Страница 241, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

1. Укажите основные методы решения уравнений с одной переменной.

Решение уравнения с одной переменной — это нахождение всех его корней (решений) или доказательство того, что их нет. Выбор метода решения зависит от вида (типа) уравнения. К основным методам можно отнести следующие:

Метод разложения на множители

Суть метода заключается в преобразовании уравнения к виду $f_1(x) \cdot f_2(x) \cdot \dots \cdot f_n(x) = 0$. Такое уравнение равносильно совокупности уравнений $f_1(x) = 0$, $f_2(x) = 0$, ..., $f_n(x) = 0$. Решением исходного уравнения будет объединение решений всех этих уравнений. Для разложения на множители используют вынесение общего множителя за скобки, формулы сокращенного умножения, группировку и другие приемы.

Пример: Решить уравнение $x^3 - 4x = 0$.

Выносим общий множитель $x$ за скобки: $x(x^2 - 4) = 0$.

Используем формулу разности квадратов: $x(x - 2)(x + 2) = 0$.

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю:

$x = 0$ или $x - 2 = 0$ или $x + 2 = 0$.

Отсюда получаем корни: $x_1 = 0$, $x_2 = 2$, $x_3 = -2$.

Ответ: Метод заключается в представлении уравнения в виде произведения нескольких сомножителей, равного нулю, и последующем решении более простых уравнений, получаемых приравниванием каждого из сомножителей к нулю.

Метод введения новой переменной (метод замены)

Этот метод используется, когда в уравнение многократно входит одно и то же выражение с переменной. Это выражение заменяют новой переменной, что позволяет свести исходное уравнение к более простому, стандартному виду. После нахождения значений новой переменной выполняют обратную замену и находят исходную переменную.

Пример: Решить биквадратное уравнение $x^4 - 5x^2 + 4 = 0$.

Введем новую переменную $t = x^2$. Так как квадрат любого числа неотрицателен, должно выполняться условие $t \ge 0$. Уравнение примет вид:

$t^2 - 5t + 4 = 0$.

Решаем это квадратное уравнение относительно $t$, например, по теореме Виета: $t_1 = 1$, $t_2 = 4$. Оба корня удовлетворяют условию $t \ge 0$.

Выполняем обратную замену:

1) $x^2 = 1 \implies x = \pm 1$.

2) $x^2 = 4 \implies x = \pm 2$.

Ответ: Метод заключается в замене некоторого повторяющегося выражения новой переменной для упрощения вида уравнения, решении полученного уравнения и последующем возврате к исходной переменной.

Графический метод

Для решения уравнения $f(x) = g(x)$ строят графики функций $y = f(x)$ и $y = g(x)$ в одной системе координат. Абсциссы (координаты $x$) точек пересечения графиков являются корнями уравнения. Этот метод особенно полезен для определения количества корней и нахождения их приблизительных значений, так как точное построение и нахождение координат точек пересечения может быть затруднительным.

Пример: Определить количество корней уравнения $\log_2(x) = 3 - x$.

Построим графики функций $y = \log_2(x)$ (возрастающая логарифмическая кривая, проходящая через точку $(1,0)$) и $y = 3 - x$ (убывающая прямая). Видно, что графики пересекаются в одной точке, следовательно, уравнение имеет один корень.

Ответ: Метод состоит в построении графиков для левой и правой частей уравнения и нахождении абсцисс точек их пересечения.

Функциональный метод (использование свойств функций)

Метод основан на использовании свойств функций (монотонность, ограниченность, четность, область определения и т.д.), входящих в уравнение. Это позволяет либо упростить решение, либо доказать единственность корня или их отсутствие.

Пример на использование монотонности: Решить уравнение $\log_5(x) + x = 6$.

Функция $f(x) = \log_5(x) + x$ является суммой двух возрастающих функций ($y=\log_5(x)$ и $y=x$) и, следовательно, сама является строго возрастающей на всей своей области определения ($x>0$). Это означает, что каждое своё значение она принимает только один раз. Таким образом, уравнение $f(x)=6$ может иметь не более одного корня. Подбором легко найти, что $x=5$ является корнем: $\log_5(5) + 5 = 1 + 5 = 6$. Следовательно, $x=5$ — единственный корень.

Пример на использование ограниченности: Решить уравнение $\sin(3x) = -x^2 - 1$.

Оценим значения левой и правой частей уравнения. Известно, что область значений функции синус — отрезок $[-1, 1]$, то есть $-1 \le \sin(3x) \le 1$. Для правой части имеем: $x^2 \ge 0$, откуда $-x^2 \le 0$, и значит $-x^2 - 1 \le -1$. Равенство возможно только в том случае, когда обе части одновременно равны $-1$. Это приводит к системе уравнений: $\sin(3x) = -1$ и $-x^2 - 1 = -1$. Из второго уравнения получаем $x^2=0$, то есть $x=0$. Однако, при подстановке $x=0$ в первое уравнение получаем $\sin(0) = 0 \neq -1$. Таким образом, система не имеет решений, а значит и исходное уравнение не имеет корней.

Ответ: Метод заключается в применении знаний о свойствах функций (монотонность, ограниченность и др.) для анализа уравнения, что позволяет найти корни или доказать их отсутствие.

Применение стандартных формул и алгоритмов

Для наиболее распространенных типов уравнений существуют готовые формулы и четкие алгоритмы решения, которые являются частными случаями общих методов. Например: линейные уравнения вида $ax+b=0$ решаются путем алгебраических преобразований для выражения $x$; квадратные уравнения $ax^2+bx+c=0$ решаются по известной формуле корней $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$; рациональные уравнения вида $\frac{P(x)}{Q(x)}=0$ сводятся к системе $P(x)=0$ и $Q(x) \neq 0$; иррациональные, показательные, логарифмические и тригонометрические уравнения решаются с помощью специфических для каждого класса преобразований и формул.

Ответ: Использование стандартных формул и алгоритмов, разработанных для конкретных классов уравнений (линейных, квадратных, тригонометрических и т.д.).

2. В чём состоит метод разложения на множители при решении уравнений с одной переменной?

2. В чём состоит метод разложения на множители при решении уравнений с одной переменной?

Метод разложения на множители — это способ решения уравнения, при котором его преобразуют так, чтобы одна из частей (обычно левая) представляла собой произведение нескольких выражений (множителей), а другая часть была равна нулю. Этот метод особенно эффективен для решения полиномиальных уравнений.

Основой метода является свойство числового произведения: произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из его множителей равен нулю.

Таким образом, уравнение вида $A(x) \cdot B(x) \cdot C(x) = 0$ равносильно совокупности (то есть набору) более простых уравнений:

$A(x) = 0$

$B(x) = 0$

$C(x) = 0$

Решением исходного уравнения будет объединение всех корней, найденных в каждом из этих простых уравнений.

Алгоритм применения метода:

1. Перенести все слагаемые уравнения в одну сторону, чтобы получить уравнение вида $f(x) = 0$.
2. Разложить выражение $f(x)$ на множители. Для этого могут применяться различные алгебраические техники:
   • Вынесение общего множителя за скобки.
   • Использование формул сокращенного умножения (например, разность квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$).
   • Метод группировки слагаемых.
   • Разложение квадратного трехчлена на множители по его корням: $ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2)$.
   • Для многочленов высших степеней — нахождение целых корней среди делителей свободного члена с последующим делением многочлена на двучлен $(x - x_{корень})$.
3. Приравнять к нулю каждый из полученных множителей.
4. Решить каждое из получившихся простых уравнений.
5. Объединить все найденные корни. Если уравнение имело ограничения на область допустимых значений (ОДЗ), необходимо проверить, удовлетворяют ли им найденные корни.

Пример:

Решить уравнение $x^3 - 3x^2 - 4x + 12 = 0$.

1. Уравнение уже приведено к виду $f(x)=0$.

2. Разложим левую часть на множители методом группировки. Сгруппируем первое и второе слагаемые, а также третье и четвертое:

$(x^3 - 3x^2) + (-4x + 12) = 0$

Вынесем общие множители из каждой группы:

$x^2(x - 3) - 4(x - 3) = 0$

Теперь вынесем общий множитель $(x - 3)$ за скобки:

$(x - 3)(x^2 - 4) = 0$

Множитель $(x^2 - 4)$ можно разложить по формуле разности квадратов:

$(x - 3)(x - 2)(x + 2) = 0$

3. Приравняем каждый множитель к нулю:

$x - 3 = 0$

$x - 2 = 0$

$x + 2 = 0$

4. Решим получившиеся линейные уравнения:

$x_1 = 3$

$x_2 = 2$

$x_3 = -2$

5. Объединяем корни. Ограничений на ОДЗ не было. Корнями уравнения являются числа -2, 2, 3.

Ответ: Метод разложения на множители заключается в преобразовании уравнения к виду $f_1(x) \cdot f_2(x) \cdot \dots \cdot f_n(x) = 0$. Это позволяет свести решение одного сложного уравнения к решению совокупности более простых уравнений: $f_1(x)=0$, $f_2(x)=0$, ..., $f_n(x)=0$. Итоговое множество корней является объединением корней всех этих простых уравнений.

уравнений с одной переменной?

3. Опишите суть метода введения новой переменной при решении уравнения с одной переменной.

3.

Метод введения новой переменной (или метод замены переменной) — это один из наиболее универсальных и эффективных приемов решения уравнений, который заключается в замене некоторого повторяющегося в уравнении выражения новой переменной. Это позволяет свести исходное, часто сложное и громоздкое уравнение, к более простому, стандартному виду (например, линейному, квадратному), которое легко решается известными методами.

Алгоритм применения метода состоит из следующих шагов:

1. Анализ уравнения и выбор замены. Внимательно изучают структуру уравнения и находят в нем повторяющееся выражение $g(x)$. Это выражение обозначают новой переменной, например, $t$. То есть, выполняют замену: $t = g(x)$. Важно на этом этапе определить область допустимых значений для новой переменной $t$, исходя из свойств выражения $g(x)$.
2. Составление нового уравнения. Заменяют все вхождения выражения $g(x)$ в исходном уравнении на новую переменную $t$. В результате получают новое, более простое уравнение относительно переменной $t$.
3. Решение нового уравнения. Решают полученное уравнение относительно $t$. В результате находят один или несколько корней: $t_1, t_2, \ldots, t_n$.
4. Отбор корней для новой переменной. Проверяют найденные значения $t$ на соответствие области допустимых значений, определенной в первом шаге. Те значения, которые не удовлетворяют ограничениям, отбрасывают.
5. Обратная замена. Для каждого подходящего корня $t_k$ составляют и решают уравнение, возвращаясь к исходной переменной $x$: $g(x) = t_k$.
6. Формирование ответа. Все найденные на предыдущем шаге значения $x$ и являются корнями исходного уравнения. Если необходимо, их проверяют подстановкой в исходное уравнение или на соответствие области определения исходного уравнения (ОДЗ).

Пример 1: Решение биквадратного уравнения.

Рассмотрим уравнение: $x^4 - 13x^2 + 36 = 0$.

1. Видим, что уравнение содержит $x^2$ и $x^4 = (x^2)^2$. Введем новую переменную $t = x^2$. Так как $x^2 \ge 0$, то и для новой переменной должно выполняться условие $t \ge 0$.

2. Подставим $t$ в уравнение: $t^2 - 13t + 36 = 0$.

3. Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета, корни $t_1 = 4$ и $t_2 = 9$.

4. Оба корня ($4$ и $9$) удовлетворяют условию $t \ge 0$.

5. Выполним обратную замену:
а) $x^2 = 4 \implies x_{1,2} = \pm 2$.
б) $x^2 = 9 \implies x_{3,4} = \pm 3$.

6. Корни исходного уравнения: $-3, -2, 2, 3$.

Пример 2: Решение тригонометрического уравнения.

Рассмотрим уравнение: $2\cos^2(x) + 3\cos(x) - 2 = 0$.

1. Повторяющееся выражение — $\cos(x)$. Введем замену $t = \cos(x)$. Область значений косинуса — $[-1, 1]$, следовательно, $|t| \le 1$.

2. Уравнение принимает вид: $2t^2 + 3t - 2 = 0$.

3. Решаем квадратное уравнение:
$D = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 9 + 16 = 25 = 5^2$.
$t_1 = \frac{-3 - 5}{4} = -2$.
$t_2 = \frac{-3 + 5}{4} = \frac{2}{4} = 0.5$.

4. Проверяем корни. $t_1 = -2$ не удовлетворяет условию $|t| \le 1$, поэтому это посторонний корень. $t_2 = 0.5$ удовлетворяет условию.

5. Выполняем обратную замену для подходящего корня: $\cos(x) = 0.5$.

6. Решаем простейшее тригонометрическое уравнение: $x = \pm \arccos(0.5) + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
$x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: Суть метода введения новой переменной заключается в том, чтобы путем замены повторяющегося в уравнении выражения на новую переменную преобразовать исходное сложное уравнение в более простое уравнение стандартного вида. После нахождения значений новой переменной выполняется обратная замена, что позволяет найти корни исходного уравнения.

4. Как можно использовать графики функций для решения уравнения с одной переменной?

Графический метод решения уравнений с одной переменной — это наглядный способ нахождения корней уравнения путем построения и анализа графиков соответствующих функций. Суть метода заключается в том, чтобы преобразовать алгебраическую задачу нахождения корней в геометрическую задачу нахождения координат точек пересечения графиков.

Существует два основных подхода к использованию этого метода.

Этот способ является наиболее распространенным. Алгоритм действий следующий:

1. Исходное уравнение с переменной $x$ преобразуется к виду $f(x) = g(x)$, где $f(x)$ и $g(x)$ — некоторые функции. Иногда уравнение уже представлено в таком виде.
2. Вводится две функции: $y = f(x)$ и $y = g(x)$.
3. В одной системе координат строятся графики обеих функций.
4. Находятся точки пересечения этих графиков.
5. Абсциссы (координаты $x$) каждой точки пересечения являются корнями исходного уравнения. Если графики не пересекаются, то уравнение не имеет действительных корней.

Ответ: Корнями уравнения, представленного в виде $f(x) = g(x)$, являются абсциссы точек пересечения графиков функций $y = f(x)$ и $y = g(x)$.

Этот способ является частным случаем первого, где одна из функций — константа, равная нулю ($g(x) = 0$).

1. Все члены исходного уравнения переносятся в одну сторону (например, в левую), чтобы получить уравнение вида $h(x) = 0$.
2. Вводится функция $y = h(x)$.
3. Строится график этой функции.
4. Находятся точки пересечения графика с осью абсцисс (осью $Ox$), так как именно на этой оси координата $y$ равна нулю.
5. Абсциссы этих точек пересечения (их также называют нулями функции) являются корнями исходного уравнения.

Ответ: Корнями уравнения, представленного в виде $h(x) = 0$, являются абсциссы точек пересечения графика функции $y = h(x)$ с осью $Ox$.

Воспользуемся первым способом.

1. Уравнение уже имеет вид $f(x) = g(x)$.
2. Введем две функции: $y = f(x) = \sqrt{x+1}$ и $y = g(x) = 3-x$.
3. Построим их графики в одной системе координат.
   • График $y = \sqrt{x+1}$ — это ветвь параболы, выходящая из точки $(-1, 0)$ и идущая вправо-вверх.
   • График $y = 3-x$ — это прямая линия, проходящая через точки $(0, 3)$ и $(3, 0)$.
4. Построив графики, мы увидим, что они пересекаются в одной точке.
5. Определяем координаты этой точки по графику. Видно, что точка пересечения имеет координаты $(3, 0)$. Нас интересует абсцисса, то есть $x=3$.

Для проверки подставим найденное значение в исходное уравнение: $\sqrt{3+1} = 3-3$, что дает $\sqrt{4} = 0$, или $2 = 0$. Это неверно. Значит, при построении была допущена ошибка или неточность. Давайте посмотрим внимательнее.
При $x=3$ левая часть $\sqrt{3+1}=2$, а правая $3-3=0$.
Давайте проверим другую точку. Например, $x=3$ - это корень функции $y=3-x$. А корень функции $y=\sqrt{x+1}$ это $x=-1$.
При $x=0$, $y=\sqrt{1}=1$, а $y=3-0=3$.
При $x=3$, $y=\sqrt{4}=2$, а $y=3-3=0$.
При $x=8$, $y=\sqrt{9}=3$, а $y=3-8=-5$.
Попробуем точку между 0 и 3. Пусть $x=2$.
$y=\sqrt{2+1}=\sqrt{3} \approx 1.73$
$y=3-2=1$
Видно, что где-то между $x=2$ и $x=3$ значение первой функции становится больше второй, хотя до этого было наоборот. Значит, точка пересечения находится между $x=2$ и $x=3$.
Этот пример хорошо иллюстрирует главный недостаток графического метода - неточность.
Давайте решим алгебраически: $x+1 = (3-x)^2 \Rightarrow x+1 = 9 - 6x + x^2 \Rightarrow x^2 - 7x + 8 = 0$.
Корни: $x = \frac{7 \pm \sqrt{49 - 32}}{2} = \frac{7 \pm \sqrt{17}}{2}$.
$x_1 = \frac{7 - \sqrt{17}}{2} \approx \frac{7 - 4.12}{2} \approx 1.44$. Проверка: $3-x > 0$, $3-1.44 > 0$. Этот корень подходит.
$x_2 = \frac{7 + \sqrt{17}}{2} \approx \frac{7 + 4.12}{2} \approx 5.56$. Проверка: $3-x < 0$, $3-5.56 < 0$. Это посторонний корень, так как $\sqrt{x+1}$ не может быть отрицательным.
Таким образом, точный корень один: $x = \frac{7 - \sqrt{17}}{2}$. Графический метод позволил нам определить, что корень один и он находится в интервале $(1, 2)$, но для нахождения точного значения потребовалось алгебраическое решение.

Ответ: Графики функций $y=f(x)$ и $y=g(x)$ используются для нахождения количества корней уравнения $f(x)=g(x)$ и их приблизительных значений. Корни — это абсциссы точек пересечения графиков. Метод нагляден, но часто дает лишь приблизительный результат.

5. Как можно использовать свойства функций для решения уравнения с одной переменной?

Использование свойств функций — это мощный метод решения уравнений, которые сложно или невозможно решить стандартными алгебраическими преобразованиями. Этот подход основан на анализе поведения функций, составляющих уравнение. Рассмотрим основные свойства и методы их применения.

1. Использование монотонности функции

Этот метод основан на следующем свойстве: если функция $f(x)$ является строго монотонной (то есть строго возрастает или строго убывает) на всей своей области определения, то любое своё значение она принимает ровно один раз.

Теорема 1: Если функция $f(x)$ строго монотонна на промежутке $I$, то уравнение $f(x) = C$ (где $C$ - константа) имеет на этом промежутке не более одного корня.

Теорема 2: Если функция $f(x)$ строго возрастает, а функция $g(x)$ строго убывает на промежутке $I$, то уравнение $f(x) = g(x)$ имеет на этом промежутке не более одного корня.

Алгоритм решения:
1. Преобразовать уравнение к виду $f(x) = C$ или $f(x) = g(x)$.
2. Доказать монотонность функции $f(x)$ (и $g(x)$ во втором случае). Часто для этого используют производную или свойство суммы/композиции монотонных функций.
3. Подобрать один корень уравнения (например, методом подстановки целых чисел).
4. Сделать вывод, что в силу монотонности других корней нет.

Пример: Решить уравнение $ \sqrt{x-1} + \sqrt{x+2} = 3 $.

Решение:
Рассмотрим функцию $f(x) = \sqrt{x-1} + \sqrt{x+2}$. Область определения этой функции: $x \ge 1$.
Функции $y_1 = \sqrt{x-1}$ и $y_2 = \sqrt{x+2}$ являются возрастающими на своей области определения. Сумма двух возрастающих функций также является возрастающей функцией. Следовательно, функция $f(x)$ строго возрастает на промежутке $[1; +\infty)$.
Это означает, что уравнение $f(x) = 3$ может иметь не более одного корня.
Попробуем подобрать корень. Пусть $x=2$.
$f(2) = \sqrt{2-1} + \sqrt{2+2} = \sqrt{1} + \sqrt{4} = 1 + 2 = 3$.
Значение $x=2$ является корнем уравнения. Так как функция монотонна, этот корень — единственный.

Ответ: Использование монотонности позволяет доказать единственность найденного (часто подбором) корня уравнения.

2. Использование ограниченности функции (метод оценки)

Этот метод применяется к уравнениям вида $f(x) = g(x)$, когда удается показать, что значения одной функции не превосходят некоторого числа $M$, а значения другой — не меньше этого же числа $M$.

Если для всех $x$ из области определения выполняются неравенства $f(x) \le M$ и $g(x) \ge M$, то равенство $f(x) = g(x)$ возможно тогда и только тогда, когда обе части одновременно равны $M$. То есть уравнение равносильно системе: $$ \begin{cases} f(x) = M \\ g(x) = M \end{cases} $$

Пример: Решить уравнение $\cos(2x) = x^2 + 1$.

Решение:
Оценим левую и правую части уравнения.
Для левой части: $f(x) = \cos(2x)$. Мы знаем, что множество значений функции косинус — отрезок $[-1, 1]$. Таким образом, $f(x) \le 1$ для любого $x$.
Для правой части: $g(x) = x^2 + 1$. Так как $x^2 \ge 0$ для любого $x$, то $x^2+1 \ge 1$. Таким образом, $g(x) \ge 1$ для любого $x$.
Уравнение $f(x) = g(x)$ может иметь решение только в том случае, когда $f(x) = 1$ и $g(x) = 1$ одновременно.
Решим систему: $$ \begin{cases} \cos(2x) = 1 \\ x^2 + 1 = 1 \end{cases} $$ Из второго уравнения получаем $x^2=0$, откуда $x=0$.
Подставим $x=0$ в первое уравнение: $\cos(2 \cdot 0) = \cos(0) = 1$. Равенство верное.
Следовательно, $x=0$ является единственным решением системы и исходного уравнения.

Ответ: Метод оценки (использования ограниченности) позволяет свести решение уравнения к поиску общих решений системы уравнений, что часто проще исходной задачи.

3. Использование области определения функции (ОДЗ)

Иногда область допустимых значений (ОДЗ) переменной в уравнении оказывается пустым множеством, одной точкой или конечным набором точек. В таких случаях решение сводится к проверке этих точек.

Алгоритм решения:
1. Найти ОДЗ уравнения, решив систему неравенств, задающих области определения всех функций в уравнении.
2. Если ОДЗ — пустое множество, уравнение не имеет корней.
3. Если ОДЗ — конечное множество чисел, нужно проверить каждое из них подстановкой в исходное уравнение.

Пример: Решить уравнение $\sqrt{x-3} + \sqrt{1-x} = \log_5(x^2 - 4x + 5)$.

Решение:
Найдем ОДЗ уравнения. Для этого должны выполняться три условия:
1. $x-3 \ge 0 \implies x \ge 3$
2. $1-x \ge 0 \implies x \le 1$
3. $x^2 - 4x + 5 > 0$. Дискриминант этого квадратного трехчлена $D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 16 - 20 = -4 < 0$. Так как старший коэффициент положителен, трехчлен принимает только положительные значения при любом $x$.

Теперь объединим условия в систему: $$ \begin{cases} x \ge 3 \\ x \le 1 \end{cases} $$ Эта система не имеет решений, так как нет чисел, которые одновременно больше или равны 3 и меньше или равны 1. Следовательно, ОДЗ уравнения — пустое множество.

Ответ: Анализ области определения функции может показать, что уравнение не имеет решений, или сузить поиск корней до нескольких конкретных значений.

4. Использование чётности/нечётности функции

Это свойство редко позволяет полностью решить уравнение, но может упростить поиск корней или анализ их множества.

Пусть уравнение имеет вид $f(x)=g(x)$.
- Если обе функции $f(x)$ и $g(x)$ — чётные (т.е. $f(-x) = f(x)$ и $g(-x)=g(x)$), то если $x_0$ является корнем, то и $-x_0$ также будет корнем. Это же верно для уравнения $h(x)=0$, если $h(x)$ - чётная функция.
- Если обе функции $f(x)$ и $g(x)$ — нечётные (т.е. $f(-x) = -f(x)$ и $g(-x)=-g(x)$), то $x=0$ является потенциальным корнем (если входит в ОДЗ). Если $x_0 \neq 0$ является корнем, то и $-x_0$ также будет корнем.

Пример: Решить уравнение $x^2 = \cos x$.

Решение:
Рассмотрим функции в левой и правой частях: $f(x) = x^2$ и $g(x) = \cos x$.
Обе функции являются чётными:
$f(-x) = (-x)^2 = x^2 = f(x)$
$g(-x) = \cos(-x) = \cos x = g(x)$
Это означает, что если $x_0$ — корень уравнения, то и $-x_0$ — тоже корень. Графики обеих функций симметричны относительно оси $Oy$.
Численными методами можно найти приблизительное положительное решение $x_0 \approx 0.824$. В силу чётности, вторым корнем будет $x_1 = -x_0 \approx -0.824$.

Ответ: Свойство чётности помогает в понимании симметрии множества решений и, найдя один ненулевой корень, автоматически находить и второй.

5. Использование множества значений функции

Этот метод похож на метод оценки, но рассматривает полные множества значений (области значений) функций в левой и правой частях уравнения $f(x) = g(x)$. Если множества значений $E(f)$ и $E(g)$ не пересекаются, то уравнение не имеет решений.

Пример: Решить уравнение $3^{\sin^2 x} = \cos(x)$.

Решение:
Рассмотрим множество значений левой и правой частей.
Левая часть: $f(x) = 3^{\sin^2 x}$. Мы знаем, что $0 \le \sin^2 x \le 1$. Так как функция $y=3^t$ возрастающая, то множество значений $E(f)$ находится в пределах от $3^0$ до $3^1$. То есть $E(f) = [1, 3]$.
Правая часть: $g(x) = \cos(x)$. Множество значений $E(g) = [-1, 1]$.
Пересечением множеств значений является единственное число: $E(f) \cap E(g) = \{1\}$.
Следовательно, равенство возможно только тогда, когда обе части одновременно равны 1. $$ \begin{cases} 3^{\sin^2 x} = 1 \\ \cos(x) = 1 \end{cases} $$ Из второго уравнения $\cos(x)=1$ следует, что $x = 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Проверим, удовлетворяют ли эти значения первому уравнению. Если $x=2\pi n$, то $\sin(x) = \sin(2\pi n) = 0$.
Подставляем в первое уравнение: $3^{\sin^2(2\pi n)} = 3^{0^2} = 3^0 = 1$. Равенство верное.
Таким образом, все значения вида $x = 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$ являются решениями.

Ответ: Анализ множеств значений функций в уравнении может доказать отсутствие корней или свести задачу к решению системы уравнений для точек пересечения этих множеств.