Номер 6.1.2, страница 117 - гдз по физике 11 класс учебник Башарулы, Шункеев

6.1.2. Вычислите длину волны де Бройля для протона с кинетической энергией 100 эВ. (Ответ: 2,86 пм.)

Дано:

Кинетическая энергия протона $E_k = 100$ эВ.

Для расчетов также потребуются справочные данные:

Постоянная Планка $h \approx 6.626 \times 10^{-34}$ Дж·с.

Масса протона $m_p \approx 1.672 \times 10^{-27}$ кг.

Элементарный заряд $e \approx 1.602 \times 10^{-19}$ Кл.

Переведем кинетическую энергию в систему СИ (Джоули):

$E_k = 100 \text{ эВ} = 100 \times 1.602 \times 10^{-19} \text{ Дж} = 1.602 \times 10^{-17} \text{ Дж}$.

Найти:

Длину волны де Бройля $\lambda$.

Решение:

Согласно гипотезе де Бройля, любая движущаяся частица обладает волновыми свойствами. Длина волны де Бройля для частицы определяется формулой:

$\lambda = \frac{h}{p}$

где $h$ — постоянная Планка, а $p$ — импульс частицы.

В нерелятивистском случае, когда скорость частицы много меньше скорости света, ее кинетическая энергия $E_k$ связана с импульсом $p$ и массой $m$ соотношением:

$E_k = \frac{p^2}{2m}$

Проверим применимость нерелятивистского приближения. Энергия покоя протона $E_0 = m_p c^2 \approx 938$ МэВ. Так как данная кинетическая энергия $E_k = 100$ эВ значительно меньше энергии покоя ($100 \text{ эВ} \ll 938 \text{ МэВ}$), использование нерелятивистских формул является корректным.

Выразим импульс из формулы для кинетической энергии:

$p^2 = 2mE_k \implies p = \sqrt{2mE_k}$

Теперь подставим это выражение для импульса в формулу длины волны де Бройля:

$\lambda = \frac{h}{\sqrt{2m_pE_k}}$

Подставим числовые значения в итоговую формулу, используя данные в системе СИ:

$\lambda = \frac{6.626 \times 10^{-34} \text{ Дж} \cdot \text{с}}{\sqrt{2 \times 1.672 \times 10^{-27} \text{ кг} \times 1.602 \times 10^{-17} \text{ Дж}}}$

Вычислим значение подкоренного выражения:

$2 \times 1.672 \times 10^{-27} \times 1.602 \times 10^{-17} \approx 5.357 \times 10^{-44} \text{ кг}^2 \cdot \text{м}^2/\text{с}^2$

Теперь вычислим сам импульс:

$p = \sqrt{5.357 \times 10^{-44}} \approx 2.3145 \times 10^{-22} \text{ кг} \cdot \text{м}/\text{с}$

И, наконец, найдем длину волны:

$\lambda = \frac{6.626 \times 10^{-34}}{2.3145 \times 10^{-22}} \approx 2.863 \times 10^{-12} \text{ м}$

Результат удобно представить в пикометрах, зная, что $1 \text{ пм} = 10^{-12} \text{ м}$.

$\lambda \approx 2.86 \text{ пм}$

Ответ: $2.86 \text{ пм}$.