговая таблица распределения частот

Ответ: Чтобы составить таблицу распределения частот по сгруппированному ряду данных, необходимо: 1) взять заданные интервалы (группы); 2) для каждого интервала подсчитать абсолютную частоту — количество исходных данных, попадающих в него; 3) при необходимости рассчитать относительную частоту (долю каждой группы) и накопленную частоту (сумму частот текущей и всех предыдущих групп); 4) внести все полученные значения в итоговую таблицу для наглядного представления распределения данных.

распределения частот.

4. Чему равны мода и медиана ряда данных 3, 6, 7, 4, 5, 4, 6, 3, 3, 3, 5, 7, 8, 7, 5, 4, 5, 6, 5, 7, 6?

Для нахождения моды и медианы данного ряда данных необходимо выполнить следующие шаги.

Исходный ряд данных: 3, 6, 7, 4, 5, 4, 6, 3, 3, 3, 5, 7, 8, 7, 5, 4, 5, 6, 5, 7, 6.

Мода

Мода — это значение в наборе данных, которое встречается наиболее часто. Чтобы найти моду, подсчитаем, сколько раз каждое число появляется в ряду:

• число 3 встречается 4 раза
• число 4 встречается 3 раза
• число 5 встречается 5 раз
• число 6 встречается 4 раза
• число 7 встречается 4 раза
• число 8 встречается 1 раз

Чаще всего в ряду встречается число 5 (5 раз). Следовательно, мода этого ряда данных равна 5.

Ответ: 5

Медиана

Медиана — это значение, которое делит упорядоченный набор данных на две равные части. Для её нахождения сначала нужно упорядочить ряд данных по возрастанию:

3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 7, 8

Теперь нужно найти значение, которое находится в середине этого ряда. Общее количество чисел в ряду — 21 (нечетное число). Для нечетного количества элементов медианой является элемент, стоящий ровно посередине. Его порядковый номер можно найти по формуле $ (n + 1) / 2 $, где $n$ — количество элементов в ряду.

Порядковый номер медианы: $ (21 + 1) / 2 = 22 / 2 = 11 $.

Одиннадцатым элементом в упорядоченном ряду является число 5. Таким образом, медиана этого ряда данных равна 5.

Ответ: 5

5. Сформулируйте два правила нахождения среднего значения.

Существует несколько способов нахождения среднего значения в зависимости от контекста и имеющихся данных. Наиболее распространенными являются среднее арифметическое простое и среднее арифметическое взвешенное.

Правило 1: Нахождение среднего арифметического (простого)

Среднее арифметическое — это основной и наиболее часто используемый вид среднего значения. Оно вычисляется для набора чисел, где каждый элемент имеет равную значимость.

Шаг 1: Сложите все числа (значения) в наборе данных.
Шаг 2: Разделите полученную сумму на количество чисел в наборе.

Математически это выражается следующей формулой:
Пусть дан набор чисел $x_1, x_2, \ldots, x_n$, где $n$ — количество чисел в наборе. Среднее арифметическое $(\bar{x})$ вычисляется как: $$ \bar{x} = \frac{x_1 + x_2 + \ldots + x_n}{n} = \frac{\sum_{i=1}^{n} x_i}{n} $$ где $\sum_{i=1}^{n} x_i$ — это сумма всех чисел от $x_1$ до $x_n$.

Пример: Найдем среднее значение для чисел 5, 8, 10, 15.
1. Сумма чисел: $5 + 8 + 10 + 15 = 38$.
2. Количество чисел: 4.
3. Среднее арифметическое: $\bar{x} = \frac{38}{4} = 9.5$.

Ответ: Чтобы найти среднее арифметическое значение, нужно сложить все значения в наборе и разделить полученную сумму на их количество.

Правило 2: Нахождение среднего арифметического взвешенного

Среднее арифметическое взвешенное используется, когда отдельные значения в наборе данных имеют разную важность или "вес". Например, при расчете итоговой оценки, где экзамен имеет больший вес, чем домашнее задание.

Шаг 1: Умножьте каждое значение на его соответствующий вес.
Шаг 2: Сложите все полученные произведения (значение × вес).
Шаг 3: Сложите все веса.
Шаг 4: Разделите сумму произведений (из шага 2) на сумму весов (из шага 3).

Математически это выражается формулой:
Пусть дан набор чисел $x_1, x_2, \ldots, x_n$ и соответствующие им веса $w_1, w_2, \ldots, w_n$. Среднее арифметическое взвешенное $(\bar{x}_w)$ вычисляется как: $$ \bar{x}_w = \frac{x_1 w_1 + x_2 w_2 + \ldots + x_n w_n}{w_1 + w_2 + \ldots + w_n} = \frac{\sum_{i=1}^{n} x_i w_i}{\sum_{i=1}^{n} w_i} $$ где $x_i$ — значение, а $w_i$ — его вес.

Пример: Студент получил следующие оценки: 5 за контрольную работу (вес 3), 4 за домашнее задание (вес 1) и 5 за экзамен (вес 5).
1. Сумма произведений (оценка × вес): $(5 \cdot 3) + (4 \cdot 1) + (5 \cdot 5) = 15 + 4 + 25 = 44$.
2. Сумма весов: $3 + 1 + 5 = 9$.
3. Средняя взвешенная оценка: $\bar{x}_w = \frac{44}{9} \approx 4.89$.

Ответ: Чтобы найти среднее взвешенное значение, нужно каждое значение умножить на его вес, сложить полученные произведения и разделить эту сумму на сумму всех весов.

6. Как изменится среднее значение ряда данных, если все данные уменьшить на 5?

Чтобы определить, как изменится среднее значение ряда данных, если каждый его элемент уменьшить на одно и то же число, рассмотрим общее решение, а затем проверим его на конкретном примере.

Пусть имеется произвольный ряд данных, состоящий из $n$ элементов: $x_1, x_2, \ldots, x_n$.

Среднее значение (или среднее арифметическое) этого ряда, которое мы обозначим как $\bar{x}$, вычисляется как сумма всех элементов, деленная на их количество: $$\bar{x} = \frac{x_1 + x_2 + \ldots + x_n}{n}$$

Теперь, согласно условию задачи, мы уменьшаем каждый элемент этого ряда на 5. В результате получаем новый ряд данных: $$(x_1 - 5), (x_2 - 5), \ldots, (x_n - 5)$$

Давайте вычислим среднее значение для этого нового ряда. Обозначим его как $\bar{x}_{\text{новое}}$. Для этого мы должны сложить все элементы нового ряда и разделить на их количество, которое осталось прежним ($n$): $$\bar{x}_{\text{новое}} = \frac{(x_1 - 5) + (x_2 - 5) + \ldots + (x_n - 5)}{n}$$

Раскроем скобки в числителе и сгруппируем слагаемые: вынесем все $x_i$ в одну группу, а все пятерки — в другую. $$\bar{x}_{\text{новое}} = \frac{(x_1 + x_2 + \ldots + x_n) - (5 + 5 + \ldots + 5)}{n}$$ В скобках число 5 повторяется $n$ раз.

Сумма $n$ пятерок равна $5n$. Подставим это в выражение: $$\bar{x}_{\text{новое}} = \frac{(x_1 + x_2 + \ldots + x_n) - 5n}{n}$$

Теперь мы можем разделить это выражение на два слагаемых, почленно разделив числитель на знаменатель: $$\bar{x}_{\text{новое}} = \frac{x_1 + x_2 + \ldots + x_n}{n} - \frac{5n}{n}$$

Первый член этого выражения, $\frac{x_1 + x_2 + \ldots + x_n}{n}$, является не чем иным, как исходным средним значением $\bar{x}$. Второй член, $\frac{5n}{n}$, после сокращения равен 5.

Таким образом, мы получаем связь между новым и старым средним значением: $$\bar{x}_{\text{новое}} = \bar{x} - 5$$

Этот результат доказывает, что если каждый элемент ряда данных уменьшить на 5, то и среднее значение всего ряда также уменьшится на 5. Это общее свойство среднего арифметического.

Пример для наглядности:

Возьмем простой ряд данных: 10, 20, 30.

Его среднее значение: $\bar{x} = \frac{10 + 20 + 30}{3} = \frac{60}{3} = 20$.

Теперь уменьшим каждый элемент на 5. Получим новый ряд: $(10 - 5), (20 - 5), (30 - 5)$, то есть ряд 5, 15, 25.

Найдем среднее значение нового ряда: $\bar{x}_{\text{новое}} = \frac{5 + 15 + 25}{3} = \frac{45}{3} = 15$.

Сравним новое и старое средние значения: $15 = 20 - 5$. Действительно, среднее значение уменьшилось ровно на 5.

Ответ: Среднее значение ряда данных уменьшится на 5.

7. Как изменится среднее значение ряда данных, если все данные уменьшить в 5 раз?

Чтобы ответить на этот вопрос, проанализируем, как вычисляется среднее значение и как на него повлияет указанное преобразование данных.

Среднее значение (или среднее арифметическое) ряда данных — это сумма всех элементов этого ряда, делённая на их количество.

Пусть у нас есть исходный ряд данных, состоящий из $n$ элементов: $x_1, x_2, \dots, x_n$.

Тогда его среднее значение, обозначим его как $\bar{x}_{старое}$, вычисляется по формуле:
$\bar{x}_{старое} = \frac{x_1 + x_2 + \dots + x_n}{n}$

Согласно условию, все данные в ряду уменьшают в 5 раз. Это означает, что каждый элемент исходного ряда делят на 5. Новый ряд данных будет иметь следующий вид:
$\frac{x_1}{5}, \frac{x_2}{5}, \dots, \frac{x_n}{5}$

Теперь вычислим среднее значение для нового ряда данных, обозначив его $\bar{x}_{новое}$:
$\bar{x}_{новое} = \frac{\frac{x_1}{5} + \frac{x_2}{5} + \dots + \frac{x_n}{5}}{n}$

В числителе этой дроби мы можем вынести за скобки общий множитель $\frac{1}{5}$:
$\bar{x}_{новое} = \frac{\frac{1}{5} \cdot (x_1 + x_2 + \dots + x_n)}{n}$

Это выражение можно преобразовать, вынеся множитель $\frac{1}{5}$ из всей дроби:
$\bar{x}_{новое} = \frac{1}{5} \cdot \left( \frac{x_1 + x_2 + \dots + x_n}{n} \right)$

Мы видим, что выражение в скобках — это в точности формула для исходного среднего значения $\bar{x}_{старое}$. Таким образом, мы получаем прямую связь между новым и старым средним значением:
$\bar{x}_{новое} = \frac{1}{5} \cdot \bar{x}_{старое}$

Этот результат показывает, что новое среднее значение равно старому среднему значению, делённому на 5. Следовательно, среднее значение всего ряда данных уменьшилось в 5 раз.

Рассмотрим наглядный пример.
Пусть исходный ряд чисел: {10, 20, 60}.
Его среднее значение: $\bar{x}_{старое} = \frac{10 + 20 + 60}{3} = \frac{90}{3} = 30$.
Теперь уменьшим каждое число в 5 раз. Получим новый ряд: {$\frac{10}{5}, \frac{20}{5}, \frac{60}{5}$} = {2, 4, 12}.
Среднее значение нового ряда: $\bar{x}_{новое} = \frac{2 + 4 + 12}{3} = \frac{18}{3} = 6$.
Сравнивая результаты, видим, что $30 / 5 = 6$. Среднее значение действительно уменьшилось в 5 раз, что подтверждает наш вывод.

Ответ: Среднее значение ряда данных уменьшится в 5 раз.

8. Как изменится дисперсия ряда данных, если все данные увеличить на 3?

Чтобы понять, как изменится дисперсия, рассмотрим ее определение и свойства. Дисперсия — это мера разброса данных относительно их среднего значения. Она вычисляется как среднее арифметическое квадратов отклонений каждого значения в наборе данных от их среднего арифметического.

Пусть исходный ряд данных состоит из $n$ элементов: $x_1, x_2, \dots, x_n$.

Среднее значение (математическое ожидание) этого ряда равно:
$\bar{x} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i$

Дисперсия исходного ряда данных $D_x$ вычисляется по формуле:
$D_x = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2$

Теперь, согласно условию задачи, мы увеличиваем каждое значение ряда на 3. Получаем новый ряд данных $y_1, y_2, \dots, y_n$, где каждый элемент $y_i = x_i + 3$.

Сначала найдем, как изменится среднее значение. Вычислим среднее для нового ряда $\bar{y}$:
$\bar{y} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} y_i = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} (x_i + 3) = \frac{1}{n}(\sum_{i=1}^{n} x_i + \sum_{i=1}^{n} 3) = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i + \frac{3n}{n} = \bar{x} + 3$
Таким образом, среднее значение нового ряда также увеличилось на 3.

Теперь вычислим дисперсию нового ряда данных $D_y$, используя новые значения $y_i$ и новое среднее $\bar{y}$:
$D_y = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} (y_i - \bar{y})^2$
Подставим в эту формулу $y_i = x_i + 3$ и $\bar{y} = \bar{x} + 3$:
$D_y = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} ((x_i + 3) - (\bar{x} + 3))^2$
Упростим выражение в скобках:
$(x_i + 3) - (\bar{x} + 3) = x_i + 3 - \bar{x} - 3 = x_i - \bar{x}$
В результате формула для $D_y$ принимает вид:
$D_y = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2$

Мы видим, что полученное выражение для дисперсии нового ряда $D_y$ в точности совпадает с выражением для дисперсии исходного ряда $D_x$. Следовательно, $D_y = D_x$.

Это свойство дисперсии можно объяснить интуитивно: прибавление одной и той же константы ко всем элементам ряда данных сдвигает весь ряд по числовой оси, но не изменяет взаимного расположения его элементов и их разброса относительно центра. А так как дисперсия является мерой именно этого разброса, она остается неизменной.

Ответ: Дисперсия не изменится.

9. Как изменится среднее квадратическое отклонение ряда данных, если все данные удвоить?

Чтобы определить, как изменится среднее квадратическое отклонение, необходимо последовательно проследить, как удвоение каждого элемента ряда данных влияет на связанные с ним статистические показатели: среднее арифметическое, дисперсию и, наконец, само среднее квадратическое отклонение.

Пусть исходный ряд данных состоит из $n$ элементов: $x_1, x_2, \dots, x_n$.

Среднее арифметическое этого ряда ($\mu$) равно: $\mu = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_i$

Среднее квадратическое отклонение ($\sigma$) для этого ряда данных вычисляется по формуле, где оно является квадратным корнем из дисперсии: $\sigma = \sqrt{\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_i - \mu)^2}$

Теперь рассмотрим новый ряд данных, в котором каждый элемент удвоен: $2x_1, 2x_2, \dots, 2x_n$. Обозначим элементы нового ряда как $y_i = 2x_i$.

1. Вычислим новое среднее арифметическое ($\mu'$).
Среднее нового ряда данных будет: $\mu' = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}y_i = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(2x_i) = 2 \cdot \left(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_i\right) = 2\mu$ Как видим, среднее арифметическое нового ряда также удвоилось.

2. Вычислим новую дисперсию ($\sigma'^2$).
Дисперсия — это средний квадрат отклонений от среднего. Для нового ряда она будет: $\sigma'^2 = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(y_i - \mu')^2}$ Подставим значения $y_i=2x_i$ и $\mu'=2\mu$: $\sigma'^2 = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(2x_i - 2\mu)^2 = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(2(x_i - \mu))^2$ Возведем выражение в скобках в квадрат: $\sigma'^2 = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}4(x_i - \mu)^2$ Вынесем константу 4 за знак суммы: $\sigma'^2 = 4 \cdot \left(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_i - \mu)^2\right) = 4\sigma^2$ Следовательно, новая дисперсия в 4 раза больше исходной.

3. Вычислим новое среднее квадратическое отклонение ($\sigma'$).
Новое СКО — это квадратный корень из новой дисперсии: $\sigma' = \sqrt{\sigma'^2} = \sqrt{4\sigma^2} = 2\sqrt{\sigma^2} = 2\sigma$ Таким образом, новое среднее квадратическое отклонение в два раза больше исходного.

Ответ: Среднее квадратическое отклонение удвоится.

33.6. Применяя графический метод, определите, сколько решений имеет система уравнений:

а) $\begin{cases} y = x^2, \\ y = \cos x; \end{cases}$

б) $\begin{cases} x^2 + y^2 = 4, \\ y = 2 - x^2; \end{cases}$

в) $\begin{cases} y = \sin x, \\ y = 0,1x; \end{cases}$

г) $\begin{cases} y + 2 = \sqrt{x + 4}, \\ y + x^3 = 0. \end{cases}$

а)

Для определения количества решений системы уравнений $ \begin{cases} y = x^2 \\ y = \cos x \end{cases} $ построим в одной системе координат графики функций $y = x^2$ и $y = \cos x$. Количество точек пересечения графиков будет равно количеству решений системы.

График функции $y = x^2$ — это парабола с вершиной в точке (0, 0), ветви которой направлены вверх. Функция является чётной, её график симметричен относительно оси Oy.

График функции $y = \cos x$ — это косинусоида, периодическая функция, значения которой лежат в отрезке $[-1, 1]$. Эта функция также является чётной, её график симметричен относительно оси Oy.

Рассмотрим поведение графиков для $x \ge 0$. При $x=0$ значение параболы $y=0^2=0$, а значение косинусоиды $y=\cos(0)=1$. При $x > \sqrt{\pi/2} \approx 1.25$ значение $x^2 > \pi/2$, а $\cos x \le 1$. При $x > 1$ значение $x^2 > 1$, в то время как $\cos x \le 1$. Таким образом, все возможные точки пересечения для $x>0$ должны находиться в интервале $(0, 1]$. Функция $y=x^2$ возрастает на $(0, \infty)$, а функция $y=\cos x$ убывает на $(0, \pi)$. Так как при $x \to 0$ имеем $x^2 < \cos x$, а, например, при $x=1$ имеем $1^2 > \cos(1)$ (поскольку $1$ радиан это примерно $57.3^\circ$ и $\cos(1) \approx 0.54$), то на интервале $(0, 1)$ графики пересекутся ровно один раз.

Поскольку обе функции ($y=x^2$ и $y=\cos x$) являются чётными, их графики симметричны относительно оси Oy. Это означает, что если есть точка пересечения с абсциссой $x_0 > 0$, то обязательно есть и симметричная ей точка пересечения с абсциссой $-x_0$. Таким образом, имеется одна точка пересечения в правой полуплоскости и одна симметричная ей в левой полуплоскости. Всего 2 точки пересечения.

Ответ: 2

б)

Рассмотрим систему уравнений $ \begin{cases} x^2 + y^2 = 4 \\ y = 2 - x^2 \end{cases} $. Количество решений системы равно количеству точек пересечения графиков этих двух уравнений.

Уравнение $x^2 + y^2 = 4$ задает окружность с центром в начале координат (0, 0) и радиусом $R = \sqrt{4} = 2$.

Уравнение $y = 2 - x^2$ задает параболу, ветви которой направлены вниз. Вершина параболы находится в точке (0, 2).

Построим графики. Вершина параболы (0, 2) является также самой верхней точкой окружности, следовательно, это одна из точек пересечения. Чтобы найти другие точки пересечения, можно подставить выражение для $y$ из второго уравнения в первое: $x^2 + (2 - x^2)^2 = 4$
$x^2 + 4 - 4x^2 + x^4 = 4$
$x^4 - 3x^2 = 0$
$x^2(x^2 - 3) = 0$
Отсюда получаем два случая:
1) $x^2 = 0 \Rightarrow x = 0$. Тогда $y = 2 - 0^2 = 2$. Точка (0, 2).
2) $x^2 - 3 = 0 \Rightarrow x^2 = 3 \Rightarrow x = \pm\sqrt{3}$.
Если $x = \sqrt{3}$, то $y = 2 - (\sqrt{3})^2 = 2 - 3 = -1$. Точка $(\sqrt{3}, -1)$.
Если $x = -\sqrt{3}$, то $y = 2 - (-\sqrt{3})^2 = 2 - 3 = -1$. Точка $(-\sqrt{3}, -1)$.

Таким образом, графики пересекаются в трех точках: (0, 2), $(\sqrt{3}, -1)$ и $(-\sqrt{3}, -1)$.

Ответ: 3

в)

Рассмотрим систему уравнений $ \begin{cases} y = \sin x \\ y = 0,1x \end{cases} $. Число решений системы равно числу точек пересечения синусоиды $y = \sin x$ и прямой $y = 0.1x$.

График $y = \sin x$ — синусоида, значения которой находятся в пределах от -1 до 1. График $y = 0.1x$ — прямая, проходящая через начало координат с угловым коэффициентом 0.1.

Очевидно, что $x=0, y=0$ является решением, так как точка (0, 0) принадлежит обоим графикам. Обе функции, $y = \sin x$ и $y = 0.1x$, являются нечётными, поэтому их графики симметричны относительно начала координат. Это значит, что количество положительных решений равно количеству отрицательных решений.

Рассмотрим $x > 0$. Пересечения возможны только тогда, когда значения прямой $y = 0.1x$ находятся в диапазоне значений синуса, т.е. $|0.1x| \le 1$, что равносильно $|x| \le 10$. В точке $x=0$ производная $(\sin x)' = \cos x$ равна 1, а производная $(0.1x)'$ равна 0.1. Так как $1 > 0.1$, то при малых $x>0$ график синуса лежит выше прямой.

• На отрезке $[0, \pi] \approx [0, 3.14]$: $\sin x \ge 0$. Прямая $y=0.1x$ возрастает от 0 до $0.1\pi \approx 0.314$. Так как $\sin x$ начинается выше прямой (кроме $x=0$), а в точке $x=\pi$ значение $\sin \pi = 0$, а $0.1\pi > 0$, то на интервале $(0, \pi)$ есть одна точка пересечения.
• На отрезке $[\pi, 2\pi] \approx [3.14, 6.28]$: $\sin x \le 0$, а $y=0.1x > 0$. Пересечений нет.
• На отрезке $[2\pi, 3\pi] \approx [6.28, 9.42]$: $\sin x \ge 0$. Прямая $y=0.1x$ возрастает от $0.2\pi \approx 0.628$ до $0.3\pi \approx 0.942$. Максимум синуса на этом отрезке равен 1 (при $x=5\pi/2 \approx 7.85$). В этой точке $y=0.1x \approx 0.785 < 1$. Так как в точках $x=2\pi$ и $x=3\pi$ значение синуса (0) меньше значения прямой, а в точке $x=5\pi/2$ значение синуса (1) больше значения прямой, то на этом интервале есть две точки пересечения.
• При $x \ge 3\pi \approx 9.42$: Максимум следующего положительного полупериода синуса (на $[4\pi, 5\pi]$) будет равен 1, но прямая $y=0.1x$ будет уже больше 1 (так как $0.1 \cdot 4\pi \approx 1.25 > 1$). Следовательно, других пересечений при $x>0$ нет.

Итак, для $x > 0$ имеется $1+2=3$ решения. В силу симметрии, для $x < 0$ также имеется 3 решения. Вместе с решением $x=0$, общее количество решений составляет $3 + 3 + 1 = 7$.

Ответ: 7

г)

Рассмотрим систему уравнений $ \begin{cases} y + 2 = \sqrt{x+4} \\ y + x^3 = 0 \end{cases} $. Преобразуем уравнения к виду $y=f(x)$: $ \begin{cases} y = \sqrt{x+4} - 2 \\ y = -x^3 \end{cases} $ Количество решений системы равно количеству точек пересечения графиков этих функций.

График функции $y = \sqrt{x+4} - 2$ — это график функции $y=\sqrt{x}$, смещенный на 4 единицы влево и на 2 единицы вниз. Область определения функции: $x+4 \ge 0 \Rightarrow x \ge -4$. График начинается в точке $(-4, -2)$ и является возрастающей вогнутой кривой.

График функции $y = -x^3$ — это кубическая парабола, симметричная относительно начала координат и убывающая на всей числовой оси.

Проверим, пересекаются ли графики в начале координат. При $x=0$: $y = \sqrt{0+4} - 2 = 2 - 2 = 0$. $y = -0^3 = 0$. Оба графика проходят через точку (0, 0), значит, это одно из решений.

Для поиска других решений рассмотрим функцию $f(x) = (\sqrt{x+4} - 2) - (-x^3) = \sqrt{x+4} - 2 + x^3$. Корни этой функции соответствуют точкам пересечения. Найдем производную: $f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x+4}} + 3x^2$. Производная определена при $x > -4$. На всей области определения $(-4, \infty)$ оба слагаемых в выражении для производной неотрицательны. Первое слагаемое $\frac{1}{2\sqrt{x+4}}$ всегда строго положительно. Второе слагаемое $3x^2 \ge 0$. Таким образом, $f'(x) > 0$ для всех $x$ из области определения. Это означает, что функция $f(x)$ является строго возрастающей на всей своей области определения. Строго возрастающая функция может пересекать ось абсцисс (т.е. принимать значение 0) не более одного раза. Поскольку мы уже нашли, что $f(0)=0$, это и есть единственное решение.

Ответ: 1

Решите графически систему уравнений:

33.7. a) $$\begin{cases} y + x = 3, \\ xy = 2; \end{cases}$$

б) $$\begin{cases} y = x(x - 4), \\ y + 8 = 2x. \end{cases}$$

a)

Чтобы решить систему уравнений графически, необходимо построить графики каждого уравнения в одной системе координат и найти точки их пересечения. Координаты этих точек и будут решением системы.

Дана система:

$ \begin{cases} y + x = 3, \\ xy = 2; \end{cases} $

1. Преобразуем первое уравнение, выразив $y$ через $x$:

$y + x = 3 \implies y = 3 - x$

Это уравнение линейной функции, ее график — прямая. Для построения прямой достаточно двух точек. Составим таблицу значений:

Таким образом, прямая проходит через точки $(0; 3)$ и $(3; 0)$.

2. Преобразуем второе уравнение, также выразив $y$ через $x$:

$xy = 2 \implies y = \frac{2}{x}$

Это уравнение обратной пропорциональности, ее график — гипербола, ветви которой расположены в I и III координатных четвертях. Составим таблицу значений для построения:

3. Построим графики функций $y = 3 - x$ и $y = \frac{2}{x}$ в одной системе координат.

Из графика видно, что прямая и гипербола пересекаются в двух точках. Определим их координаты: $A(1; 2)$ и $B(2; 1)$.

Ответ: $(1; 2), (2; 1)$.

б)

Решим графически систему уравнений:

$ \begin{cases} y = x(x - 4), \\ y + 8 = 2x. \end{cases} $

1. Рассмотрим первое уравнение: $y = x(x - 4)$ или $y = x^2 - 4x$.

Это квадратичная функция, ее график — парабола, ветви которой направлены вверх (коэффициент при $x^2$ положителен). Найдем координаты вершины параболы:

$x_в = -\frac{b}{2a} = -\frac{-4}{2 \cdot 1} = 2$

$y_в = 2^2 - 4 \cdot 2 = 4 - 8 = -4$

Вершина параболы находится в точке $(2; -4)$. Найдем еще несколько точек для построения. Найдем точки пересечения с осью Ox (нули функции):

$x^2 - 4x = 0 \implies x(x - 4) = 0 \implies x_1 = 0, x_2 = 4$.

Точки пересечения с Ox: $(0; 0)$ и $(4; 0)$. Составим таблицу значений:

2. Преобразуем второе уравнение, выразив $y$ через $x$:

$y + 8 = 2x \implies y = 2x - 8$

Это уравнение линейной функции, ее график — прямая. Для построения прямой достаточно двух точек. Составим таблицу значений:

Таким образом, прямая проходит через точки $(2; -4)$ и $(4; 0)$.

3. Построим графики функций $y = x^2 - 4x$ и $y = 2x - 8$ в одной системе координат.

Из графика видно, что парабола и прямая пересекаются в двух точках. Координаты этих точек: $A(2; -4)$ и $B(4; 0)$.

Ответ: $(2; -4), (4; 0)$.

33.8. a) $$\begin{cases} y \cdot 2^{x+1} = 1, \\ \sqrt[3]{x+2} = y; \end{cases}$$

б) $$\begin{cases} y = 2^{x-1}, \\ |x-3| = y+1. \end{cases}$$

Рассмотрим систему уравнений:

$\left\{\begin{array}{l} y \cdot 2^{x+1} = 1, \\ \sqrt[3]{x+2} = y \end{array}\right.$

Для решения системы подставим выражение для $y$ из второго уравнения в первое. Получим:

$(\sqrt[3]{x+2}) \cdot 2^{x+1} = 1$

Это уравнение можно переписать в виде $\sqrt[3]{x+2} = \frac{1}{2^{x+1}}$, что эквивалентно $\sqrt[3]{x+2} = 2^{-(x+1)}$.

Рассмотрим функции в левой и правой частях уравнения. Функция $f(x) = \sqrt[3]{x+2}$ является строго возрастающей на всей своей области определения (все действительные числа). Функция $g(x) = 2^{-(x+1)}$ является строго убывающей, так как основание степени $2 > 1$, а показатель является убывающей линейной функцией от $x$.

Уравнение, в котором строго возрастающая функция равна строго убывающей, может иметь не более одного решения.

Попробуем найти это решение методом подбора, проверяя целые значения $x$.

При $x = -1$:

Левая часть: $\sqrt[3]{-1+2} = \sqrt[3]{1} = 1$.

Правая часть: $2^{-(-1+1)} = 2^{0} = 1$.

Поскольку левая и правая части равны ($1=1$), $x=-1$ является единственным решением уравнения.

Теперь найдем соответствующее значение $y$, подставив $x=-1$ во второе уравнение системы:

$y = \sqrt[3]{-1+2} = \sqrt[3]{1} = 1$.

Проверим найденную пару $(-1, 1)$ по первому уравнению: $1 \cdot 2^{-1+1} = 1 \cdot 2^0 = 1$. Равенство верно.

Ответ: $(-1, 1)$.

Рассмотрим систему уравнений:

$\left\{\begin{array}{l} y = 2^{x-1}, \\ |x-3| = y+1 \end{array}\right.$

Подставим выражение для $y$ из первого уравнения во второе:

$|x-3| = 2^{x-1} + 1$

Для решения уравнения с модулем необходимо рассмотреть два случая, в зависимости от знака выражения под модулем.

Случай 1: $x-3 \ge 0$, то есть $x \ge 3$.

В этом случае $|x-3| = x-3$. Уравнение принимает вид:

$x-3 = 2^{x-1} + 1$

$x-4 = 2^{x-1}$

Рассмотрим функции $f(x) = x-4$ (линейная) и $g(x) = 2^{x-1}$ (показательная). При $x=3$ имеем $f(3) = -1$ и $g(3) = 2^{2} = 4$. Так как показательная функция растет гораздо быстрее линейной, а при $x=3$ значение $g(x)$ уже больше значения $f(x)$, то при $x > 3$ разрыв между ними будет только увеличиваться. Следовательно, в этом случае решений нет.

Случай 2: $x-3 < 0$, то есть $x < 3$.

В этом случае $|x-3| = -(x-3) = 3-x$. Уравнение принимает вид:

$3-x = 2^{x-1} + 1$

$2-x = 2^{x-1}$

Функция в левой части $f(x) = 2-x$ является строго убывающей. Функция в правой части $g(x) = 2^{x-1}$ является строго возрастающей. Следовательно, это уравнение может иметь не более одного решения.

Найдем решение подбором. Проверим $x=1$:

Левая часть: $2-1=1$.

Правая часть: $2^{1-1} = 2^0 = 1$.

Поскольку левая и правая части равны ($1=1$), $x=1$ является единственным решением. Это значение удовлетворяет условию $x < 3$.

Теперь найдем соответствующее значение $y$ из первого уравнения системы:

$y = 2^{1-1} = 2^0 = 1$.

Проверим найденную пару $(1, 1)$ по второму уравнению: $|1-3| = 1+1 \implies |-2|=2 \implies 2=2$. Равенство верно.

Ответ: $(1, 1)$.

33.9. a) $\begin{cases}y - 1 = \sin \left( x - \frac{\pi}{2} \right), \\y + x^2 = 0;\end{cases}$

б) $\begin{cases}y = \sin 2x, \\y - 1 = 2x - \frac{\pi}{2}.\end{cases}$

а)

Дана система уравнений:$\begin{cases}y - 1 = \sin\left(x - \frac{\pi}{2}\right), \\y + x^2 = 0;\end{cases}$

Преобразуем первое уравнение, используя формулу приведения $\sin\left(\alpha - \frac{\pi}{2}\right) = -\cos(\alpha)$:
$y - 1 = -\cos(x)$
$y = 1 - \cos(x)$

Из второго уравнения системы выразим $y$:
$y = -x^2$

Приравняем правые части полученных выражений для $y$:
$1 - \cos(x) = -x^2$
$x^2 + 1 = \cos(x)$

Рассмотрим левую и правую части уравнения как две функции: $g(x) = x^2 + 1$ и $f(x) = \cos(x)$.
Область значений функции $f(x) = \cos(x)$ есть отрезок $[-1, 1]$, то есть $\cos(x) \le 1$ для любого $x$.
Функция $g(x) = x^2 + 1$ представляет собой параболу, ветви которой направлены вверх, а вершина находится в точке $(0, 1)$. Таким образом, наименьшее значение функции $g(x)$ равно 1, то есть $x^2 + 1 \ge 1$ для любого $x$.

Равенство $x^2 + 1 = \cos(x)$ возможно только в том случае, когда обе части уравнения одновременно равны 1.$\begin{cases}x^2 + 1 = 1, \\\cos(x) = 1;\end{cases}$
Из первого уравнения системы получаем $x^2 = 0$, откуда $x=0$.

Подставим это значение во второе уравнение, чтобы проверить его:
$\cos(0) = 1$.
Равенство верное. Следовательно, единственным решением уравнения является $x=0$.

Теперь найдем соответствующее значение $y$, подставив $x=0$ во второе уравнение исходной системы $y = -x^2$:
$y = -0^2 = 0$.

Таким образом, решение системы — пара чисел $(0, 0)$.

Ответ: $(0, 0)$.

б)

Дана система уравнений:$\begin{cases}y = \sin 2x, \\y - 1 = 2x - \frac{\pi}{2};\end{cases}$

Подставим выражение для $y$ из первого уравнения во второе:
$\sin(2x) - 1 = 2x - \frac{\pi}{2}$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = 2x - \frac{\pi}{2}$. Тогда $2x = t + \frac{\pi}{2}$.
Уравнение примет вид:
$\sin\left(t + \frac{\pi}{2}\right) - 1 = t$

Используя формулу приведения $\sin\left(\alpha + \frac{\pi}{2}\right) = \cos(\alpha)$, получаем:
$\cos(t) - 1 = t$
$\cos(t) = t + 1$

Рассмотрим левую и правую части уравнения как две функции: $f(t) = \cos(t)$ и $g(t) = t+1$.
Легко заметить, что $t=0$ является корнем, так как $\cos(0) = 1$ и $0+1=1$.

Чтобы доказать, что это единственное решение, рассмотрим функцию $h(t) = \cos(t) - (t+1)$. Нам нужно найти нули этой функции.
Найдем производную: $h'(t) = (\cos(t) - t - 1)' = -\sin(t) - 1$.

Так как область значений функции $\sin(t)$ есть отрезок $[-1, 1]$, то $-\sin(t)$ также принимает значения от -1 до 1.
Следовательно, $h'(t) = -\sin(t) - 1 \le 1 - 1 = 0$.
Производная $h'(t)$ всегда неположительна, то есть функция $h(t)$ является невозрастающей на всей числовой прямой.

Поскольку функция $h(t)$ не возрастает и $h(0) = \cos(0) - (0+1) = 1 - 1 = 0$, то при $t > 0$ будет выполняться $h(t) < 0$, а при $t < 0$ будет выполняться $h(t) > 0$. Равенство $h(t)=0$ возможно только в точке $t=0$.
Следовательно, $t=0$ — единственный корень уравнения.

Вернемся к исходной переменной $x$:
$t = 2x - \frac{\pi}{2}$
$0 = 2x - \frac{\pi}{2}$
$2x = \frac{\pi}{2}$
$x = \frac{\pi}{4}$

Теперь найдем соответствующее значение $y$, подставив $x = \frac{\pi}{4}$ в первое уравнение исходной системы $y = \sin(2x)$:
$y = \sin\left(2 \cdot \frac{\pi}{4}\right) = \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1$.

Таким образом, решение системы — пара чисел $\left(\frac{\pi}{4}, 1\right)$.

Ответ: $\left(\frac{\pi}{4}, 1\right)$.

Решите систему уравнений:

33.10. а) $ \begin{cases} (2x + y)(x + 3y) = 48, \\ \frac{2x + y}{x + 3y} = \frac{3}{4}; \end{cases} $ б) $ \begin{cases} \frac{x - 3}{y + 2} = 4, \\ (x - 3)^2 + (y + 2)^2 = 17. \end{cases} $

а)

Данная система уравнений:

$ \begin{cases} (2x + y)(x + 3y) = 48, \\ \frac{2x + y}{x + 3y} = \frac{3}{4} \end{cases} $

Этот тип систем удобно решать методом введения новых переменных. Обозначим $u = 2x + y$ и $v = x + 3y$. При этом, из второго уравнения следует, что знаменатель $x+3y \ne 0$, а значит $v \ne 0$.

После замены система примет вид:

$ \begin{cases} u \cdot v = 48, \\ \frac{u}{v} = \frac{3}{4} \end{cases} $

Из второго уравнения выразим $u$ через $v$: $u = \frac{3}{4}v$.

Подставим это выражение в первое уравнение системы:

$\left(\frac{3}{4}v\right) \cdot v = 48$

$\frac{3}{4}v^2 = 48$

$v^2 = 48 \cdot \frac{4}{3} = 16 \cdot 4 = 64$

Отсюда находим два возможных значения для $v$: $v_1 = 8$ и $v_2 = -8$.

Для каждого значения $v$ найдем соответствующее значение $u$:

1. Если $v_1 = 8$, то $u_1 = \frac{3}{4} \cdot 8 = 6$.

2. Если $v_2 = -8$, то $u_2 = \frac{3}{4} \cdot (-8) = -6$.

Теперь необходимо вернуться к исходным переменным $x$ и $y$, решив две системы линейных уравнений.

Случай 1: $u=6$ и $v=8$.

$ \begin{cases} 2x + y = 6, \\ x + 3y = 8 \end{cases} $

Из первого уравнения выражаем $y = 6 - 2x$ и подставляем во второе:

$x + 3(6 - 2x) = 8$

$x + 18 - 6x = 8$

$-5x = -10$

$x = 2$

Находим $y$: $y = 6 - 2(2) = 6 - 4 = 2$.

Первое решение: $(2, 2)$.

Случай 2: $u=-6$ и $v=-8$.

$ \begin{cases} 2x + y = -6, \\ x + 3y = -8 \end{cases} $

Из первого уравнения выражаем $y = -6 - 2x$ и подставляем во второе:

$x + 3(-6 - 2x) = -8$

$x - 18 - 6x = -8$

$-5x = 10$

$x = -2$

Находим $y$: $y = -6 - 2(-2) = -6 + 4 = -2$.

Второе решение: $(-2, -2)$.

Ответ: $(2, 2)$; $(-2, -2)$.

б)

Данная система уравнений:

$ \begin{cases} \frac{x - 3}{y + 2} = 4, \\ (x - 3)^2 + (y + 2)^2 = 17 \end{cases} $

Здесь также удобно применить метод введения новых переменных. Пусть $a = x - 3$ и $b = y + 2$. Из первого уравнения следует, что $y+2 \ne 0$, то есть $b \ne 0$.

Система в новых переменных:

$ \begin{cases} \frac{a}{b} = 4, \\ a^2 + b^2 = 17 \end{cases} $

Из первого уравнения выразим $a$: $a = 4b$.

Подставим это во второе уравнение:

$(4b)^2 + b^2 = 17$

$16b^2 + b^2 = 17$

$17b^2 = 17$

$b^2 = 1$

Возможные значения для $b$: $b_1 = 1$ и $b_2 = -1$.

Найдем соответствующие значения $a$:

1. Если $b_1 = 1$, то $a_1 = 4 \cdot 1 = 4$.

2. Если $b_2 = -1$, то $a_2 = 4 \cdot (-1) = -4$.

Теперь вернемся к исходным переменным, рассмотрев два случая.

Случай 1: $a=4$ и $b=1$.

$ \begin{cases} x - 3 = 4 \\ y + 2 = 1 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x = 7 \\ y = -1 \end{cases} $

Первое решение: $(7, -1)$.

Случай 2: $a=-4$ и $b=-1$.

$ \begin{cases} x - 3 = -4 \\ y + 2 = -1 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x = -1 \\ y = -3 \end{cases} $

Второе решение: $(-1, -3)$.

Ответ: $(7, -1)$; $(-1, -3)$.

33.11. a) $ \begin{cases} x^2 + y^2 = 13, \\ x^4 - y^4 = 65; \end{cases} $

б) $ \begin{cases} 2x^4 = x^2y^2 + 1, \\ 3x^4 = x^2y^2 + 2. \end{cases} $

а) Исходная система уравнений:
$ \begin{cases} x^2 + y^2 = 13, \\ x^4 - y^4 = 65; \end{cases} $
Преобразуем второе уравнение, используя формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$. В нашем случае $a=x^2$ и $b=y^2$.
$x^4 - y^4 = (x^2)^2 - (y^2)^2 = (x^2 - y^2)(x^2 + y^2)$
Таким образом, второе уравнение системы принимает вид:
$(x^2 - y^2)(x^2 + y^2) = 65$
Из первого уравнения системы мы знаем, что $x^2 + y^2 = 13$. Подставим это значение в преобразованное второе уравнение:
$(x^2 - y^2) \cdot 13 = 65$
Отсюда найдем значение выражения $x^2 - y^2$:
$x^2 - y^2 = \frac{65}{13} = 5$
Теперь у нас есть новая, более простая система уравнений относительно $x^2$ и $y^2$:
$ \begin{cases} x^2 + y^2 = 13 \\ x^2 - y^2 = 5 \end{cases} $
Сложим два уравнения этой системы:
$(x^2 + y^2) + (x^2 - y^2) = 13 + 5$
$2x^2 = 18$
$x^2 = 9$
Отсюда $x = \pm\sqrt{9}$, то есть $x_1 = 3$ и $x_2 = -3$.
Теперь вычтем второе уравнение из первого:
$(x^2 + y^2) - (x^2 - y^2) = 13 - 5$
$2y^2 = 8$
$y^2 = 4$
Отсюда $y = \pm\sqrt{4}$, то есть $y_1 = 2$ и $y_2 = -2$.
Комбинируя возможные значения для $x$ и $y$, получаем четыре пары решений.
Ответ: $(3; 2), (3; -2), (-3; 2), (-3; -2)$.

б) Исходная система уравнений:
$ \begin{cases} 2x^4 = x^2y^2 + 1, \\ 3x^4 = x^2y^2 + 2. \end{cases} $
Вычтем первое уравнение из второго:
$(3x^4) - (2x^4) = (x^2y^2 + 2) - (x^2y^2 + 1)$
$x^4 = x^2y^2 + 2 - x^2y^2 - 1$
$x^4 = 1$
Так как $x^4=1$, то $x^2=1$ (поскольку $x^2$ не может быть отрицательным).
Из $x^2=1$ следует, что $x = \pm 1$.
Теперь подставим значение $x^4 = 1$ в первое уравнение исходной системы:
$2 \cdot 1 = x^2y^2 + 1$
$2 = x^2y^2 + 1$
$x^2y^2 = 1$
Мы уже знаем, что $x^2=1$. Подставим это значение в полученное уравнение:
$1 \cdot y^2 = 1$
$y^2 = 1$
Отсюда $y = \pm 1$.
Комбинируя возможные значения $x = \pm 1$ и $y = \pm 1$, получаем четыре пары решений.
Ответ: $(1; 1), (1; -1), (-1; 1), (-1; -1)$.

33.12. a) $\begin{cases} y + x^3 = 4, \\ 3y + y^2 + 2x^3 = 20; \end{cases}$

б) $\begin{cases} y^4 + x = 3, \\ 2x^2 - 5x + 3y^4 = 1. \end{cases}$

а)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} y + x^3 = 4, \\ 3y + y^2 + 2x^3 = 20; \end{cases} $

Для решения этой системы удобно использовать метод замены переменных. Пусть $u = x^3$ и $v = y$. Тогда система уравнений примет следующий вид:

$ \begin{cases} v + u = 4 \\ 3v + v^2 + 2u = 20 \end{cases} $

Из первого уравнения выразим переменную $u$ через $v$:

$u = 4 - v$

Теперь подставим это выражение для $u$ во второе уравнение системы:

$3v + v^2 + 2(4 - v) = 20$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые, чтобы получить квадратное уравнение относительно $v$:

$3v + v^2 + 8 - 2v = 20$

$v^2 + v + 8 - 20 = 0$

$v^2 + v - 12 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна $-1$, а произведение равно $-12$. Этим условиям удовлетворяют числа $3$ и $-4$.

Итак, мы имеем два возможных значения для $v$: $v_1 = 3$ и $v_2 = -4$.

Рассмотрим каждый случай отдельно, чтобы найти соответствующие значения $u$, а затем $x$ и $y$.

Случай 1: $v = 3$.

Так как $v = y$, то $y = 3$.

Найдем $u$ из соотношения $u = 4 - v$: $u = 4 - 3 = 1$.

Так как $u = x^3$, получаем $x^3 = 1$, откуда $x = 1$.

Первое решение системы: $(1; 3)$.

Случай 2: $v = -4$.

Так как $v = y$, то $y = -4$.

Найдем $u$ из соотношения $u = 4 - v$: $u = 4 - (-4) = 4 + 4 = 8$.

Так как $u = x^3$, получаем $x^3 = 8$, откуда $x = 2$.

Второе решение системы: $(2; -4)$.

Проверим найденные решения, подставив их в исходную систему уравнений.

Для $(1; 3)$:
$y + x^3 = 3 + 1^3 = 4$.
$3y + y^2 + 2x^3 = 3(3) + 3^2 + 2(1^3) = 9 + 9 + 2 = 20$.
Оба уравнения верны.

Для $(2; -4)$:
$y + x^3 = -4 + 2^3 = -4 + 8 = 4$.
$3y + y^2 + 2x^3 = 3(-4) + (-4)^2 + 2(2^3) = -12 + 16 + 16 = 20$.
Оба уравнения верны.

Ответ: $(1; 3)$, $(2; -4)$.

б)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} y^4 + x = 3, \\ 2x^2 - 5x + 3y^4 = 1. \end{cases} $

Эта система также решается методом замены. Пусть $a = y^4$ и $b = x$. Перепишем систему с новыми переменными:

$ \begin{cases} a + b = 3 \\ 3a + 2b^2 - 5b = 1 \end{cases} $

Из первого уравнения выразим $a$ через $b$:

$a = 3 - b$

Подставим это выражение во второе уравнение:

$3(3 - b) + 2b^2 - 5b = 1$

Раскроем скобки и приведем подобные члены:

$9 - 3b + 2b^2 - 5b = 1$

$2b^2 - 8b + 9 - 1 = 0$

$2b^2 - 8b + 8 = 0$

Разделим обе части уравнения на 2, чтобы упростить его:

$b^2 - 4b + 4 = 0$

Левая часть уравнения представляет собой полный квадрат:

$(b - 2)^2 = 0$

Это уравнение имеет единственный корень: $b = 2$.

Теперь выполним обратную замену. Так как $b = x$, то $x = 2$.

Найдем значение $a$, используя $a = 3 - b$:

$a = 3 - 2 = 1$.

Так как $a = y^4$, получаем уравнение для $y$:

$y^4 = 1$

Это уравнение имеет два действительных корня: $y_1 = 1$ и $y_2 = -1$.

Таким образом, мы получили две пары решений $(x, y)$:

1. $(2; 1)$

2. $(2; -1)$

Выполним проверку найденных решений.

Для $(2; 1)$:
$y^4 + x = 1^4 + 2 = 1 + 2 = 3$.
$2x^2 - 5x + 3y^4 = 2(2^2) - 5(2) + 3(1^4) = 2(4) - 10 + 3 = 8 - 10 + 3 = 1$.
Оба уравнения верны.

Для $(2; -1)$:
$y^4 + x = (-1)^4 + 2 = 1 + 2 = 3$.
$2x^2 - 5x + 3y^4 = 2(2^2) - 5(2) + 3((-1)^4) = 2(4) - 10 + 3(1) = 8 - 10 + 3 = 1$.
Оба уравнения верны.

Ответ: $(2; 1)$, $(2; -1)$.

33.13. a) $\begin{cases} x^3 y^5 = 32, \\ x^5 y^3 = 8; \end{cases}$

б) $\begin{cases} (x + 2y)^3 (x - 2y)^2 = 9, \\ (x - 2y)^3 (x + 2y)^2 = -27. \end{cases}$

a)

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} x^3y^5 = 32 \\ x^5y^3 = 8 \end{cases} $$

Поскольку правые части уравнений не равны нулю, то $x \neq 0$ и $y \neq 0$.

Перемножим два уравнения системы:

$(x^3y^5) \cdot (x^5y^3) = 32 \cdot 8$

$x^{3+5}y^{5+3} = 256$

$x^8y^8 = 256$

$(xy)^8 = 2^8$

Из этого следует, что $xy = 2$ или $xy = -2$.

Теперь разделим первое уравнение системы на второе:

$\frac{x^3y^5}{x^5y^3} = \frac{32}{8}$

$x^{3-5}y^{5-3} = 4$

$x^{-2}y^2 = 4$

$\frac{y^2}{x^2} = 4$

$(\frac{y}{x})^2 = 4$

Из этого следует, что $\frac{y}{x} = 2$ или $\frac{y}{x} = -2$, что эквивалентно $y = 2x$ или $y = -2x$.

Теперь необходимо рассмотреть четыре системы уравнений:

1. $\begin{cases} xy = 2 \\ y = 2x \end{cases}$
Подставляя $y$ из второго уравнения в первое, получаем: $x(2x) = 2 \implies 2x^2 = 2 \implies x^2 = 1$. Отсюда $x = 1$ или $x = -1$.
Если $x=1$, то $y=2(1)=2$. Получаем решение $(1, 2)$.
Если $x=-1$, то $y=2(-1)=-2$. Получаем решение $(-1, -2)$.

2. $\begin{cases} xy = 2 \\ y = -2x \end{cases}$
Подставляя $y$ из второго уравнения в первое, получаем: $x(-2x) = 2 \implies -2x^2 = 2 \implies x^2 = -1$. В действительных числах решений нет.

3. $\begin{cases} xy = -2 \\ y = 2x \end{cases}$
Подставляя $y$ из второго уравнения в первое, получаем: $x(2x) = -2 \implies 2x^2 = -2 \implies x^2 = -1$. В действительных числах решений нет.

4. $\begin{cases} xy = -2 \\ y = -2x \end{cases}$
Подставляя $y$ из второго уравнения в первое, получаем: $x(-2x) = -2 \implies -2x^2 = -2 \implies x^2 = 1$. Отсюда $x = 1$ или $x = -1$.
Если $x=1$, то $y=-2(1)=-2$. Пара $(1, -2)$.
Если $x=-1$, то $y=-2(-1)=2$. Пара $(-1, 2)$.

Проверим найденные пары, подставив их в исходные уравнения. Решения $(1, 2)$ и $(-1, -2)$ из первого случая удовлетворяют системе:

Для $(1, 2)$: $1^3 \cdot 2^5 = 1 \cdot 32 = 32$ и $1^5 \cdot 2^3 = 1 \cdot 8 = 8$. Верно.

Для $(-1, -2)$: $(-1)^3 \cdot (-2)^5 = (-1)(-32) = 32$ и $(-1)^5 \cdot (-2)^3 = (-1)(-8) = 8$. Верно.

Пары $(1, -2)$ и $(-1, 2)$ из четвертого случая не удовлетворяют первому уравнению исходной системы:

Для $(1, -2)$: $1^3 \cdot (-2)^5 = 1 \cdot (-32) = -32 \neq 32$.

Таким образом, только две пары чисел являются решениями системы.

Ответ: $(1, 2)$, $(-1, -2)$.

б)

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} (x+2y)^3(x-2y)^2 = 9 \\ (x-2y)^3(x+2y)^2 = -27 \end{cases} $$

Для упрощения системы введем новые переменные. Пусть $a = x+2y$ и $b = x-2y$. Тогда система примет вид:

$$ \begin{cases} a^3b^2 = 9 \\ b^3a^2 = -27 \end{cases} $$

Перемножим уравнения новой системы:

$(a^3b^2) \cdot (b^3a^2) = 9 \cdot (-27)$

$a^5b^5 = -243$

$(ab)^5 = (-3)^5$

Отсюда следует, что $ab = -3$.

Теперь разделим первое уравнение на второе:

$\frac{a^3b^2}{b^3a^2} = \frac{9}{-27}$

$\frac{a}{b} = -\frac{1}{3}$

Отсюда $a = -\frac{b}{3}$.

Теперь решим систему для $a$ и $b$:

$$ \begin{cases} ab = -3 \\ a = -b/3 \end{cases} $$

Подставим выражение для $a$ из второго уравнения в первое:

$(-\frac{b}{3}) \cdot b = -3$

$-\frac{b^2}{3} = -3$

$b^2 = 9$

Следовательно, $b = 3$ или $b = -3$.

Если $b = 3$, то $a = -3/3 = -1$. Проверим эту пару в системе для $a$ и $b$: $a^3b^2 = (-1)^3(3)^2 = -9 \neq 9$. Значит, эта пара не является решением.

Если $b = -3$, то $a = -(-3)/3 = 1$. Проверим эту пару: $a^3b^2 = (1)^3(-3)^2 = 9$ (верно) и $b^3a^2 = (-3)^3(1)^2 = -27$ (верно). Эта пара является решением.

Итак, мы нашли, что $a=1$ и $b=-3$.

Выполним обратную замену, чтобы найти $x$ и $y$:

$$ \begin{cases} x+2y = 1 \\ x-2y = -3 \end{cases} $$

Сложим два уравнения этой линейной системы:

$(x+2y) + (x-2y) = 1 + (-3)$

$2x = -2$

$x = -1$

Подставим найденное значение $x$ в первое уравнение:

$-1 + 2y = 1$

$2y = 2$

$y=1$

Решением системы является одна пара чисел.

Ответ: $(-1, 1)$.