Страница 148 - гдз по физике 11 класс учебник Касьянов

В О П Р О С Ы

1. Почему результат сложения двух когерентных волн зависит от их разности фаз или от времени запаздывания одного колебания по отношению к другому?

Результат сложения двух волн определяется принципом суперпозиции, согласно которому в каждой точке пространства, где распространяются волны, результирующее колебание является геометрической суммой колебаний, создаваемых каждой волной в отдельности. Для когерентных волн, имеющих одинаковую частоту и постоянную разность фаз, результат этого сложения (интерференция) будет устойчивым во времени.

Решение

Рассмотрим две когерентные волны, описываемые в некоторой точке пространства уравнениями:

$y_1 = A_1 \cos(\omega t + \phi_1)$

$y_2 = A_2 \cos(\omega t + \phi_2)$

где $A_1$ и $A_2$ — амплитуды волн, $\omega$ — их одинаковая циклическая частота, а $\phi_1$ и $\phi_2$ — начальные фазы. Разность фаз $\Delta\phi = \phi_2 - \phi_1$ для когерентных волн постоянна.

Согласно принципу суперпозиции, результирующее колебание $y$ равно сумме $y_1$ и $y_2$:

$y = y_1 + y_2 = A_1 \cos(\omega t + \phi_1) + A_2 \cos(\omega t + \phi_2)$

Амплитуда $A$ результирующего колебания зависит от амплитуд исходных волн и разности их фаз. Формула для квадрата амплитуды результирующей волны имеет вид:

$A^2 = A_1^2 + A_2^2 + 2A_1A_2\cos(\Delta\phi)$

Из этой формулы видно, что результат сложения (определяемый амплитудой $A$) напрямую зависит от косинуса разности фаз $\cos(\Delta\phi)$.

Возможны два крайних случая:

1. Максимальное усиление (конструктивная интерференция). Происходит, когда волны приходят в точку в одинаковой фазе. В этом случае $\cos(\Delta\phi) = 1$, что соответствует разности фаз $\Delta\phi = 2\pi n$, где $n = 0, \pm1, \pm2, ...$. Амплитуда результирующей волны максимальна и равна сумме амплитуд: $A = A_1 + A_2$.

2. Максимальное ослабление (деструктивная интерференция). Происходит, когда волны приходят в точку в противофазе. В этом случае $\cos(\Delta\phi) = -1$, что соответствует разности фаз $\Delta\phi = (2n+1)\pi$, где $n = 0, \pm1, \pm2, ...$. Амплитуда результирующей волны минимальна и равна модулю разности амплитуд: $A = |A_1 - A_2|$. Если амплитуды исходных волн равны ($A_1=A_2$), то результирующая амплитуда становится равной нулю.

Связь разности фаз и времени запаздывания. Время запаздывания $\Delta t$ одной волны относительно другой напрямую связано с разностью фаз. Если вторая волна запаздывает на время $\Delta t$, ее фаза будет отличаться от фазы первой на величину $\Delta\phi = \omega \Delta t$. Таким образом, зависимость от времени запаздывания эквивалентна зависимости от разности фаз. Чем больше время запаздывания, тем больше сдвиг по фазе, что и определяет, сложатся ли "горбы с горбами" (усиление) или "горбы с впадинами" (ослабление).

Ответ: Результат сложения когерентных волн зависит от их разности фаз, потому что именно разность фаз определяет, как соотносятся смещения частиц среды (или напряженности полей) от каждой из волн в любой момент времени. Если фазы совпадают (разность фаз равна $2\pi n$), то смещения складываются, приводя к усилению волны. Если волны находятся в противофазе (разность фаз равна $(2n+1)\pi$), то смещения вычитаются, приводя к ослаблению. Время запаздывания одного колебания является прямой причиной возникновения разности фаз, поэтому зависимость от него эквивалентна зависимости от разности фаз.

2. При каком времени запаздывания одного колебания по отношению к другому возникает максимальная результирующая интенсивность при их интерференции? Чему она равна?

Решение

Интенсивность $I$ колебательного процесса (например, волны) пропорциональна квадрату его амплитуды. При наложении (интерференции) двух когерентных колебаний с интенсивностями $I_1$ и $I_2$ результирующая интенсивность $I_{рез}$ зависит от разности фаз $\Delta\varphi$ между ними и определяется по формуле: $$ I_{рез} = I_1 + I_2 + 2\sqrt{I_1 I_2} \cos(\Delta\varphi) $$

Максимальная результирующая интенсивность $I_{макс}$ наблюдается при условии конструктивной интерференции. Это происходит, когда колебания усиливают друг друга. Для этого значение $\cos(\Delta\varphi)$ должно быть максимальным, то есть равным 1. $$ \cos(\Delta\varphi) = 1 $$ Это условие выполняется, когда разность фаз $\Delta\varphi$ кратна $2\pi$: $$ \Delta\varphi = 2\pi k, \quad \text{где } k = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots $$

Разность фаз $\Delta\varphi$ связана с временем запаздывания $\Delta t$ одного колебания относительно другого через период колебаний $T$ (или угловую частоту $\omega = 2\pi/T$): $$ \Delta\varphi = \omega \Delta t = \frac{2\pi}{T} \Delta t $$

Чтобы найти время запаздывания, при котором интенсивность максимальна, приравняем выражения: $$ \frac{2\pi}{T} \Delta t = 2\pi k $$ $$ \Delta t = k \cdot T, \quad \text{где } k = 0, 1, 2, \ldots $$ (так как время запаздывания $\Delta t$ не может быть отрицательным). Следовательно, максимальная интенсивность возникает, когда одно колебание запаздывает относительно другого на время, равное целому числу периодов.

Теперь найдем, чему равна эта максимальная интенсивность. Подставим $\cos(\Delta\varphi) = 1$ в исходную формулу для интенсивности: $$ I_{макс} = I_1 + I_2 + 2\sqrt{I_1 I_2} \cdot 1 $$ Полученное выражение является полным квадратом суммы: $$ I_{макс} = (\sqrt{I_1} + \sqrt{I_2})^2 $$

Ответ: Максимальная результирующая интенсивность возникает при времени запаздывания одного колебания по отношению к другому, равном целому числу периодов: $\Delta t = k \cdot T$ (где $T$ — период колебаний, $k = 0, 1, 2, \ldots$). Эта максимальная интенсивность равна $I_{макс} = (\sqrt{I_1} + \sqrt{I_2})^2$, где $I_1$ и $I_2$ — интенсивности исходных колебаний.

3. При каком времени запаздывания одного колебания по отношению к другому возникает минимальная результирующая интенсивность при их интерференции? Чему она равна?

При каком времени запаздывания одного колебания по отношению к другому возникает минимальная результирующая интенсивность при их интерференции?

Решение

Интерференция — это явление сложения двух или более когерентных волн (колебаний), в результате которого происходит перераспределение интенсивности. Результирующая интенсивность $I$ в точке наблюдения зависит от интенсивностей исходных колебаний ($I_1$ и $I_2$) и разности фаз $\Delta\phi$ между ними. Формула для результирующей интенсивности имеет вид: $I = I_1 + I_2 + 2\sqrt{I_1I_2}\cos(\Delta\phi)$

Минимальная результирующая интенсивность (условие интерференционного минимума) достигается тогда, когда колебания приходят в точку в противофазе. Это происходит, когда косинус разности фаз принимает свое минимальное значение, равное -1: $\cos(\Delta\phi) = -1$

Данное условие выполняется, если разность фаз $\Delta\phi$ равна нечетному числу $\pi$: $\Delta\phi = (2m + 1)\pi$, где $m = 0, 1, 2, \dots$

Разность фаз $\Delta\phi$ связана со временем запаздывания $\Delta t$ одного колебания относительно другого через циклическую частоту $\omega$ или период $T$: $\Delta\phi = \omega \Delta t = \frac{2\pi}{T}\Delta t$

Чтобы найти время запаздывания, приравняем два выражения для разности фаз: $\frac{2\pi}{T}\Delta t = (2m + 1)\pi$

Решая это уравнение относительно $\Delta t$, получаем: $\Delta t = \frac{(2m + 1)T}{2} = (m + \frac{1}{2})T$

Это означает, что минимальная интенсивность возникает, когда время запаздывания составляет нечетное число полупериодов. Наименьшее положительное время запаздывания, соответствующее $m=0$, равно половине периода ($T/2$).

Ответ: Минимальная результирующая интенсивность возникает, когда время запаздывания $\Delta t$ одного колебания по отношению к другому равно нечетному числу полупериодов: $\Delta t = (m + \frac{1}{2})T$, где $T$ — период колебаний, а $m = 0, 1, 2, \dots$.

Чему она равна?

Решение

Чтобы найти значение минимальной интенсивности $I_{min}$, подставим в общую формулу для интенсивности условие минимума, то есть $\cos(\Delta\phi) = -1$: $I_{min} = I_1 + I_2 + 2\sqrt{I_1I_2} \cdot (-1) = I_1 + I_2 - 2\sqrt{I_1I_2}$

Полученное выражение является полным квадратом разности: $I_{min} = (\sqrt{I_1} - \sqrt{I_2})^2$

Следовательно, минимальная результирующая интенсивность равна квадрату разности квадратных корней из интенсивностей интерферирующих колебаний.

Важный частный случай — когда интенсивности исходных колебаний равны ($I_1 = I_2 = I_0$). В этой ситуации минимальная результирующая интенсивность обращается в ноль: $I_{min} = (\sqrt{I_0} - \sqrt{I_0})^2 = 0$

Ответ: Минимальная результирующая интенсивность равна $I_{min} = (\sqrt{I_1} - \sqrt{I_2})^2$, где $I_1$ и $I_2$ — интенсивности интерферирующих колебаний. В случае равенства интенсивностей исходных колебаний, минимальная интенсивность равна нулю.

4. Что такое геометрическая разность хода?

Что такое геометрическая разность хода?

Геометрическая разность хода — это фундаментальное понятие в волновой физике, которое используется для описания явлений интерференции и дифракции.

Рассмотрим две когерентные волны (волны с постоянной разностью фаз), исходящие из двух точечных источников S₁ и S₂. Эти волны распространяются в пространстве и достигают некоторой точки наблюдения P. Расстояние, которое проходит первая волна от источника S₁ до точки P, обозначим как $d_1$. Расстояние, которое проходит вторая волна от источника S₂ до точки P, — как $d_2$.

Геометрической разностью хода (обозначается как $\Delta d$) называется разность этих расстояний:

$\Delta d = d_2 - d_1$

Часто используется абсолютное значение $|d_2 - d_1|$, так как важна величина разности, а не её знак.

Физический смысл этой величины заключается в том, что она определяет разность фаз $\Delta \varphi$ волн, приходящих в точку P. Связь между разностью хода и разностью фаз выражается формулой:

$\Delta \varphi = \frac{2\pi}{\lambda} \Delta d$

где $\lambda$ — это длина волны.

От значения разности хода зависит результат интерференции — усиление или ослабление волн в точке P.

Условие максимума (конструктивная интерференция): Если разность хода равна целому числу длин волн, волны приходят в точку P в одинаковой фазе, усиливая друг друга. В этой точке наблюдается максимум интенсивности.

$\Delta d = k \lambda$, где $k = 0, \pm 1, \pm 2, ...$

Условие минимума (деструктивная интерференция): Если разность хода равна полуцелому числу длин волн (нечетному числу полуволн), волны приходят в точку P в противофазе, ослабляя друг друга. В этой точке наблюдается минимум интенсивности.

$\Delta d = (k + \frac{1}{2})\lambda$, где $k = 0, \pm 1, \pm 2, ...$

Геометрическую разность хода следует отличать от оптической разности хода, которая учитывает показатель преломления среды $n$. Оптическая разность хода $\Delta_{опт} = n \cdot \Delta d$. Для вакуума или воздуха ($n \approx 1$) геометрическая и оптическая разности хода практически совпадают.

Ответ: Геометрическая разность хода — это разность расстояний ($d_2 - d_1$), которые проходят две когерентные волны от своих источников до точки наблюдения. Эта величина определяет, будут ли волны в данной точке усиливать (конструктивная интерференция) или ослаблять (деструктивная интерференция) друг друга. Условие усиления: разность хода равна целому числу длин волн ($\Delta d = k \lambda$). Условие ослабления: разность хода равна полуцелому числу длин волн ($\Delta d = (k + 1/2)\lambda$).

5. Запишите условия интерференционных максимумов и минимумов для двух синхронно излучающих источников.

Интерференция волн — это явление сложения двух или более когерентных волн, приводящее к образованию в пространстве устойчивой картины максимумов и минимумов амплитуды. Для двух синхронно излучающих источников, то есть источников, колеблющихся с одинаковой частотой и постоянной разностью фаз (для синхронных источников начальная разность фаз обычно принимается равной нулю), результат интерференции в любой точке пространства определяется разностью хода волн от этих источников до данной точки.

Пусть $d_1$ и $d_2$ — это расстояния, которые проходят волны от первого и второго источника до точки наблюдения. Тогда разность хода $\Delta d$ равна $\Delta d = |d_2 - d_1|$.

Условие интерференционных максимумов

Интерференционный максимум (усиление волн) наблюдается в тех точках пространства, куда волны от двух источников приходят в одинаковой фазе и, следовательно, усиливают друг друга. Это происходит, когда разность хода волн, прошедших от источников до данной точки, равна целому числу длин волн. В этом случае разность фаз колебаний $\Delta \phi$ кратна $2\pi$.

Математически это условие записывается так:

$\Delta d = k \cdot \lambda$

где $\Delta d$ — разность хода волн, $\lambda$ — длина волны, а $k$ — любое целое число ($k = 0, \pm 1, \pm 2, \dots$), которое называют порядком интерференционного максимума.

Ответ: Разность хода волн должна быть равна целому числу длин волн: $\Delta d = k \cdot \lambda$, где $k = 0, \pm 1, \pm 2, \dots$

Условие интерференционных минимумов

Интерференционный минимум (ослабление волн) наблюдается в тех точках, куда волны приходят в противофазе, в результате чего они гасят друг друга. Это условие выполняется, когда разность хода волн равна нечетному числу полуволн. В этом случае разность фаз колебаний $\Delta \phi$ равна нечетному числу $\pi$.

Математически это условие записывается так:

$\Delta d = (2k + 1) \frac{\lambda}{2}$

где $\Delta d$ — разность хода, $\lambda$ — длина волны, а $k$ — любое целое число ($k = 0, \pm 1, \pm 2, \dots$).

Ответ: Разность хода волн должна быть равна нечетному числу полуволн: $\Delta d = (2k+1)\frac{\lambda}{2}$, где $k = 0, \pm 1, \pm 2, \dots$

З А Д А Ч И

1. Два звуковых сигнала частотой $\nu = 150$ Гц синхронно излучаются из двух различных точек, находящихся на одинаковом расстоянии $l = 340$ м от точки $A$ на берегу озера. Один сигнал приходит от источника $B$, находящегося в воде, другой идёт от источника $C$, расположенного в воздухе. Выясните, будут ли эти сигналы усиливать или ослаблять друг друга в точке $A$. Скорость звука в воде $\nu_1 = 1500$ м/с, в воздухе $\nu_2 = 340$ м/с.

Дано:

$v = 150 \text{ Гц}$

$l = 340 \text{ м}$

$v_1 = 1500 \text{ м/с}$ (скорость звука в воде)

$v_2 = 340 \text{ м/с}$ (скорость звука в воздухе)

Найти:

Будут ли сигналы усиливать или ослаблять друг друга в точке А?

Решение:

Усиление или ослабление волн в точке А зависит от разности фаз, с которой они приходят в эту точку. Поскольку источники излучают сигналы синхронно (с одинаковой начальной фазой), разность фаз будет определяться разностью времени, которое требуется сигналам для прохождения расстояния $l$ в разных средах.

Найдем время прохождения сигнала от источника B (в воде) до точки А: $t_1 = \frac{l}{v_1}$

Найдем время прохождения сигнала от источника C (в воздухе) до точки А: $t_2 = \frac{l}{v_2}$

Разность времени прихода сигналов в точку А составляет: $\Delta t = |t_2 - t_1| = |\frac{l}{v_2} - \frac{l}{v_1}|$

Подставим числовые значения: $\Delta t = |\frac{340}{340} - \frac{340}{1500}| = |1 - \frac{34}{150}| = |1 - \frac{17}{75}| = \frac{75 - 17}{75} = \frac{58}{75} \text{ с}$

Теперь определим период колебаний звуковой волны: $T = \frac{1}{v} = \frac{1}{150} \text{ с}$

Для того чтобы волны усиливали друг друга (конструктивная интерференция), разность времени их прихода должна быть кратна периоду колебаний, то есть $\Delta t = k \cdot T$, где $k$ — целое число.

Для того чтобы волны ослабляли друг друга (деструктивная интерференция), разность времени их прихода должна быть кратна нечетному числу полупериодов, то есть $\Delta t = (2k+1) \cdot \frac{T}{2}$, где $k$ — целое число.

Проверим, какому условию удовлетворяет наша разность времен $\Delta t$. Найдем отношение $\frac{\Delta t}{T}$: $\frac{\Delta t}{T} = \frac{58/75 \text{ с}}{1/150 \text{ с}} = \frac{58}{75} \cdot 150 = 58 \cdot 2 = 116$

Так как отношение $\frac{\Delta t}{T}$ равно целому числу (116), это означает, что разность хода волн укладывается в целое число длин волн. Волны приходят в точку А в одинаковой фазе. Следовательно, в точке А будет наблюдаться конструктивная интерференция, и сигналы будут усиливать друг друга.

Ответ: сигналы будут усиливать друг друга.

2. Разность хода между лучами от двух когерентных источников в воздухе 6 мкм. Какой станет разность хода между ними в воде ($n = 4/3$)?

Дано:

Оптическая разность хода в воздухе, $\Delta_{возд} = 6$ мкм

Показатель преломления воды, $n_{воды} = 4/3$

Показатель преломления воздуха, $n_{возд} \approx 1$

$\Delta_{возд} = 6 \text{ мкм} = 6 \cdot 10^{-6} \text{ м}$

Найти:

Оптическая разность хода в воде, $\Delta_{воды}$

Решение:

Оптическая разность хода $\Delta$ связана с геометрической разностью хода $\delta$ (физическая разница в длинах путей лучей) и показателем преломления среды $n$ по формуле:

$ \Delta = n \cdot \delta $

Поскольку геометрическое расположение источников света и точки наблюдения не меняется, геометрическая разность хода $\delta$ остается постоянной при смене среды с воздуха на воду.

Сначала найдем геометрическую разность хода $\delta$, используя данные для воздуха. Показатель преломления воздуха $n_{возд}$ очень близок к единице, поэтому мы можем принять $n_{возд} = 1$.

$ \Delta_{возд} = n_{возд} \cdot \delta $

Отсюда, геометрическая разность хода:

$ \delta = \frac{\Delta_{возд}}{n_{возд}} = \frac{6 \text{ мкм}}{1} = 6 \text{ мкм} $

Теперь мы можем рассчитать оптическую разность хода для лучей, распространяющихся в воде, используя показатель преломления воды $n_{воды} = 4/3$.

$ \Delta_{воды} = n_{воды} \cdot \delta $

Подставляем известные значения:

$ \Delta_{воды} = \frac{4}{3} \cdot 6 \text{ мкм} = 4 \cdot \frac{6}{3} \text{ мкм} = 4 \cdot 2 \text{ мкм} = 8 \text{ мкм} $

Ответ: разность хода между лучами в воде станет 8 мкм.

3. Две когерентные волны фиолетового цвета $\lambda = 400$ нм достигают некоторой точки с разностью хода $\Delta = 1,2$ мкм. Что произойдёт в этой точке — усиление или ослабление волн?

Дано:

Длина волны, $λ = 400$ нм

Разность хода, $Δ = 1,2$ мкм

$λ = 400 \times 10^{-9}$ м $= 4 \times 10^{-7}$ м

$Δ = 1,2 \times 10^{-6}$ м

Найти:

Что произойдёт в точке — усиление или ослабление волн?

Решение:

Для определения результата интерференции двух когерентных волн в точке необходимо сравнить разность их хода $Δ$ с длиной волны $λ$.

Условие максимума (усиления) интерференции: разность хода волн должна быть равна целому числу длин волн.

$Δ = k \cdot λ$, где $k$ — целое число ($k = 0, 1, 2, ...$).

Условие минимума (ослабления) интерференции: разность хода волн должна быть равна нечетному числу полуволн.

$Δ = (2k + 1) \frac{λ}{2}$, где $k$ — целое число ($k = 0, 1, 2, ...$).

Чтобы определить, какое условие выполняется, найдем отношение разности хода к длине волны, предварительно приведя величины к одинаковым единицам измерения (метрам).

$\frac{Δ}{λ} = \frac{1,2 \times 10^{-6} \text{ м}}{400 \times 10^{-9} \text{ м}} = \frac{1,2 \times 10^{-6}}{4 \times 10^{-7}} = \frac{12 \times 10^{-7}}{4 \times 10^{-7}} = 3$

Поскольку отношение $Δ/λ$ является целым числом ($k=3$), в данной точке выполняется условие максимума интерференции. Это означает, что волны приходят в эту точку в фазе и, накладываясь, усиливают друг друга.

Ответ: в этой точке произойдет усиление волн.