Номер 4, страница 133 - гдз по физике 11 класс учебник Касьянов

Вопросы. § 37. Принцип Гюйгенса. Глава 5. Волновые свойства света - номер 4, страница 133.

4. Докажите закон отражения света с помощью принципа Гюйгенса.

Решение

Закон отражения света можно доказать с помощью принципа Гюйгенса, который утверждает, что каждая точка, до которой доходит волна, становится источником вторичных сферических волн, а огибающая этих волн в следующий момент времени определяет новое положение волнового фронта.

Рассмотрим плоскую световую волну, падающую на плоскую отражающую поверхность. Пусть $AB$ — это положение волнового фронта в начальный момент времени ($t=0$). Падающая волна распространяется в направлении, перпендикулярном фронту $AB$. Угол падения $\alpha$ — это угол между падающим лучом и нормалью к поверхности, что геометрически равно углу между фронтом волны $AB$ и отражающей поверхностью.

В момент времени $t=0$ точка $A$ волнового фронта достигает отражающей поверхности. Согласно принципу Гюйгенса, эта точка сразу же становится источником вторичной сферической волны, которая начинает распространяться обратно в ту же среду со скоростью света $v$.

Пока волна от точки $A$ распространяется, другая часть волнового фронта, например точка $B$, продолжает двигаться к поверхности. Точка $B$ достигнет поверхности в точке $C$ через некоторое время $\Delta t$. За это время точка $B$ пройдет расстояние $BC = v \cdot \Delta t$.

За то же самое время $\Delta t$ вторичная волна, испущенная из точки $A$, распространится на расстояние $AD = v \cdot \Delta t$. Новое положение отраженного волнового фронта будет определяться огибающей всех вторичных волн, то есть плоскостью, касательной к ним. В нашем случае это будет прямая $CD$, которая касается вторичной волны из точки $A$ в точке $D$.

Рассмотрим два прямоугольных треугольника, которые образовались в результате этого построения: $\triangle ABC$ и $\triangle ADC$.

1. Треугольник $\triangle ABC$ — прямоугольный, так как падающий луч (и направление $BC$) перпендикулярен волновому фронту $AB$. Гипотенуза $AC$ является общей для обоих треугольников. Катет $BC$ равен $v \cdot \Delta t$. Угол $\angle BAC$ равен углу падения $\alpha$. Из этого треугольника получаем:

   $ \sin \alpha = \frac{BC}{AC} = \frac{v \cdot \Delta t}{AC} $

2. Треугольник $\triangle ADC$ — прямоугольный, так как отраженный волновой фронт $CD$ является касательной к сферической волне с центром в точке $A$. Катет $AD$ равен $v \cdot \Delta t$. Угол $\angle ACD$ равен углу отражения $\beta$ (угол между отраженным фронтом и поверхностью). Из этого треугольника получаем:

   $ \sin \beta = \frac{AD}{AC} = \frac{v \cdot \Delta t}{AC} $

Сравнивая полученные выражения для синусов углов, мы видим, что они равны:

$ \sin \alpha = \sin \beta $

Поскольку углы $\alpha$ и $\beta$ являются острыми (от $0^\circ$ до $90^\circ$), из равенства их синусов следует равенство и самих углов:

$ \alpha = \beta $

Это доказывает, что угол падения равен углу отражения.

Кроме того, из всего построения следует, что падающий луч (перпендикулярный фронту $AB$), отраженный луч (перпендикулярный фронту $CD$) и нормаль к отражающей поверхности лежат в одной плоскости (плоскости нашего рассмотрения). Таким образом, мы доказали оба положения закона отражения света.

Ответ: С помощью принципа Гюйгенса и геометрического построения волновых фронтов было показано, что для плоской волны, отражающейся от плоской поверхности, угол падения равен углу отражения ($ \alpha = \beta $), а падающий луч, отраженный луч и нормаль к поверхности лежат в одной плоскости. Это в совокупности и составляет закон отражения света.