Номер 6.1.1, страница 117 - гдз по физике 11 класс учебник Башарулы, Шункеев

6.1. 1. Найдите длину волны де Бройля для электрона, движущегося со скоростью: 20 км/с; 0,8 км/с. (Ответ: 36,4 нм; 908 нм.)

Дано:

Скорость электрона (случай 1): $v_1 = 20 \text{ км/с}$
Скорость электрона (случай 2, из условия): $v_2 = 0,8c$
Масса электрона: $m_e \approx 9.11 \times 10^{-31} \text{ кг}$
Постоянная Планка: $h \approx 6.626 \times 10^{-34} \text{ Дж}\cdot\text{с}$
Скорость света в вакууме: $c \approx 3 \times 10^8 \text{ м/с}$

Перевод в СИ:
$v_1 = 20 \times 10^3 \text{ м/с} = 2 \times 10^4 \text{ м/с}$

Найти:

Длины волн де Бройля $\lambda_1$ и $\lambda_2$ для заданных скоростей.

Решение:

Длина волны де Бройля для частицы определяется по формуле $\lambda = \frac{h}{p}$, где $h$ — постоянная Планка, а $p$ — импульс частицы.

20 км/с:
Скорость электрона $v_1$ значительно меньше скорости света ($v_1 \ll c$), поэтому для вычисления импульса используется нерелятивистская формула: $p_1 = m_e v_1$.
Подставляем значения:
$\lambda_1 = \frac{h}{m_e v_1} = \frac{6.626 \times 10^{-34} \text{ Дж}\cdot\text{с}}{9.11 \times 10^{-31} \text{ кг} \times 2 \times 10^4 \text{ м/с}} = \frac{6.626}{18.22} \times 10^{-7} \text{ м} \approx 0.3637 \times 10^{-7} \text{ м}$
Переведем результат в нанометры ($1 \text{ нм} = 10^{-9} \text{ м}$):
$\lambda_1 \approx 36.37 \times 10^{-9} \text{ м} \approx 36.4 \text{ нм}$.
Этот результат совпадает с первым значением в ответе из условия задачи.

0,8c:
Во втором случае указана скорость $v_2 = 0,8c$. Это релятивистская скорость, поэтому для вычисления импульса необходимо использовать релятивистскую формулу: $p_2 = \frac{m_e v_2}{\sqrt{1 - (v_2/c)^2}}$.
$p_2 = \frac{m_e \times 0.8c}{\sqrt{1 - (0.8)^2}} = \frac{0.8 m_e c}{\sqrt{1 - 0.64}} = \frac{0.8 m_e c}{\sqrt{0.36}} = \frac{0.8 m_e c}{0.6} = \frac{4}{3} m_e c$.
Тогда длина волны де Бройля равна:
$\lambda_{2,rel} = \frac{h}{p_2} = \frac{h}{\frac{4}{3} m_e c} = \frac{3h}{4m_e c} = \frac{3 \times 6.626 \times 10^{-34}}{4 \times 9.11 \times 10^{-31} \times 3 \times 10^8} \text{ м} \approx \frac{19.878 \times 10^{-34}}{109.32 \times 10^{-23}} \text{ м} \approx 0.1818 \times 10^{-11} \text{ м} \approx 0.0018 \text{ нм}$.
Этот результат кардинально отличается от ответа, приведенного в задаче (908 нм). Ответ 908 нм соответствует нерелятивистской скорости $0,8 \text{ км/с}$. Это указывает на вероятную опечатку в условии, где вместо "c" (скорость света) должно быть "км/с".
Проведем расчет для предполагаемой скорости $v'_2 = 0,8 \text{ км/с} = 800 \text{ м/с}$.
Эта скорость является нерелятивистской ($v'_2 \ll c$), поэтому импульс равен $p'_2 = m_e v'_2$.
$\lambda'_2 = \frac{h}{m_e v'_2} = \frac{6.626 \times 10^{-34} \text{ Дж}\cdot\text{с}}{9.11 \times 10^{-31} \text{ кг} \times 800 \text{ м/с}} = \frac{6.626}{7288} \times 10^{-3} \text{ м} \approx 0.909 \times 10^{-6} \text{ м}$.
Переведем в нанометры:
$\lambda'_2 \approx 909 \times 10^{-9} \text{ м} = 909 \text{ нм}$.
Этот результат очень близок ко второму значению в ответе (908 нм), что подтверждает предположение об опечатке.

Ответ: для скорости 20 км/с длина волны де Бройля составляет 36,4 нм; для скорости 0,8 км/с (скорректированное значение для соответствия ответу) — 908 нм.