Номер 5.1.5, страница 104 - гдз по физике 11 класс учебник Башарулы, Шункеев

5.1.5. Под каким углом световой луч падает на плоскую поверхность стекла, если отраженный и преломленный лучи образуют между собой прямой угол? Скорость света в стекле составляет $2 \cdot 10^8$ м/с. (Ответ: $56^\circ$.)

Дано:

Скорость света в стекле, $v = 2 \cdot 10^8$ м/с
Угол между отраженным и преломленным лучами, $\gamma = 90^\circ$
Скорость света в вакууме, $c \approx 3 \cdot 10^8$ м/с
Показатель преломления воздуха, $n_1 \approx 1$

Найти:

Угол падения $\alpha$.

Решение:

Обозначим угол падения светового луча как $\alpha$, угол отражения как $\alpha'$, и угол преломления как $\beta$. Все углы измеряются от перпендикуляра (нормали), восстановленного в точке падения луча на границе раздела двух сред.

Согласно закону отражения света, угол падения равен углу отражения:
$\alpha = \alpha'$

По условию задачи, отраженный и преломленный лучи перпендикулярны друг другу, то есть угол между ними составляет $90^\circ$. Рассмотрим углы вдоль нормали к поверхности. Угол отражения $\alpha'$ и угол преломления $\beta$ вместе с прямым углом между лучами составляют развернутый угол ($180^\circ$):
$\alpha' + \beta + 90^\circ = 180^\circ$
Отсюда следует, что:
$\alpha' + \beta = 90^\circ$

Заменив угол отражения $\alpha'$ на равный ему угол падения $\alpha$, получим:
$\alpha + \beta = 90^\circ$
Из этого соотношения выразим угол преломления $\beta$ через угол падения $\alpha$:
$\beta = 90^\circ - \alpha$

Далее используем закон преломления света (закон Снеллиуса):
$n_1 \sin\alpha = n_2 \sin\beta$
где $n_1$ — показатель преломления первой среды (воздух, $n_1 \approx 1$), а $n_2$ — показатель преломления второй среды (стекло).

Абсолютный показатель преломления стекла $n_2$ найдем как отношение скорости света в вакууме $c$ к скорости света в стекле $v$:
$n_2 = \frac{c}{v} = \frac{3 \cdot 10^8 \text{ м/с}}{2 \cdot 10^8 \text{ м/с}} = 1.5$

Подставим выражение для $\beta$ и значения показателей преломления в закон Снеллиуса:
$1 \cdot \sin\alpha = 1.5 \cdot \sin(90^\circ - \alpha)$

Применяя тригонометрическое тождество $\sin(90^\circ - \alpha) = \cos\alpha$, уравнение принимает вид:
$\sin\alpha = 1.5 \cdot \cos\alpha$

Разделим обе части уравнения на $\cos\alpha$ (это возможно, так как для преломления $\alpha \neq 90^\circ$, следовательно $\cos\alpha \neq 0$):
$\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = 1.5$
$\tan\alpha = 1.5$

Данное соотношение известно как закон Брюстера, а искомый угол $\alpha$ в этом случае называется углом Брюстера.

Найдем угол падения $\alpha$, вычислив арктангенс:
$\alpha = \arctan(1.5) \approx 56.3^\circ$

Округляя результат, получаем искомый угол падения.

Ответ: $56^\circ$.