Номер 5.1.4, страница 104 - гдз по физике 11 класс учебник Башарулы, Шункеев

5.1.4. Луч света падает из воздуха на поверхность некоторой жидкости под углом $40^\circ$. Угол преломления равен $24^\circ$. Найдите угол преломления, если угол падения увеличить в 2 раза. (Ответ: $38^\circ$.)

Дано:

Начальный угол падения: $\alpha_1 = 40^\circ$
Начальный угол преломления: $\beta_1 = 24^\circ$
Новый угол падения: $\alpha_2 = 2 \cdot \alpha_1$
Показатель преломления воздуха: $n_1 \approx 1$

Найти:

Новый угол преломления $\beta_2$.

Решение:

Согласно закону преломления света (закону Снеллиуса), отношение синуса угла падения к синусу угла преломления есть величина постоянная для двух данных сред:
$\frac{\sin(\alpha)}{\sin(\beta)} = n_{21}$
где $n_{21} = \frac{n_2}{n_1}$ - относительный показатель преломления второй среды (жидкости) относительно первой (воздуха). Так как показатель преломления воздуха $n_1$ близок к 1, то $n_{21} \approx n_2 = n$, где $n$ - абсолютный показатель преломления жидкости.

1. Из первого условия найдем показатель преломления жидкости $n$:
$n = \frac{\sin(\alpha_1)}{\sin(\beta_1)} = \frac{\sin(40^\circ)}{\sin(24^\circ)}$

2. Найдем новый угол падения $\alpha_2$:
$\alpha_2 = 2 \cdot \alpha_1 = 2 \cdot 40^\circ = 80^\circ$

3. Для нового угла падения $\alpha_2$ найдем соответствующий угол преломления $\beta_2$:
$\frac{\sin(\alpha_2)}{\sin(\beta_2)} = n$
Отсюда $\sin(\beta_2) = \frac{\sin(\alpha_2)}{n}$.
Подставим выражение для $n$ из пункта 1:
$\sin(\beta_2) = \sin(\alpha_2) \cdot \frac{\sin(\beta_1)}{\sin(\alpha_1)}$

4. Произведем вычисления, используя значения синусов: $\sin(80^\circ) \approx 0.9848$, $\sin(40^\circ) \approx 0.6428$, $\sin(24^\circ) \approx 0.4067$.
$\sin(\beta_2) \approx 0.9848 \cdot \frac{0.4067}{0.6428} \approx 0.9848 \cdot 0.6327 \approx 0.6231$

Теперь найдем сам угол $\beta_2$ как арксинус от полученного значения:
$\beta_2 = \arcsin(0.6231) \approx 38.55^\circ$
Полученное значение близко к ответу, приведенному в задаче.

Ответ: $38^\circ$.