Страница 144 - гдз по физике 11 класс учебник Касьянов

В О П Р О С Ы

1. Поясните, как складываются волны от независимых точечных источников.

Поясните, как складываются волны от независимых точечных источников.

Сложение волн в пространстве происходит в соответствии с принципом суперпозиции. Этот принцип гласит, что когда в одной точке среды распространяются несколько волн, результирующее смещение частицы среды в этой точке равно векторной сумме смещений, которые вызывала бы каждая волна по отдельности.

Однако, итоговый результат сложения волн кардинально различается для когерентных и независимых (некогерентных) источников.

• Когерентные источники излучают волны одинаковой частоты с постоянной во времени разностью фаз. Сложение волн от таких источников приводит к возникновению устойчивой во времени картины усиления и ослабления волн, называемой интерференцией.
• Независимые (некогерентные) источники — это источники, у которых разность фаз испускаемых волн изменяется со временем случайным и очень быстрым образом. Примером могут служить два независимых источника света, например, две лампочки, в которых атомы излучают свет независимо друг от друга.

При сложении волн от независимых точечных источников их разность фаз в любой точке пространства постоянно и хаотично меняется. Вследствие этого в каждой точке происходит чрезвычайно быстрая смена усиления и ослабления результирующей волны. Ни человеческий глаз, ни любой другой измерительный прибор с конечным временем реакции не способен отследить эти мгновенные изменения. Поэтому наблюдается лишь усредненная по времени картина.

При таком усреднении оказывается, что интерференционные эффекты исчезают. Вместо сложения амплитуд происходит сложение интенсивностей волн. Интенсивность волны пропорциональна квадрату ее амплитуды ($I \sim A^2$).

Таким образом, результирующая интенсивность $I_{рез}$ в любой точке пространства, где происходит наложение волн от независимых источников, равна простой арифметической сумме интенсивностей, которые создавал бы в этой точке каждый источник в отдельности:

$I_{рез} = I_1 + I_2 + \dots + I_n$

где $I_1, I_2, \dots, I_n$ — интенсивности волн от каждого из $n$ независимых источников.

Наглядным примером является освещение комнаты двумя лампами: общая освещенность (пропорциональная интенсивности света) в любой точке будет равна сумме освещенностей от каждой лампы. Никаких интерференционных полос при этом не наблюдается.

Ответ: Волны от независимых (некогерентных) точечных источников складываются таким образом, что результирующая интенсивность в любой точке пространства равна сумме интенсивностей от каждого источника. Устойчивая интерференционная картина при этом не наблюдается, так как разность фаз между волнами изменяется хаотично и очень быстро.

2. Какое явление называют интерференцией?

Интерференцией называют явление, возникающее при наложении (суперпозиции) двух или нескольких когерентных волн, в результате которого происходит устойчивое во времени перераспределение энергии в пространстве. Это перераспределение проявляется в виде чередования областей с максимальной (усиление волн) и минимальной (ослабление волн) амплитудой колебаний.

Это явление характерно для волн любой природы: механических (звук, волны на воде), электромагнитных (свет, радиоволны) и даже для волн де Бройля в квантовой механике.

Основными условиями для наблюдения устойчивой интерференционной картины являются:

1. Когерентность волн: источники волн должны иметь одинаковую частоту, и разность фаз между ними должна быть постоянной во времени. Обычно это достигается, если волны испускаются одним источником (например, свет проходит через две близко расположенные щели) или синхронизированными источниками.

2. Одинаковая поляризация (для поперечных волн, таких как свет): для интерференции необходимо, чтобы плоскости колебаний векторов напряженности электрического поля были одинаковыми или близкими.

В зависимости от разности хода волн в точке наблюдения, интерференция может быть конструктивной или деструктивной. Разность хода — это разница в расстояниях, которые проходят волны от своих источников до точки наблюдения.

Конструктивная интерференция (условие максимума)

Происходит, когда разность хода $\Delta d$ двух волн равна целому числу длин волн $\lambda$. В этом случае волны приходят в точку в одинаковой фазе (например, гребень с гребнем), усиливая друг друга. Амплитуда результирующей волны максимальна.

Математически это записывается как: $\Delta d = m \lambda$, где $m$ — целое число ($m = 0, 1, 2, ...$).

Деструктивная интерференция (условие минимума)

Происходит, когда разность хода $\Delta d$ равна нечетному числу полуволн. Волны приходят в точку в противофазе (например, гребень с впадиной) и гасят друг друга. Амплитуда результирующей волны минимальна (вплоть до нуля, если исходные амплитуды равны).

Математически это записывается как: $\Delta d = (2m + 1) \frac{\lambda}{2}$ или $\Delta d = (m + \frac{1}{2})\lambda$, где $m$ — целое число ($m = 0, 1, 2, ...$).

Примерами интерференции в природе и технике являются радужные цвета мыльных пузырей и нефтяных пленок на воде (интерференция в тонких пленках), работа голографии и интерферометров, а также возникновение "зон молчания" в акустике.

Ответ: Интерференция — это явление наложения когерентных волн, которое приводит к образованию в пространстве устойчивой картины их взаимного усиления (максимумы) и ослабления (минимумы).

3. Что такое интерференционная картина?

Что такое интерференционная картина?

Интерференционная картина — это пространственное распределение амплитуды (а следовательно, и интенсивности) результирующей волны, которое возникает при наложении (суперпозиции) двух или более когерентных волн. Эта картина представляет собой чередование областей с максимальной и минимальной интенсивностью.

Возникновение интерференционной картины объясняется явлением интерференции. В тех точках пространства, куда волны приходят в одинаковой фазе (синфазно), они усиливают друг друга. Это называется конструктивной интерференцией, и в этих точках наблюдаются максимумы интенсивности (например, светлые полосы для световых волн). В тех точках, куда волны приходят в противофазе, они ослабляют или полностью гасят друг друга. Это называется деструктивной интерференцией, и в этих точках наблюдаются минимумы интенсивности (темные полосы).

Условие возникновения максимума или минимума в некоторой точке определяется разностью хода волн ($\Delta d$) от источников до этой точки. Разность хода — это разница в расстояниях, которые проходят волны. Условие максимума (конструктивной интерференции) выполняется, если разность хода равна целому числу длин волн: $\Delta d = m \lambda$, где $m = 0, \pm1, \pm2, ...$ — целое число, называемое порядком максимума, а $\lambda$ — длина волны. Условие минимума (деструктивной интерференции) выполняется, если разность хода равна нечетному числу полуволн: $\Delta d = (m + \frac{1}{2}) \lambda$, где $m = 0, \pm1, \pm2, ...$.

Для наблюдения устойчивой во времени интерференционной картины необходимо, чтобы волны были когерентными, то есть имели одинаковую частоту и постоянную разность фаз. Примерами интерференционных картин являются радужные полосы на мыльных пузырях или масляных пленках на воде, а также система светлых и темных полос в опыте Юнга с двумя щелями.

Ответ: Интерференционная картина — это устойчивое во времени пространственное распределение амплитуды волн, возникающее при наложении двух или нескольких когерентных волн. Она представляет собой чередование областей с максимальной (конструктивная интерференция) и минимальной (деструктивная интерференция) интенсивностью. Условие максимума: разность хода волн $\Delta d = m \lambda$. Условие минимума: $\Delta d = (m + \frac{1}{2}) \lambda$, где $m$ — целое число, $\lambda$ — длина волны.

4. Какие волны называют когерентными?

Когерентными называют волны, которые удовлетворяют двум основным условиям: у них одинаковая частота и постоянная во времени разность фаз. Это означает, что колебания, создаваемые этими волнами в любой точке пространства, согласованы друг с другом.

Рассмотрим эти условия подробнее:

Одинаковая частота: Все когерентные волны должны иметь одну и ту же частоту $\omega$ и, соответственно, одну и ту же длину волны $\lambda$. Это свойство также называют монохроматичностью. Если частоты волн различны, то разность фаз между ними будет непрерывно изменяться, и волны не будут когерентными.

Постоянная разность фаз: Разность фаз $\Delta\phi$ между двумя волнами в любой точке пространства должна оставаться неизменной с течением времени. Математически это записывается как $\Delta\phi = \phi_1(t) - \phi_2(t) = \text{const}$. Если разность фаз изменяется хаотически, то волны являются некогерентными.

Когерентность волн — это необходимое условие для наблюдения устойчивой интерференционной картины, то есть картины постоянного во времени усиления и ослабления амплитуды результирующей волны в разных точках пространства. Примером источника когерентного света служит лазер. Большинство других источников, например, лампа накаливания или Солнце, излучают некогерентные волны.

Ответ: Когерентные волны — это волны, имеющие одинаковую частоту и постоянную во времени разность фаз.

5. Что такое время и длина когерентности?

Решение

Когерентность — это свойство волн сохранять постоянную разность фаз при сложении. Это ключевое условие для наблюдения устойчивой интерференционной картины. Если фазы волн изменяются случайным образом, то интерференционная картина размывается. Для количественной оценки этого свойства используются понятия времени и длины когерентности.

Время когерентности

Время когерентности ($ \tau_{ког} $) — это средний временной интервал, в течение которого фаза волнового процесса в данной точке пространства остается предсказуемой. Иными словами, это время, на протяжении которого волна "помнит" свою фазу.

Реальные источники света (кроме идеализированных) не являются строго монохроматическими. Они излучают свет в некотором диапазоне частот. Излучение можно представить как последовательность волновых цугов (коротких отрезков синусоидальной волны). Фазы разных цугов не связаны друг с другом. Время когерентности как раз и соответствует средней длительности такого цуга.

Время когерентности обратно пропорционально ширине спектральной линии $ \Delta\nu $ источника излучения (полосе частот, в которой он излучает):

$ \tau_{ког} \approx \frac{1}{\Delta\nu} $

Чем уже спектральная линия (чем более монохроматичен свет), тем больше время когерентности. Например, у лазеров время когерентности может быть очень большим, а у тепловых источников (лампа накаливания) — очень малым.

Ответ: Время когерентности — это промежуток времени, в течение которого колебания в волновом процессе сохраняют постоянную фазу или предсказуемо её изменяют, что определяет возможность наблюдения интерференции.

Длина когерентности

Длина когерентности ($ L_{ког} $) — это расстояние, на которое распространяется волна за время когерентности. Она характеризует пространственную когерентность волны в направлении ее распространения.

Длина когерентности связана со временем когерентности простым соотношением:

$ L_{ког} = v \cdot \tau_{ког} $

где $ v $ — скорость распространения волны в среде (для вакуума $ v = c $).

Используя связь времени когерентности с шириной спектральной линии, можно выразить длину когерентности через спектральные характеристики источника. Наиболее часто используется формула, связывающая длину когерентности со средней длиной волны $ \lambda $ и шириной спектральной линии $ \Delta\lambda $:

$ L_{ког} \approx \frac{\lambda^2}{\Delta\lambda} $

Физически длина когерентности определяет максимальную разность хода лучей, при которой еще можно наблюдать четкую интерференционную картину. Если разность хода двух интерферирующих лучей превышает длину когерентности, их фазы становятся некоррелированными, и интерференция исчезает.

Ответ: Длина когерентности — это максимальная разность хода двух лучей от одного источника, при которой они остаются когерентными и способны создавать устойчивую интерференционную картину. Она равна расстоянию, которое волна проходит за время когерентности.